第 15届中环杯决赛试题解析（四年级）一、填空题 A（本大题共 8 小题，每题6 分，共 48 分）：1.计算： 69 4.6 16.2 23 ________.【答案】690【解答】69 4.6 16.2 23 233 4.6 16.2 23 2313.8 16.223 30 6902. 将长、宽、高分别为 3厘米、4厘米、5厘米的长方体积木，叠成最小的正方体，最少要积木______块【答案】3600【解答】容易知道正方体的边长至少为3,4,560 厘米，所以需要积木60 60 603453600 块3. 在 5、8、15、18、25、28、、2008、2015中，有________个数的数码之和为偶数（138的数码之和为1 3 8 12）【答案】202【解答】每两个数一对：5,8、15,18、、2005,2008，每对里面有且仅有一个数的数码之和为偶数，一共有2008 810 1201对，而最后一个数的数码之和为2 0 158 ，为偶数，所以答案就是 201 1 2024. 如图，在长方形 ABCD中，AED与BFC都是等腰直角三角形，EF AD 2 。

则长方形 ABCD的面积为________.A BE FD C【答案】8【解答】可以如下图进行切割，由于EF AD 2AG ，整个长方形的面积是小正方形面积的 8倍。

由于一个小正方形的面积为 1，所以长方形的面积为 8A BG E FD C5. 一个等差数列的首项为 9，第 8项为12，那么这个数列的前 2015项中，有________项是 3的倍数。

【答案】 288【解答】根据已知条件，容易推出这个等差数列的通项公式为3n 60 3n 20n20a a n 1 d 。

为了使得其为 3的倍数，只要使得为整数n 1 7 7 7即可。

容易知道，当n 1 、 8、15、、 2010时满足要求，一共有 2010 1 1 2887项满足要求。

6. 老师将一些数填入下图的圆圈内（每个圆圈内能且只能填一个数），左右两个闭合回路的三个数之和均为 30，上下两个闭合回路的四个数之和均为 40。

若圆圈 X内填的数为 9，则圆圈Y内填的数为【答案】11【解答】如下图所示，a b X 30 a b c d 40a b c d X Y c b 80 ，X Y c b 40a b c d X Y 60 ，我们推出c b 20 。

将c b 20 代入c d Y 30X Y c b 40 X Y 20 。

由于X 9，所以Y11 。

7. 如图，一只蚂蚁在网格上爬行，每爬一步就是指从一个点爬到其相邻的点（由一条虚线段连接的两个点称为相邻的点）。

这只蚂蚁一共要爬四步，如果它从点 A开始爬，不同的爬行路线有 m种；如果它从点 B开始爬，不同的爬行路线有 n种。

则n m ________.AB【答案】3【解答】我们发现，无论从点 A出发还是从点 B出发，接下来都是走到形如C点的位置（下图中的六个红点），根据对称性，每个红点所对应的走法是相同的。

点 A走到红点有两种方法，点 B走到红点有六种方法，所以【说明】对称计数n m6 23。

ACB8. 小明看到一辆拖拉机拉着一条绳子在路上缓慢地行驶着，小明准备去测量一下绳子的长度。

如果小明沿着拖拉机开的方向行走，从绳子的一端走到另一端，一共走了140步；如果小明行走的方向与拖拉机开的方向相反，从绳子的一端走到另一端，一共走 了 20 步。

拖拉机与小明的速度保持恒定，小明每步可以走1 米。

那么绳子的长度为米。

【答案】 35【解答】由于第一次走了140 步、第二次走了 20 步，所以第一次花的时间是第二次 花的时间的 7 倍，所以这个过程中拖拉机开的路程也是 7 倍关系。

设第一次拖拉机 开了 7S 米，第二次拖拉机开了 S 米，并且设绳子的长度为 x 米，得到方程组x 7S 140 x 35。

S 20 xS 15二、填空题 B （本大题共 4 小题，每题 8 分，共 32 分）：9. 一个园艺匠准备种植一排共 20 棵树，一共有两种树可供选择：枫树或者梧桐树。

任两 棵枫树之间（不包括这两棵枫树）的树的数量不能等于 3 。

那么这 20 棵树中，枫树最多有 棵。

【答案】12【解答】在任意连续的八棵树中，一旦种下一棵枫树，那么相当于另一个位置只能 种梧桐树。

我们用下图进行说明，用●表示枫树，用表示 梧桐树，一旦第二个位 置种了枫树，那么位置 A 必须种植梧桐树。

无论枫树出现在哪个位置，总有一个位 置与其对应，只能种植梧桐树，所以八棵连续的树中最多只有四棵枫树●A根据前面的推导， 20 棵树中的前16 棵树里最多包含了 8 棵枫树，所以枫树总数最多 8 4 12 ，我们可以如下进行种植：● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ●10. 如图， ABC 为等腰直角三角形， E 为 BC 边上一点，满足 BE 3CE ， D 、 A 、 F 三点在一条直线上。

设 DBE 中 BE 边上高的长度为 h 1 ， FEC 中 EC 边上高的长度为 h 2 ，我们有 3h h 3 厘米。

DBE 与 FEC 的面积之和为 6 平方厘米，则 ABC 的面积为12________平方厘米。

FADB【答案】 64【解答】由于 BE1EC3 13 CE BE BC , CE BC 。

而441SSBE h CE h DBEFEC21 32 4 1 BC 1 2 BC h1 3 h21 1 BC h2 2 4 h83 h h 31 21112将代入，得 BC 16 。

