∇k H k u nk r + H k ∇k u nk r = ∇k En k u nk r + En k ∇k u nk r 2 ℏ ℏ k+ p u r + H ∇ u r = ∇ E k u r + E k ∇ u r k k nk n nk k n nk k nk 2m
p + ℏk H k= +V r 2m
= 0，电子在z方向做匀速运动
根据量子理论，在(x,y)平面的圆周运动 对应一种 简谐振荡， 能级是量子 化 的，这种能级称为朗道能级
ℏ 2 k2 ℏ 2k 2 1 E = E n+ = n+ ℏ ω 0 + 2m 2 2m
晶体电子
ω0 = qB m ω c = qB mc*
对于布洛赫电子，闭合轨道并非一定是圆形的，但是形式上与自由电子时相同
−1
= qEa ℏ
带隙相当于位垒，电子 遇到位垒后将全部被反 射回来，电子在 A和 C之 间运动
考虑隧穿效应
势垒长度d =
Eg qE
π2 穿透几率 = E exp − 2mEg ℏ
1 2
Eg qE
如果下面能带（价带） 是填满或接近填满的， 电子在电场作用下很容 易达到带顶，而如果上 面能带（导带）中没有 电子或基本是空的，可 以接纳电子，那么当电 场足够强时，下面能带 中的电子有一定几率穿 透带隙达到导带。
d 2υ x
qB 2 υ =0 + x m dt2 qB 2 υ =0 + y m dt2
d 2υ y
dυ k 1 = −qυ × B dt m
d 2 x qB 2 + x =0 dt2 m d 2 y qB 2 + y =0 m dt2
ω0 = qB m
k空间电子在(x,y)平面做匀速圆周运动
dυz dt
例子
简单立方晶体，晶格常数为a，紧束缚近似下的s 能带的能量本征值为
E k = Es − J0 − 2J 1 cos kx a + cos k y a + cos kz a
能带底为：k = 0, 0, 0
E = Es − J 0 −6J1
有效质量张量退化为一个标量，m *= 能带顶为：k = ± π ,± π ,± π a a a ℏ2 2 a2 J 1
因为微分可以交换次序，因此倒有效质量张量是对称张量，可以对角化
2 1 = 1 ∂ En k m * j ℏ 2 ∂k j 2
k j 为主轴
能带宽，能量随波矢变化较为剧烈，倒有效质量张量的分量大 能带窄，能量随波矢变化较为缓慢，倒有效质量张量的分量小 通过电子比热系数的实验值和自由电子气体的理论值之比定义有效质量， 称为热有效质量 γexp m * = γ0 m
对于满带，电子的波矢随时间改变，但是满带的状况并不改变
满带电子不导电 ── 一维例子
满带情况下，横轴上的点表示均匀分布在k轴上的个量子态为电子填 满，外场F下也不改变填充状态，从A中移出的电子同时从A′中移入， 而A和A′是同一状态，因此不产生宏观电流
4.2.4 导体、半导体和绝缘体的能带解释
υ k = −υ −k
第四章 能带理论 II 4.1 电子运动的半经典模型 模型 有效质量
4.2 恒定电场下电子的运动 空穴的概念 导电性的能带解释
4.3 回旋共振
第一节 电子运动的半经典模型
晶体电子（布洛赫电子）的运动速度为
υ n k = 1 ∇k E n k ℏ
动量为：p = mυ 平均值为：p = mυ
∇k = ∂ k x + ∂ k y + ∂ k z ∂ kx ∂ ky ∂ kz
mυ = m ∇k En k ℏ
υ = 1 ∇k E n k ℏ
平均速度永不为零，一个理想的晶体金属将有无穷大的电导。
散射产生的原因和性质 两次散射之间布洛赫电子的运动——半经典模型
在外力作用下状态的变化及准动量
在单位时间dt内，外力F做的功为
F ∙ υ k dt
根据功能相等原理
∇k En k ∙ dk = F ∙ υ k dt ∇k En k = ℏυ k 代入上式
ω = qB m
d 2k y
定义回旋频率 cyclotron frequency
ω c = qB m
k空间电子在(kx ,ky)平面做圆周运动
υ n = 1 ∇k E n k ℏ
ℏ ∂ k = −qυ × B ∂t
dυ k ℏ ∂ k = dt m ∂t
υ k = ℏk m
dυx
= − qB υy dt m dυy qB = υ dt m x dυz =0 dt
空穴的运动方程 II
空穴的运动方程为 电子能量E
∂υ n = 1 * + e E r , t + υn k × B r , t ∂t mh
