第1讲 第1章 §1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征¤学习目标：认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述生活中简单物体的结构.逐步培养观察能力和抽1.下列说法错误的是（）A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形分析：多面体至少应有四个顶点组成（否则至多3个顶点，而3个顶点只围成一个平面图形），而四个顶点当然必须围成四个面，所以A 正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的个数与底面多边形的边数相等，所以B 正确；长方体、正方体都是棱柱，所以C 正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以D 错误. 答案：D2.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为___________ cm.分析：n 棱柱有2n 个顶点，由于此棱柱有10个顶点，那么此棱柱为五棱柱，又因棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60 cm ，可知每条侧棱长为12 cm. 答案：123.在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是___________. 分析：棱锥、棱柱、棱台、圆锥等几何体的截面都可以是三角形，因此本题答案是开放的，作答时要考虑周全. 答案：棱锥、棱柱、棱台、圆锥第2讲 §1.1.2 简单组合体的结构特征¤学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.¤知识要点：观察周围的物体，大量的几何体是由柱、锥、台等组合而成的，这些几何体称为组合体.¤例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解：在长方体''''ABCD A B C D -中，取四棱锥'A ABCD -，它的四个侧面都是直角三角形. 选D. 【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为,r R ，求球的半径. 解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R +r = 第3讲 §1.2.2 空间几何体的三视图¤学习目标：能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型.¤知识要点：1. “视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图. 光线自物体的前面向后投影所得的投影图成为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的图形称为“俯视图”. 用这三种视图即可刻划空间物体的几何结构，称为“三视图”.苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 22. 画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从几何体的正前方、左侧（和右侧）、正上方三个不同的方向看几何体，画出所得到的三个平面图形，并发挥空间想象能力. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来.¤例题精讲：【例1】画出下列各几何体的三视图：解：这两个几何体的三视图如下图所示.【例2】画出下列三视图所表示的几何体.解：先画几何体的正面，再侧面，然后结合三个视图完成几何体的轮廓. 如下图所示.【例3】如图，图（1）是常见的六角螺帽，图（2）是一个机器零件（单位：cm ），所给的方向为物体的正前方. 试分别画出它们的三视图.解：图（1）为圆柱和正六棱柱的组合体. 图（2）是由长方体切割出来的规则组合体.从三个方向观察，得到三个平面图形，绘制的三视图如下图分别所示. 第第4讲 §1.2.3 空间几何体的直观图¤学习目标：会用斜二侧法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的直观图. 了解空间图形的不同表示形式.¤知识要点：“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下：（1） 建系：在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，得到直角坐标系xoy ，直观图中画成斜坐标系'''x o y ，两轴夹角为45︒.（2）平行不变：已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ’或y ’轴的线段.（3）长度规则：已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半. ¤例题精讲：【例1】下列图形表示水平放置图形的直观图，画出它们原来的图形.解：依据斜二测画法规则，逆向进行，如图所示. 【例2】（1）画水平放置的一个直角三角形的直观图；（2）画棱长为4cm 的正方体的直观图. 解：（1）画法：如图，按如下步骤完成.第一步，在已知的直角三角形ABC 中取直角边CB 所在的直线为x 轴，与BC 垂直的直线为y 轴，画出对应的x '轴和y '轴，使45x O y '''∠=.第二步，在x '轴上取''O C BC =，过'C 作'y 轴的平行线，取1''2C ACA=. 第三步，连接''AO ，即得到该直角三角形的直观图.（2）画法：如图，按如下步骤完成.第一步，作水平放置的正方形的直观图ABCD ，使45,BAD ∠=4,2A B c m A D c m==. 第二步，过A 作z '轴，使90BAz '∠=. 分别过点,,B C D 作z '轴的平行线，在z '轴及这组平行线上分别截取4AA BB CC DD cm ''''====.第三步，连接,,,A B B C C D D A ''''''''，所得图形就是正方体的直观图.点评：直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图. 注意被遮挡的部分画成虚线.第5讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进行计算和c 直截面周长S +解：设圆台的母线长为l ，则圆台的上底面面积为224S ππ=⋅=上，圆台的上底面面积为2525S ππ=⋅=下， 所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上.又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧， 于是725l ππ=，即297l =为所求. 【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积. 