max在柱的下段，其值为 1.1MPa，是压应力。
240
例2-6 图示起吊三角架，AB杆由截面积 10.86cm2 的2根角钢组成，求AB杆截面 应力。 已知：F = 130 kN，a = 30°。 解：（1）计算 AB 杆内力 节点 A：
Fy 0
得
FNAB sin 30 F
FNAB 2F 260kN
FN x Argx
2. 轴力图与最大轴力 轴力图为直线
FN 0 0
FN l lArg
FN,max lArg
作业：
习题 2-1
2.3 拉、压杆内的应力 2.3.1 拉压杆横截面上的应力
杆件1 ——轴力 =1N,横截面积 = 0.1mm2 杆件2 ——轴力 =100N,横截面积 =100mm2
FN A
L L
（虎克定律的另一种表达方式） L－伸长为正，缩短为负
EA－抗拉（压）刚度
2、横向变形：
横向线应变：
a a1 a,
b b1 b
b1 b
b a b a
在弹性范围内：
a1

a


横向变形系数（泊松比）
2.4 拉、压杆的变形·胡克定律 2.4.1 轴向拉压杆的变形
两种变形 轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 ΔL= L1 - L ，
L
b1 b
a1
1、轴向变形：
a
（1）轴向线应变：

L L
（2）虎克定律: 在弹性范围内, (当 p时)


E
L1
FN L L EA
负值表示位移向下
(2). B LBC
3Fa EA
(3). AB
LAB LAB
Fa
EA F a EA
例2-9 图示为一变截面圆杆ABCD。已知F1=20kN，F2=35kN，F3=35kN。l1 = l3 = 300mm，l2 = 400mm。d1= 12mm，d2 =16mm，d3 =24mm。试求： (1) 1—1，11—11，111—111截面的轴力，作轴力图 (2) 杆的最大正应力 max (3) B截面的位移及AD杆的变形
CD段：
lCD
uB lBC lCD 0.3mm ()
F
x F
例2-8 ：已知杆件的 E、A、F、a 。
求：△LAC 、δ B（B 截面位移）和ε （AB 段的线应变）。 解：1)画 FN 图： 2) 计算：
AB
A
a 2F B a C
3F
FN
FN L LAC LAB LBC (1). L EA Fa 3Fa 4 Fa EA EA EA
2
轴向拉伸和压缩
2-1 轴向拉伸与压缩的概念
2-2 内力-轴力·轴力图
2-3 拉、压杆内的应力 2-4 拉、压杆的变形·胡克定律 2-5 材料在拉、压时的力学性能 2-6 拉压杆的强度条件
2-7 应力集中的概念
2.1 轴向拉伸和压缩的概念
2.1.1 轴向拉压的工程实例
2.1.2 轴向拉伸和压缩的概念
解：先作轴力图
50kN
A
1 F B F
FN1 F 50kN
1
FN 1 A1
FN 2 3F 150kN
2 C
150kN
50 10 0.87 106 N / m 2 0.87MPa 0.24 0.24
3
FN 2 2 A2 150 103 1.1106 N / m 2 1.1MPa 0.37 0.37
FD FC FB FA FN1 0
FN1 2F
F 4F 8F 5F FN1 0
O
A FA
B FB FN2 B
C FC C
D FD D
求AB 段内力：
F
x
0
FN2= –3F，
FN 2 FB FC FD 0
FB
FN3
FC
C
FD
D
F
F
F
FN （＋） FN
F
F
FN （－） FN
F
例2-1：求图示各截面内力
6kN
18kN
1
8kN
4kN
6kN
FN1-1
6kN
18kN
FN 2-2 8kN
6kN
18kN
FN3-3 画受力图时，截面轴力一定按正的规定来画。
2.2.2 轴力图
轴力沿轴线变化的图形
用 平行于杆轴线的坐标 表示 横截面的位置，用垂直于杆轴线 的坐标表示横截面上的轴力数值， 从而绘出表示轴力与横截面位置 关系的图线，称为 轴力图 。将正 的轴力画在上侧，负的画在下侧。 意义 ① 直观反映轴力与截面位置变化关系； F FN F
FN4= F
O
A
FA
B
FB 5F
C
FC
D FD
FN
2F
F x 3F
例 2-3 一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。
10kN 40kN B C 55kN 25kN 20kN
A
D
E
1
10kN FN1
2
3
解：求AB段内的轴力 FN1= 10kN 求BC段内的轴力
10kN
40kN
FN2
FN 2 10 40 50 kN
②代替，FN 代替。
③平衡， ∑Fx =0, FN - F = 0, FN = F。 以1－1截面的右段为研究对象： FN F F FN
内力 FN 沿轴线方向，所以称为轴力。
同一截面位置处左、右侧截面上内力必须具有相同的正负号。 轴力的符号规定：
拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。
F
a
a
FNa
x
a cos a ,
2
a