所以 SABC22BC 16 64 平方厘米 SDBESFEC64411. 已知一个四位数 ABCD 满足： ABCD AB CD 是1111 的倍数，则 ABCD 的最小值 为【答案】1729【解答】ABCD ABCD 100AB CD ABCD AB1CD100100 ，从而推出AB1CD 100100mod1111，所以AB1CD1001211 、 2322、 3433、1211 1211（1）当AB1CD 1001211 时，此时AB 112.11 ，所以CD 100 100AB 11 ，所以AB 11 或10，但是这两个数显然不是1211的因数；3（2）当时AB 1CD 100 2322 时，考虑到AB 1 18ABCD 1729 。

CD 100 1292322 2 3 43 ，所以 2322 18 129，此接下来我们要证明1729已经是最小值了，假设它不是最小值，还存在ABCD 1729 ，满足AB1CD 1001111k 100 ，此时A B 10 ~ 16 ，所以AB1CD10016199 1003383 。

当k 3 时，此时1111k 100 已经大于3383了，所以k 2 。

而对于k 2 的情况，我们前面已经讨论过了，所以不存在ABCD 1729 。

综上所述，本题要求的最小值就是1729。

12.如下左图，甲要从A走到B，每次只能向上或者向右走一格；乙要从C走到D，每次也只能向上或者向右走一格。

将两人走的路径标出来，如果两条路径不相交（没有公共点），那么就称这两个人走了“中环路”（下右图就是一条“中环路”）。

那么，“中环路”一共有______种。

B D B DA C A C【答案】1750【解答】容易知道，从 A B ，一共有 4 种走法，同理，从 C D ，一共有 4 法，所有两人走的路径一共有 8 起来了，所以相交的情况一共有 14综上所述，最后的答案就是 8C C 种走4C C 8的就是答案了。

8 8 种。

接下来我们只要将相交的情况减掉，剩下如下图，两条路径的第一个交点为 E ，我们把这两条路径看为： A E D 与C E B （原先应该是 A E B 与 C ED ）。

注意：如上右图，如果没有相交，我们不能这样看待两条路径，只有产生相交点之后，才能这样看待这两条路 径。

反过来，对于 A E D 与 C E B 的任意两条路径来说，它们必然会产生公共 点。

利用对应原理，我们将相交的两条路径与“ A E D 与 C E B 的路径”对应CBDEA C40 C 4 种。

64 4C C C C49003150 1750 。

8106三、动手动脑题（本大题共 2 小题，每题 10 分，共 20 分）：13. 如图， ABCD 是一个梯形，其对角线的交点为O 。

延长 AC 至点 E ，满足CE AO 。

延长 DB 至点 F ，满足 BF DO 。

若 BFG 的面积为 2015 平方厘米，求： CGE 的面积。

FB AO G D?C E， 4 100【答案】2015【解答】由于 ABCD 是一个梯形，利用等积变换我们有S AOBSDOC。

利用CE AO ，我们推出 SAOBSCBE。

利用 BF DO ，我们推出 SDOCSBCF。

结合 SAOBSDOC，我们有 SCBESBCF是 2015。

，所以 SCBE SBCG SBCFSBCGSBFGS CGE，所以 CGE 的面积也14. A 、 B 、C 三人到 D 老师家里玩， D 老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个四位数。

已知这三个四位数都是完全平方数（比如 2 24 2 ， 100 10、 都是某个数的平方，这样的数称为完全平方数），并且这三个四位数的十位数都是 0 ， 个位数都不是 0 。

每个小朋友只能看见别人帽子上的数。

这三个小朋友非常聪明而且 诚实，发生了如下的对话：A 说：“B 、C 帽子上数的个位数相同。

”B 、C 同时说：“听了 A 的话，我知道自己的数是多少了。

”A 说：“听了B 、C 的话，我也知道自己的数是多少了，我的这个数的个位数是一 个偶数。

”求： A 、 B 、C 帽子上的数之和。

【答案】1461222 2 2【解答】假设 cb 0a ef 余，从而推出 20ef10e f100 e 20ef f a 22fa mod100 ，也就是说 20eff0 f 0 ，两边对100 取 的十位数部分为 0 。

显然 20ef的十位数部分肯定为偶数，所以 f 2 的十位数也必须为偶数，满足条件的 f 1、 2 、 3 、 5 、 7 、 8 、 9 。

2（1）当 f 1 、 2 、 3 时，为了使 2 20ef f 的十位数部分为 0 ，则 e 5 ，此时这三个数就是512 2501 、 52 2704 、5 32 2809 ；2（2）当 f 5 时， 20ef f100 e 25 ，十位数部分不可能为 0 ；（3）当f 7 时，20ef 条件的数为4722209或2f 140e 49 ，为了使得十位数为 0，则297 9409 ；2e 4 或 9，此时满足（4）当f 8 时，20ef f 160e64条件的数为4822304或9829604；2 ，为了使得十位数为 0，则e 4 或 9，此时满足（5）当f 9 时，20ef f 180e 81 ，为了使得十位数为 0，则2 e 4 或 9，此时满足条件的数为4922401或99 9801。