解：由三视图知正三棱柱的高为2mm .由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为. 设底面边长为a = ∴ 4a =. ∴正三棱柱的表面积为2123422424)2S S S mm =+=⨯⨯+⨯⨯⨯=+侧底. 【例3】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如右图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（精确到0.01 m 2）解，其侧面积为152S π=⨯下部分圆柱体的侧面积为 15 1.8S π=⨯⨯.所以，搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为1155 1.850.052S S S ππ=+=⨯⨯⨯≈（m 2）.点评：正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式，解决制作壳形几何体时的用料问题. 注意区分是面积计算，还是体积计算. 第6讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台体的体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的体积公式进行计算h 高S h 底高'S S ++图2-3-1212m 18m5m苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 4''2. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系：13V S h =锥 '0S =←−−− 1(')3V S S h =台 'S S=−−−→ V S h =柱. ¤例题精讲：【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是 .解：设长方体的长宽高分别为,,a b c ，则2,3,6ab ac bc ===，三式相乘得2()36abc =.所以，长方体的体积为6.【例2】一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x 的函数关系式,并求出函数的定义域.解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm .在Rt EOF ∆中，15,2EF cm OF xcm ==,所以EO =于是13V x =依题意函数的定义域为{|010}x x <<.【例36，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的56时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 . 解：容器中水的体积为22618V r l πππ==⨯⨯=.流出水的体积为5'(1)36V V π=-=，如图，22''2V l r π===. 设圆柱的母线与水平面所成的角为α，则tan α==，解得60α=︒. 所以，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为60°.点评：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱. 从而由等体积法可计算出高度，解直角三角形而得所求角.第7讲 §1.3.2球的体积和表面积¤学习目标：了解球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.¤知识要点：1. 表面积：24S R π=球面 （R ：球的半径）. 2. 体积：343V R π=球面. ¤例题精讲：【例1】有一种空心钢球，质量为142g ，测得外径等于5cm ，求它的内径（钢的密度为27.9/g cm ，精确到0.1cm ）． 解：设空心球内径(直径)为2x cm ，则钢球质量为334547.9[()]142323x ππ⋅⋅⋅-=，∴3351423()11.327.94 3.14x ⨯=-≈⨯⨯， ∴ 2.24x ≈， ∴直径2 4.5x≈，即空心钢球的内径约为4.5cm.【例2】表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积.解：设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则作轴截面如图，14AA '=，AC =， 又∵24324R ππ=，∴9R =，∴AC ==，∴8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表.【例3】（04年辽宁卷.10）设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB =BC =CD =DA =3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）.A ．B ．C ．D． 【解】由已知可得，A 、B 、C 、D 在球的一个小圆上.∵ AB=BC =CD =DA =3， ∴ 四边形ABCD 为正方形. ∴ 小圆半径r =.由222R r h =+得222(()22RR =+，解得R ∴球的体积334433V R ππ===. 所以选A.点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质222R r h =+，体积和表面积公式.第8讲 §2.1.1 平面¤学习目标：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理.¤知识要点：1. 点A 在直线上,记作A a ∈；点A 在平面α内,记作A α∈；直线a 在平面α内,记作a α⊂.l l β=∈ 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. ¤例题精讲：【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？（P 56A 组5题）解：根据公理2的推论3，可知两条平行直线确定一个平面，又由公理1可知，与两条平行直线相交的第三条直线在这个平面内，所以一条直线与两条平行直线都相交时，这三条直线是共面的关系.【例2】空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，已知EF 和GH 交于P 点，求证：EF 、GH 、AC 三线共点. （同P 58 B 组3题）解：∵P ∈EF ，EF ⊂面ABC ，∴P ∈面ABC . 同理P ∈面ADC . ∵ P 在面ABC 与面ADC 的交线上，又 ∵面ABC ∩面ADC =AC ， ∴P ∈AC ，即EF 、HG 、AC 三线共点. 【例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内. 已知：直线,,AB BC CA 两两相交，交点分别为,,A B C ， 求证：直线,,AB BC CA 共面.