责编：赵炜
【学习目标】
1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．
2. 掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． 3．掌握科学记数法． 【要点梳理】
要点一、同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m n a a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）
要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）
要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 要点三、负整数指数幂
任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1
n n
a a -=
（a ≠0，n 是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.
m n m n a a a +=（m 、n 为整数，0a ≠）；
()
m
m m ab a b =（m 为整数，0a ≠，0b ≠）
()
n
m mn a a =（m 、n 为整数，0a ≠）.
要点诠释：()0n a a -≠是n a 的倒数，a 可以是不等于0的数，也可以是不等
于0的代数式.例如()1
122xy xy -=
（0xy ≠），()()
5
5
1a b a b -+=+（0a b +≠）. 要点四、科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成10n a ⨯的形式，其中n 是正整数，
1||10a ≤<
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10n a -⨯的形式，
其中n 是正整数，1||10a ≤<.
用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【典型例题】
类型一、同底数幂的除法
1、计算：
（1）8
3
x x ÷；（2）3
()a a -÷；（3）5
2
(2)(2)xy xy ÷；（4）53
1133⎛⎫⎛⎫
-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号． 【答案与解析】
解：（1）83835x x x x -÷==． （2）3312()a a a a --÷=-=-．
（3）5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===．
（4）5353
2
1111133339
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭． 【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．
【高清课堂399108 整式的除法 例1】
2、计算下列各题：
（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷- （3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-
【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如1212(52)(25)a b b a -=-．（2）注意指数为1的多项式．如x y -的指数为1，而不是0． 【答案与解析】
解：（1）5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-．
（2）1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=- （3）64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯．
（4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-． 【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．
【高清课堂 整式的除法 例2】
3、已知32m =，34n =，求129m n +-的值． 【答案与解析】 解： 12122222222
122224444
9(3)33333(3)39
9(3)33(3)(3)
m m m m m m m n
n n n n n n ++++-======g g g ． 当32m
=，34n
=时，原式224
239
464
⨯==． 【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m ，3n 的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三：
【变式】（2015春•苏州）已知以m a =2，n a =4，k a =32．则32m n k a +-的值为 ． 【答案】解：3m a =32=8，2n a =24=16，
32m n k a +-=3m a •2n a ÷k a =8×16÷32=4，
故答案为：4．
类型二、负整数次幂的运算
4、计算：（1）2
23-⎛⎫
- ⎪⎝⎭；（2）23131()()a b a b ab ---÷．
【答案与解析】
解：（1）2
2
2119434293-⎛⎫
-=== ⎪⎝⎭⎛⎫
- ⎪⎝⎭
； （2）2313123330()()a b a b ab a b a b ab a b b -----÷===g g ． 【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义． 举一反三：
【变式】计算：4
513012222( 3.14)2π----⎛⎫
++⨯⨯+- ⎪⎝⎭．
【答案】
解： 4
5
13012222( 3.14)2π----⎛⎫
++⨯⨯+- ⎪⎝⎭
4
5311111122116212223228=
++⨯⨯+=++⨯⨯+ 1151611732832=+++= 5、 已知1327m =，1162n
⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则n m 的值＝________．
【答案与解析】 解： ∵ 3311
33273
m -=
==，∴ 3m =-． ∵ 122n
n -⎛⎫
= ⎪⎝⎭，4162=，∴ 422n -=，4n =-．
∴ 44
11
(3)(3)81
n m -=-=
=-． 【总结升华】先将127变形为底数为3的幂，122n
n -⎛⎫
= ⎪⎝⎭，4162=，然后确定m 、
n 的值，最后代值求n m ．
举一反三：
【变式】计算：（1）1232
()a b c --；（2）3
23
2312b c b c ---⎛⎫
⨯ ⎪⎝⎭
；
【答案】
解：（1）原式4
246
26b a b c a c
--==．
（2）原式8
2369812
12888b b c b c b c c
---=⨯==． 类型三、科学记数法
6、（2014秋•福州）观察下列计算过程：
（1）∵3
3÷5
3=332231
333
=⨯，33÷53=353-=23-，∴23-=
（2）当a≠0时，∵2
a ÷7
a =27a a =225a a a ⨯=51a ，2a ÷7a =27a -=5a -，5a -=51
a
,
由此可归纳出规律是：p a -=
1
p
a （a≠0，P 为正整数） 请运用上述规律解决下列问题：
（1）填空：103-= ；259x x x ⨯÷= ．
（2）用科学记数法：3×410-= ．（写成小数形式）
（3）把0.00000002写成如（2）的科学记数法10n a ⨯的形式是： ． 【答案与解析】 解：（1）103-=
101
3
； 259x x x ⨯÷ =259x +-=22
1x x -=
； （2）3×410-=0.0003， （3）0.00000002=2×810-．
【总结升华】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a ⨯，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．。