2
sin 2a
( 1 ) max :
a 0,
a max
(a 0)
, 横截面上。
(2) max :
a max

2
, 450 斜截面上。
a 45
0
( a

2
)
作业：
习题 2-4
习题 2-5
（2）计算 AB
AB
FNAB 260 103 6 10 =119.7MPa 4 A 10.86 2 10
2.3.2 轴向拉压杆任意斜面上应力的计算
1、斜截面上应力确定 F F
(1) 内力确定：
FNa= F (2)应力确定： ①应力分布——均布 ②应力公式—— F
F
a
a
FNa
x
pa
FNa
FN a F F pa cosa cosa A Aa A cosa
FN a F F pa cosa cosa A Aa A cosa F
a
a
a pa cosa cos a a pa sin a sin 2a
FN x d l dx EA x FN x l dx l EA x
例2-7 试分析杆 AC 的轴向变形 l
ห้องสมุดไป่ตู้
分段求解:
FN1 F2 F1 FN2 F2
FN1l1 FN2l2 ( F2 F1 )l1 F2l2 l EA EA EA EA F2 (l1 l2 ) F1l1 l EA EA
求CD段内的轴力
FN3
25kN
20kN
FN 3 5kN
10kN
40kN B C
55kN
25kN
20kN
A
D
E
求DE段内的轴力
FN 4 20kN
作轴力图
20kN
4
FN4 50kN
10kN
+
20kN
+
5kN
FNmax= 50 kN 发生在 BC 段内任一横截面上
例 2-4 等直杆BC , 横截面面积为A , 材料密度为 r , 画杆的轴力图，求 最大轴力。 解：1. 轴力计算
max
max
FN max A
FN A max
变截面直杆：
6、公式的使用条件 (1) 轴向拉压杆 (2) 除外力作用点附近以外其它各点处。 （圣维南原理，不超过杆的横向尺寸）
F
例2-5 一横截面为正方形的砖柱分上、下两 段，其受力情况，各段长度及横截面面积如 图所示。已知 F = 50 kN，试求荷载引起的 最大工作应力。
式中，FN 为轴力，A 为杆的横截面面积。 的符号与轴力 FN 的符号相同。 当轴力为正号时（拉伸），正应力也为正号，称为拉应力，记作 t 。 当轴力为负号时（压缩），正应力也为负号，称为压应力，记作 c 。
N = Pa 2 m
N = MPa 2 mm
5、拉压杆内最大的正应力： 等截面直杆：
111 11 F3 C 111 l3 l2 B l1 1 F1 A 1
F2
11
D
FD
F3 D C B
F2 A
F1
解：求支座反力
FD = - 50 kN
(1) 1—1，11—11，111—111 截面的轴力，作轴力图。 FN1= 20kN FN2= -15kN FN3= - 50kN
20
+
50
15 (2) 杆的最大正应力max AB段： BC段： DC段：