计算方法需求
（1）所涉及的数学模型无系统的求解析解的方法；
（2）所涉及数学模型的解法计算量大，只适用于规 模较小的情形 ；
（3）基于离散数据建立数学模型时。
数值计算方法的任务
1. 将计算机不能直接计算的运算，化成计算机上可 执行的运算——如定积分问题；
2. 针对数值问题研究能在计算机上执行且行之有效 的一系列计算公式；
p ( x) = a0 + a1x + a2 x2 +L + an xn
u直接求法
若直接计算akxk,再逐项相加，一共要做
n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2次乘法和n 次加法。
u秦九韶算法
如果将前n项提出x，则有
p( x) =（an xn-1 + an-1xn-2 + ¼ + a1）x + a0 = ((an xn-2 + an-1xn-3 + ¼ + a2 ) x + a1）x + a0 = (¼(an x + an-1) x + ¼ + a2 ) x + a1 ) x + a0
绪论
u计算方法及地球物理数值计算 u算法设计 u误差分析 uMatlab计算方法基础
计算机数值方法(计算方法)
计算方法也称为数值分析，是计算数学的一个主要 部分。 u 计算方法是数学科学的一个分支，是以数学问题
为研究对象，把理论与计算紧密结合，着重研究 数学问题的数值方法及其理论。 u 计算方法是一门古老的数学，如计算圆周率； u 计算方法是一门年轻的数学，近代计算机的诞生 ，产生了数学的计算机计算。
求非线性方程f(x)=0的根，二分法分为两步： Ø确定方程的有根区间 Ø计算根的近似值 （二分法）
第一步：计算 f (x)在端点处的值 f (a), f (b).
第二步：计算
f
( x )在中点处的值
x1
=
a
+b 2
,
f
(a
+ 2
b)
第三步：若 f (x ) = 0
则取
x* = x1 = a
+b 2
应用与发展
•计算方法的应用：地球物理、天体物理、大气研
究、分子生物、军事、天气预报等；
•计算方法的发展：进行高效率、高精度的并行计算；
地球物理数值计算
地球物理方法
概念：运用物理学的方法理解和解释地球的内部构造 、组成、动力学以及与地球表面地质现象的关系。
u地震学方法 u重力学方法 u地磁学方法 u地电学方法
写成递推公式:
ì í
vk
îv0
= =
vk -1 x an
+
an-k
(k = 1, 2,L , n)
秦九韶算法,只做n次乘法和n次 加法,程序实现简单
算法流程图
3、迭代校正——逼近
设有非线性方程
f (x) = 0
其中，f(x)在[a,b]上连续函数且f(a)f(b)<0，假设方程于[a,b] 内仅有一个实根。
物理数值正演模拟——波动为例
物理方程：
¶ 2u ¶t 2
- v2Ñ2u
=0
初始条件：
边界条件：
均匀介质的解? 非均匀介质v(x)？
反演步骤
Step1：观测数据 Step2: 对原始数据进行预处理 Step3：建立反演计算的目标函数 Step4：确定计算方法（求解） Step5：程序设计 Step6：上机实现，得出结果 Step7: 根据反演的物理参数解释地质问题
算法设计必要性
例：
N阶线性方程组，求解
Crame 法则
需 要 多 少 次 乘 法 ?
Crame 法则
①一个 n 阶行列式有n!个乘积，每个乘积要作（n-1）次乘法 ②要计算n+1 个行列式 ③要 n 次除法
总计算量 n!(n-1)(n+1)+n，n=20 时要作9.7×1021次乘法。
Gauss 列主元消去法
3. 误差分析，即研究数值问题的性态和数值方法的 稳定性。
计算方法
ì公式、算法（方法） íî理论分析（收敛性, 稳定性,
误差分析等）
数值计算方法的特点
n 面向计算机，能根据计算机特点提供切实可行的有效算法 ； 可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似 算法要保证收敛性和数值稳定性 ，还要对误差进行分析； n 要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间 复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题， 它关系到算法能否在计算机上实现 ； n 要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述 三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。
反演——重力测量密度反演为例
已知（重力观测值经各项校正后得到的）Δg在地 面的值，推测地下密度分布不均匀体的信息（埋 深、规模等）。
Dg
=
GDs
òòò
地质体
(z
r3
z
)
dv
gi
x
y
?பைடு நூலகம்
z
谜面
谜底
地球物理数值计算
•数据处理
（插值或拟合、FFT、矩阵求解、数值积分）
•数值模拟
（微分方程求解）
•物理参数反演计算
（线性方程组求解）
u计算方法及地球物理数值计算 u算法设计 u误差分析 uMatlab计算方法基础
• 计算方法：研究如何通过计算机所能执行的基 本运算，求出各类实际问题的数值解。
• 算法：给出已知的量，通过给定的运算次序， 经过有限次的基本运算，得出所求的未知量的 解，这种完整的运算步骤称为算法。
准确解为:
x1 =105, x2 =1;
乘除法：n3/3+n2-n/3 只需做3060 次乘、除运算。
算法设计要点 1、科学计算可实现
例:证明二次方程
x2 + 2bx + c = 0
至多有两个不同的实根。
（1）反证法 （2）图解法 （3）公式法——算法
计算机只能做加法、乘法 基本算法
算法流程图
2、计算量的减少
例：多项式求和
设要求对给定x的求下列多项式的值
利用物理学原理解决地球科学问题，物理数值模 拟和反演计算是重要的研究内容，研究主要分为两 个部分：
正演步骤
Step1：地质问题的提出 Step2: 提出适当的物理模型 Step3：建立数学模型（数学物理方程） Step4：确定计算方法（怎么去解） Step5：程序设计 Step6：上机实现，得出结果 Step7：进行物理规律的认识及模型的评价
若f
(x
)´
f
(a
)<
0, 则取 a1
=
a, b1
=
a+b 2
若f
(x
)´
f
(b ）<
0, 则取
a1
=
a
+ 2
b
，
b1
=
b
重复步骤 2和步骤 3.
u计算方法及地球物理数值计算 u算法设计 u误差分析 uMatlab计算方法基础
误差分析必要性
例：求解方程 x2 - (105 +1)x +105 = 0