空穴的能量与电子相反，越往下越高
m h * >0
价带：能量最高的满带 导带：能量高于满带的第一个能带 空穴能量E
金属的导体性
价电子数等于1
价电子数等于2
价电子数等于3
价电子等于2 时， 导电性取决于能带交叠的大小 等能面是不连续的！ 电子是按能量从低到高排列的
什么是半导体（能带理论的解释）
σ <10 -6 S / m
10 6 S / m > σ > 10 -6 S / m
σ > 10 6 S / m
半导体物理的基础是固体能带理论
恒定磁场中的运动
υ n = 1 ∇k E n k ℏ
ℏ 2 k2 ℏ 2k 2 1 E = E n+ = n+ ℏ ω 0 + 2m * 2 2m *
在垂直于磁场的方向施加一个交变电场， 当ω = qB ，电子将吸收交变电场的能量， m* 电子发生共振吸收，称为回旋共振
通过测定回旋共振频率，可以确定电子的有效质量
回旋共振测量
2 2 k −k ℏ 2 kx + ky E= + z 0 2 mT mL 2
•••••••••••• ••••••••••••
•••
•••••••••
k
4.2.3 近满带中的空穴
利用满带不导电，可得
J + − e ∫unoccυ k dk3 = 0 4π
下脚标unocc表示非占据，这些非占据态可以看作是被空穴+e占据 近满带对电流密度的贡献可以等价写为
J = e ∫unoccυ k dk3 4π
4.2.2 满带电子不导电
能带中每个电子对电流密度的贡献为： − eυ
带中所有电子的贡献为
J = − e ∫occυ k dk3 4π
υ n = 1 ∇k E n k 且En k = E n − k ，同一能带中k 和 − k 态具有相反的速度 ℏ
υ k = −υ −k
因此上面的积分为零，满带电子不参与导电
只有当自由程远远大于原胞时，才可以将电子看作一个准经典粒子
费米球在 k空间中小的平移相关联
真实空间的漂移速度
υ d = − eτE m
ℏ Δ k = − eEτ
k空间的费米球位移 无外场时，费米球是对称的，对电流没有贡献 有外场时，非均衡部分对电流有贡献
有效质量和倒有效质量张量
从这两个公式出发可以计算得到晶体电子的加速度
a=
dυ n = d 1 ∇k En k = ∇k 1 ∇k En k dk = 12 ∇k ∇k E n k d ℏ k dt d k F ext ℏ
a = 12 ∇k ∇k E n k Fext ℏ
1 = 1 ∇∇E k n m* ℏ 2 k k
未占据态一般在带顶，电子的有效质量为负数，方程化为
∂υ n = 1 + e E r , t + υn k × B r , t ∂t me*
近满带顶的空穴，除了带正e电荷外，还有正的有效质量 ∂υ n = 1 * + e E r , t + υn k × B r , t ∂t mh
m h * = me *
空穴：带正电荷，填满带中所有未占据态的粒子 对于近满带，空穴使得带中大量电子的行为简化成少量空穴的效应
外加电磁场中，占据态电子的运动方程为
∂υ n = 1 * − e E r , t + υn k × B r , t ∂t m e
未占据态电子的运动方程和周围的占据态电子相同，为
∂υ n = 1 * − e E r , t + υn k × B r , t ∂t m e
比较牛顿力学：ma = F
唯象的引入电子的倒有效质量张量
2 1 = 1 ∂ En k m * ij ℏ 2 ∂k i ∂ kj
引入倒有效质量张量，得到与经典力学相似的形式
F ext = m *a
2 1 = 1 ∂ En k m * ij ℏ 2 ∂k i ∂ kj
晶体周期场的影响概括到有效质量里，晶体电子的运动方程有着经典力学类似的简洁形式
p = ∫ψnk * r pψnk r dr mυ = ∫ψnk * r −i ℏ∇r ψnk r dr
pψnk r = − i ℏ ∇r eik ∙r u nk r + −i ℏ∇r unk r eik ∙r
= − i ℏ ik eik ∙r u nk r + pu nk r eik ∙r = ℏ k+ p u nk r eik ∙r
E = Es − J 0 +6J1 m *= −
ℏ2 2 a2 J 1
有效质量可正可负，跟一般质量的概念不同
在能带顶附近，有效质量总是负的，在能带底附近，有效质量总是正的
Si 的能带图
GaAs 的能带图
金属铝的能带图