证明：因为A ，B ，C 三点不在一条直线上，所以过A ，B ，C 三点可以确定平面α． 因为A ∈α，B ∈α，所以AB α． 同理BC α，AC α. 所以AB ，BC ，CA 三直线共面．点评：先依据公理2, 由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1, 证三条直线在平面内. 注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证. 常根据三条公理，进行“共面”问题的证明.【例4】在正方体1111ABCD A B C D -中，（1）1AA 与1CC 是否在同一平面内？（2）点1,,B C D 是否在同一平面内？ （3）画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线. 解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，∵11//AA CC ， ∴由公理2的推论可知，1AA 与1CC 可确定平面1AC ， ∴1AA 与1CC 在同一平面内.（2）∵点1,,B C D 不共线，由公理3可知，点1,,B C D 可确定平面1BC D ，∴ 点1,,B C D 在同一平面内. （3）∵ACBD O =，11D C DC E =， ∴点O ∈平面1AC ，O ∈平面1BCD ，苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 6又1C ∈平面1AC ，1C ∈平面1BC D ， ∴ 平面1AC 平面1BC D 1OC =，同理平面1ACD 平面1BDC OE =．点评：确定平面的依据有公理2（不在同一条直线上的三点）和一些推论（两条平行直线、两条相交直线、直线和直线外一点）. 对几条公理的作用，我们必须十分熟练.第9讲 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系¤学习目标：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直.¤知识要点：1. 空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 2. 已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）. ,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]︒，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.¤例题精讲：【例1】已知异面直线a 和b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成角都是30°的直线有且仅有（ ）.A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条解：过P 作a '∥a ，b '∥b ，若P ∈a ，则取a 为a '，若P ∈b ，则取b 为b '．这时a '，b '相交于P 点，它们的两组对顶角分别为50°和130°.记a '，b '所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与a '，b '都成30°的直线． 过点P 与a '，b '都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是a '，b '所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l 和l '，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B.【例2】如图正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点，P 、Q 分别为AC 与BD 、A 1C 1与EF 的交点. （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线. 证明：（1）∵ 正方体1111ABCD A B C D -中，1BB //1DD ，∴BD //11B D .又 ∵ 111B D C 中，E 、F 为中点，∴ EF //1112B D . ∴ //EF BD , 即D 、B 、F 、E 四点共面. （2）∵ 1Q AC ∈平面，Q BE ∈平面，1P AC ∈平面，P BE ∈平面，∴ 1AC BE PQ =平面平面.又 1AC BE R =平面， ∴ 1R AC ∈平面，R BE ∈平面， ∴ R PQ ∈. 即P 、Q 、R 三点共线【例3】已知直线a //b //c ，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，求证：a 、b 、c 、d 四线共面. 证明：因为a //b ，由公理2的推论，存在平面α，使得,a b αα⊂⊂. 又因为直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，由公理1，d α⊂. 假设c α⊄，则c C α=, 在平面α内过点C 作//c b '， 因为b //c ，则//c c '，此与c c C '=矛盾. 故直线c α⊂.综上述，a 、b 、c 、d 四线共面.点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件. 此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.【例4】如图中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点. （1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小； （2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小. 解：（1）如图，连结DC 1 ，∵DC 1∥AB 1，E 1A 1C A∴ DC 1 和CC 1所成的锐角∠CC 1D 就是AB 1和CC 1所成的角. ∵ ∠CC 1D =45°， ∴ AB 1 和CC 1所成的角是45°. （2）如图，连结DA 1、A 1C 1，∵ EF ∥A 1D ，AB 1∥DC 1，∴ ∠A 1DC 1是直线AB 1和EF 所成的角.∵ΔA 1DC 1是等边三角形， ∴ ∠A 1DC 1=60º，即直线AB 1和EF 所成的角是60º.点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易. 解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路.第10讲 §2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系¤学习目标：了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系.¤知识要点：1. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作：l α⊂；l P α=；//l α.2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作//αβ；l αβ=.¤例题精讲：【例1】已知空间边边形ABCD 各边长与对角线都相等，求异面直线AB 和CD 所成的角的大小.解：分别取AC 、AD 、BC 的中点P 、M 、N 连接PM 、PN ，由三角形的中位线性质知PN ∥AB ，PM ∥CD ，于是∠MPN 就是异面直线AB 和CD 成的角（如图所示）.连结MN 、DN ，设AB =2， ∴PM =PN =1.而AN =DN=MN ⊥AD ，AM =1，得MN∴MN 2=MP +NP 2，∴∠MPN =90°.∴异面直线AB 、CD 成90°角.【例2】在空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 的中点，若AC + BD = a ，AC ⋅BD =b ，求22EG FH +.解：四边形EFGH 是平行四边形，22EG FH +=222()EF FG +=22211()(2)22AC BD a b +=-. 【例3】已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G分别是BC 、CD 上的点，且23CF CG CB CD ==.求证：（1）E 、F 、G 、H 四点共面；（2）三条直线EF 、GH 、AC 交于一点.证明：（1） 在△ABD 和△CBD 中，∵ E 、H 分别是AB 和CD 的中点， ∴ EH //12BD . 又 ∵23CF CG CB CD ==， ∴ FG //23BD . ∴ EH ∥FG . 所以，E 、F 、G 、H 四点共面.第11讲 §2.2.1 直线与平面平行的判定¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的判定，掌握直线与平面平行判定定理，掌握转化思想“线线平行⇒线面平行”.¤知识要点：1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行. 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号表示为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒. 图形如右图所示. ¤例题精讲：【例1】已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC证明：设PC 的中点为G ，连接EG 、FG .∵ F 为PD 中点， ∴ GF ∥CD 且GF =12CD . ∵ AB ∥CD ， AB =CD ， E 为AB 中点，∴ GF ∥AE ， GF =AE ， 四边形AEGF 为平行四边形.A BCD EFGHABCDEFGMO ∴EG∥AF，又∵AF⊄平面PEC，EG⊂平面PEC，∴AF∥平面PEC.【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证：EF∥平面BB1D1D.证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥DC，OE=12DC.∵DC∥D1C1，DC=D1C1，F为D1C1的中点，∴OE∥D1F，OE=D1F，四边形D1FEO为平行四边形. ∴EF∥D1O.又∵EF⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.【例3】如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG.证明：如右图，连结DM，交GF于O点，连结OE，在BCD∆中，G、F分别是BD、CD中点，∴//GF BC，∵G为BD中点，∴O为MD中点，在AMD∆中，∵E、O为AD、MD中点，∴//EO AM，又∵AM⊂平面EFG，EO⊂平面EFG，∴AM∥平面EFG.点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.【例4】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：MN//平面P AD；（2）若4MN BC==，PA=P A与MN所成的角的大小.解：（1）取PD的中点H，连接AH，由N是PC的中点，∴NH//=12DC. 由M是AB的中点，∴NH//=AM，即AMNH为平行四边形. ∴//MN AH.由,MN PAD AH PAD⊄⊂平面平面，∴//MN PAD平面.（2）连接A C并取其中点为O，连接OM、ON，∴OM//=12BC，ON//=12P A，所以ONM∠就是异面直线P A与MN所成的角，且MO⊥NO. 由4MN BC==，PA=得OM=2，ON=所以030ONM∠=，即异面直线P A与MN成30°的角点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得.第12讲§2.2.2 平面与平面平行的判定¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的判定，掌握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想.¤知识要点：面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：,,////,//a b a b Pa bβββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭.¤例题精讲：【例1】如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.证明：连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN不在平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD. 又PN∩MN=N，∴平面PMN∥平面A1BD.【例2】正方体ABCD—A1B1C1D1中．（1）求证：平面A1BD∥平面B1D1C；（2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．证明：（1）由B1B//=DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BD ⊄平面B1D1C，B1D1⊂平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C．同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．A1苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴（2）由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE∥B 1G ．