圆锥曲线第3讲抛物线【知识要点】一、抛物线的定义平面内到某一定点的距离与它到定直线（）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点不在定直线上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点且垂直于直线的一条直线。
注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点的距离与它到定直线（）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。
注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。
以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。
二、抛物线的标准方程1.抛物线的标准方程抛物线的标准方程有以下四种：（1）（），其焦点为，准线为；（2）（），其焦点为，准线为；（3）（），其焦点为，准线为；（4）（），其焦点为，准线为.2.抛物线的标准方程的特点抛物线的标准方程（）或（）的特点在于：等号的一端是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为轴时，抛物线方程中的一次项就是的一次项，且一次项的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为轴时，抛物线方程中的一次项就是的一次项，且一次项的符号指明了抛物线的开口方向.三、抛物线的性质以标准方程（）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
（1）范围：，；（2）顶点：坐标原点；（3）对称性：关于轴轴对称，对称轴方程为；（4）开口方向：向右；（5）焦参数：；（6）焦点：；（7）准线：；（8）焦准距：；（9）离心率：；（10）焦半径：若为抛物线（）上一点，则由抛物线的定义，有；（11）通径长：.注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。
以抛物线（）的焦点和准线：为例，可求得其焦准距为；注2：抛物线的焦点弦指的是由过抛物线的焦点与该抛物线交于不同两点的直线所构成的弦。
设抛物线的方程为（），过其焦点且不垂直于轴的直线交该抛物线于、两点，则由抛物线的定义，可知其焦半径，，于是该抛物线的焦点弦长为.注3：抛物线的通径指的是过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦。
通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦。
设抛物线的方程为（），过其焦点且垂直于轴的直线交该抛物线于、两点（不妨令点在轴的上方），则、，于是该抛物线的通径长为.四、与抛物线相关的几个重要结论设抛物线的方程为（），点是其焦点，直线：是其准线，若过该抛物线焦点的直线交该抛物线于、两点（即线段是该抛物线的焦点弦），并且点、点在其准线上的垂足分别为点、点，线段的中点为点，则可以证明：（1），；（2）（这里，为直线的倾斜角）；（3）（这里，为直线的倾斜角）；（4）以线段为直径的圆与该抛物线的准线相切；（5），；（6）以线段为直径的圆切直线于点.证明：由于当直线的斜率不存在或斜率存在且不为零时，均符合题意，因此为避免分情况进行讨论而使得证明过程比较繁琐，根据直线过点，我们可巧设其方程为，这里，为直线的倾斜角.（1）联立，得由韦达定理，有，故（2）由抛物线的定义，有（3）（4）设的中点为则又这表明，的中点到准线：的距离等于的一半，即以线段为直径的圆的圆心到准线：的距离等于圆的半径.故以线段为直径的圆与该抛物线的准线相切（5），，，故，即又，，，于是故，即（6）这表明，的中点到点的距离等于的一半，即以线段为直径的圆的圆心到点的距离等于圆的半径.故以线段为直径的圆切直线于点【例题选讲】题型1：抛物线定义的应用1.已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为___________.解：在抛物线中，，即该抛物线的焦点为，准线方程为由此可知，直线不垂直于轴，否则，与已知矛盾设，则线段的中点到轴的距离，并且由抛物线的定义，有，于是由，有故线段的中点到轴的距离2.设抛物线的焦点为，准线为，点为该抛物线上一点，，点为垂足，如果直线的斜率为，那么=___________.解：在抛物线中，，即该抛物线的焦点为，准线方程为由，可知，直线的方程为，即联立，得于是由于点知，将其代入方程中，得故由抛物线的定义，有3.已知以为焦点的抛物线上的两点、满足，则弦的中点到准线的距离为___________.解：在抛物线中，，即该抛物线的焦点为，准线方程为设，则弦的中点到准线的距离，并且，于是由，有，又由可知，直线的斜率存在，不妨设为则直线的方程为，即联立，得由韦达定理，有而，于是，故弦的中点到准线的距离题型2：求抛物线的方程4.设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，则该抛物线的方程是___________.解：由所求抛物线的准线方程为，可设其方程为（）则有故所求抛物线的方程为5.设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且焦点到准线的距离为2，则该抛物线的方程是___________.解：由题设条件可设所求抛物线的方程为（）或（）则由焦准距为2，有故所求抛物线的方程为或6.已知抛物线过点，则该抛物线的标准方程为___________，其准线方程为___________.解：由所求抛物线过点，可设其方程为（）或（）则有或于是或故所求抛物线的方程为或7.