从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ． ∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ． 【例3】已知四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在P A 、BD 、PD 上, 且PM ：MA =BN ：ND =PQ ：QD .求证：平面MNQ ∥平面PBC .证明： PM ：MA =BN ：N D=PQ：QD . ∴ MQ //AD ，NQ //BP ， 而BP ⊂平面PBC ，NQ ⊄平面PBC , ∴ NQ //平面PBC . 又ABCD 为平行四边形，BC //AD， ∴ MQ //BC ，而BC ⊂平面PBC ，MQ ⊄平面PBC , ∴ MQ //平面PBC .由MQ NQ =Q ，根据平面与平面平行的判定定理， ∴ 平面MNQ ∥平面PBC .点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行. 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.第13讲 §2.2.3 直线与平面平行的性质¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的性质，掌握直线和平面平行的性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.¤知识要点：线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭.¤例题精讲：【例1】经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥B 1B 证明：∵ 11111111//,,AA BB AA BEE B BB BEE B ⊄⊂平面平面，∴ 111//AA BEE B 平面. 又 11111111AA ADD A ADD A BEE B EE ⊂=平面，平面平面， ∴ 11//AA EE .则111111//////AA BB BB EE AA EE ⎫⇒⎬⎭. 【例2】如图，//AB α，//AC BD ，C α∈，D α∈，求证：AC BD =. 证明：连结CD ，∵//AC BD ，∴直线AC 和BD 可以确定一个平面，记为β， ∵,C D α∈，,C D β∈，∴CD αβ=，∵//AB α，AB β⊂，CD αβ=∴//AB CD ， 又∵//AC BD ，∴ 四边形ACDB 为平行四边形， ∴AC BD =.第14讲 §2.2.4 平面与平面平行的性质¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”“面面”平行的转化.¤知识要点：1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒.2. 其它性质：①//,//l l αβαβ⊂⇒； ②//,l l αβαβ⊥⇒⊥；③夹在平行平面间的平行线段相等. ¤例题精讲：【例1】如图，设平面α∥平面β，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β. 求证：MN ∥α.1A β a αb βαEN MDBCA苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 10证明：连接BC ，取BC 的中点E ，分别连接ME 、NE ，则ME ∥AC ，∴ ME ∥平面α，又 NE ∥BD ， ∴ NE ∥β，又M E ∩NE =E ，∴平面MEN ∥平面α，∵ MN ⊂平面MEN ，∴MN ∥α.【例2】如图，A ，B ，C ，D 四点都在平面α，β外，它们在α内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点，在β内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上，求证：ABCD 是平行四边形．证明：∵ A ，B ，C ，D 四点在β内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上， ∴A ，B ，C ，D 四点共面．又A ，B ，C ，D 四点在α内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点， ∴平面ABB 1A 1∥平面CDD 1C 1．∴AB ，CD 是平面ABCD 与平面ABB 1A 1，平面CDD 1C 1的交线．∴AB ∥CD ．同理AD ∥BC ． ∴四边形ABCD 是平行四边形．第15讲 §2.3.1 直线与平面垂直的判定¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解.¤知识要点：1. 定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥. l －平面α的垂线，α－直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α，则l ⊥α3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.¤例题精讲：【例1】四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且EF AC =，90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD .证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG 12//AC =，12//FG BD =. 又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +==， ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C =， ∴BD ⊥平面ACD .【例2】已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值.解：取CD 的中点F ，连接EF 交平面11ABC D 于O ，连AO .由已知正方体，易知EO ⊥平面11ABC D ，所以EAO ∠为所求. 在Rt EOA ∆中，11122EO EF A D ==，AE =sin EO EAO AE ∠==. 所以直线AE 与平面11ABC D. 【例3】三棱锥P ABC -中，PA BC PB AC ⊥⊥，，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，求证：O 为底面△ABC 的垂心.证明：连接OA 、OB 、OC ，∵ PO ⊥平面ABC ， ∴ ,PO BC PO AC ⊥⊥.又 ∵ PA BC PB AC ⊥⊥，， ∴ BC PAO AC PBO ⊥⊥平面，平面，得AO BC BO AC ⊥⊥，, ∴O 为底面△ABC的垂心.。