已知抛物线的焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为___________，其准线方程为___________.解：在方程中，令，得；令，得于是所求抛物线的焦点为或（ⅰ）当所求抛物线的焦点为时，据此可设所求抛物线的方程为（）则有于是此时所求抛物线的方程为，其准线方程为（ⅱ）当所求抛物线的焦点为时，据此可设所求抛物线的方程为（）则有于是此时所求抛物线的方程为，其准线方程为故所求抛物线的方程为或，它们对应的准线方程分别为，.8.已知动圆与圆：外切，且与轴相切，则动圆圆心的轨迹方程为___________. 解：设则由动圆与圆外切，且与轴相切，有（）（），即（）（）当时，由（）式，有；当时，由（）式，有故动圆圆心的轨迹方程为9.若抛物线（）的焦点恰好是双曲线的右焦点，则=___________.解：抛物线的焦点为，准线方程为在双曲线，即中，，，于是双曲线的左、右焦点分别为、又抛物线的焦点恰好是点故10.若抛物线（）的准线经过双曲线的一个焦点，则=___________.解：抛物线的焦点为，准线方程为在双曲线中，，，于是双曲线的左、右焦点分别为、又抛物线的准线经过点故11.已知抛物线的焦点是双曲线的左顶点，则该抛物线的标准方程为___________.解：在双曲线，即中，于是该双曲线的左顶点为因而所求抛物线的焦点为，据此可设所求抛物线的方程为（）则有故所求抛物线的方程为12.已知抛物线的焦点在轴上，直线与该抛物线交于点，并且，则该抛物线的标准方程为___________.解：由所求抛物线的焦点在轴上，可设其方程为（）或（）（ⅰ）对于抛物线（），设，则由，有，即①又点在抛物线上②联立①、②，得或于是此时所求抛物线的方程为或（ⅱ）对于抛物线（），设，则由，有③又点在抛物线上④联立③、④，得或于是此时所求抛物线的方程为或故所求抛物线的方程为或题型3：抛物线的性质13.已知抛物线：（）过点，与抛物线有公共点的直线平行于（为坐标原点），并且直线与之间的距离等于，则直线的方程为___________.解：由抛物线：过点，有抛物线的方程为，其焦点为，准线方程为由直线且的方程为，即，可设直线的方程为又平行直线：与：之间的距离等于联立，得则由直线与抛物线有公共点，有于是（舍去）故直线的方程为14.过抛物线（）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于、两点，、在轴上的正射影分别为、. 若梯形的面积为，则=___________.解：抛物线的焦点为，准线方程为由直线的斜率为1，且过点可知，直线的方程为，即设，联立，得解得：，又又故15.过点且与抛物线有一个公共点的直线方程为_________.解：显然，点在抛物线外（1）当所求直线的斜率不存在时，显然，过点且与抛物线有一个公共点的直线方程为（2）当所求直线的斜率存在时，不妨设其斜率为则由其过点可知，所求直线的方程为，即联立，得（）（ⅰ）若，则由（）式，有而此时所求直线的方程为即此时所求直线与抛物线的唯一公共点为，满足题意于是当时，所求直线的方程为（ⅱ）若，则对（）式，由所求直线与抛物线仅有一个公共点，有，满足题意于是当时，所求直线的方程为故所求直线的方程为或或16.以抛物线的顶点为圆心的圆交于、两点，交的准线于、两点。
已知，，则的焦点到准线的距离为___________.解：设抛物线的方程为（）则其焦点为，准线方程为于是抛物线的焦点到准线的距离为由抛物线的对称性可知，、两点关于轴对称，、两点也关于轴对称设与轴交于点，与轴交于点则，设以抛物线的顶点为圆心的圆的半径为则在中，，即①设则由知，，代入方程中，得，即在中，，即②①-②,得，解得：或（舍去）又故，即的焦点到准线的距离为417.已知正方形的两个顶点、在抛物线上，、两点在直线：上，则正方形的面积为___________.解：在抛物线中，，即该抛物线的焦点为，准线方程为由及所在直线的方程为，即，可设直线的方程为，即设，联立，得由韦达定理，有于是又平行直线：与：之间的距离，即解得：或于是或故或，即正方形的面积为18或50.题型4：与抛物线有关的最值问题18.若抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为1，则=___________.解：抛物线的焦点为，准线方程为设则又点在抛物线上于是又，，当且仅当时，取得最小值，且于是有故注：由本题可见，抛物线的顶点到其焦点的距离最小。
以后在遇到相关问题时，这个结论可以直接用。
19.已知直线：和直线：，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为___________，此时点的坐标为___________.解：在抛物线中，，即该抛物线的焦点为，准线方程为记点到直线和直线的距离分别为、（1）求由抛物线的定义知，点到直线的距离于是显然，的最小值即为点到直线：的距离于是即动点到直线和直线的距离之和的最小值为2.（2）求点的坐标设过点且垂直于直线：的直线为则的方程为，即联立，得解得：或（舍去）故，即当动点到直线和直线的距离之和取得最小值2时，点的坐标为.20.已知定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，是该抛物线的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，则线段的中点到轴的距离的最小值是___________，此时点的坐标为___________.解：在抛物线中，，即该抛物线的焦点为，准线的方程为作于点则有又由抛物线的定义，有，而于是有，当且仅当弦过抛物线的焦点时，“=”成立，即此时点到轴的距离最小，并且为求点的坐标，下面我们求由、可知，直线的斜率存在，不妨设为则由直线过点可知，其方程为，即设，则联立，得由韦达定理，有于是有，即故即当点到轴的距离取得最小值时，点的坐标为.注：当设出直线与曲线的交点坐标后，交点既在直线上，又在曲线上，即交点的坐标不仅满足直线方程，也满足曲线方程，这一点在解题时，要格外注意。