精心整理03-抛物线【知识点】一、抛物线的标准方程、类型及其几何性质()：轴轴1.的弦，若，则(1)+，，－(3)弦长,，即当(4)若，则=（5）+=2.通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦。

过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.3.的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.4、弦长公式：三、抛物线问题的基本方法1.直线与抛物线的位置关系2.直线，抛物线，3.，消y得：4.（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；5.（2）当k≠0时，Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；Δ=0，直线与抛物线相切，一个切点；Δ＜0（36.直线：①设交点求出，a.或b.中点,，②设交点坐标为，，代入抛物线方程，得a.在涉及斜率问题时，b.在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）【典型例题】考点1抛物线的定义题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换[例1]已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之[解析]由抛物线的定义知，，点为抛x=-1,故1.，点，在抛物线上，且、A．C．由抛物线定义，即：2.已知点F是抛物线的焦点MA. B. C. D.[解析]，选C考点2抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程[例2]求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2)(2)焦点在直线上[解析](1)设所求的抛物线的方程为或,∵过点(-3,2)∴∴∴抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为(2)令得，令得，∴时∴对应的准线方程分别是.3.的焦点与双曲线的右焦点重合则的值[解析]4.[解析]用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件.5.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程[解析]设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或考点3抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证[例3]设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.［解析］设直线OA方程为,由解出A点坐标为解出B点坐标为，直线AB方程为,令得补充：是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。

,0),，由:∴，当方程为，则，∴。

是过抛物线焦点，求证：证明：设，，由抛物线的定义知：，=，所以+=-p，且由结论一知：。

则：=结论二：（1）若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。

（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

证明：（1）设，，设直线AB:由得:,∴，，∴。

易验证，结论对斜率不存在时也成立。

（2）由（1）：AB为通径时，，的值最大，最小。

例：已知过抛物线的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为。

则或。

（2已知AB相切。

(2)，，∴，（2∵，∴∠M FN=（∠A F M+∠M FO+∠BFN+∠NFO）=90°，∴，∴∠PF M=∠F M P∴∠A FP=∠A F M+∠PF M=∠F MA+∠F M P=∠P MA=90°，∴F P⊥AB∴以MN为直径为圆与焦点弦AB相切。

结论四：若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA ⊥OB 。

反之也成立。

证明：设直线AB 方程为:，由得，△>0，， ∵AO ⊥BO ，∴⊥∴将，代入得，。

∴直线AB 恒过定点（0，1）。

∴当且仅当k=0时，取最小值1。

设抛物线上动点坐标为为抛物线的顶点，显然的几何意义为过抛物线顶点的动弦的斜率． 例直线相交于原点和点，为抛物线上一点，段分别为，则，．的坐标分别为．1A ．2为坐标原点)A ．3121和直线l 2的距离之和的最小值是()A ．2B ．3C.511D.16374．点A ，B 在抛物线x 2＝2py (p >0)上，若A ，B 的中点是(x 0，y 0)，当直线AB 的斜率存在时，其斜率为()A.y02pB.y0pC.x0pD.p x05．[2010·福建卷]以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为() A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0 6．[2010·山东卷]已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2 7．[2010·陕西卷]已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为()A.21B ．1C ．2D ．48．[2010·辽宁卷]设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－，那么|PF |＝()A ．4B ．8C ．8D ．16 9．[2011·东北三校模拟]已知抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则a 的值为________． 10．[2010·浙江卷]设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．11．给定抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)，斜率为k 的直线与C 相交于M ，N 两点，若线段MN 的中点在直线x ＝3上，则k ＝________.12(1)(2)M ，13点P (1)(2)B 1．若点()A ．2A.253是坐标A ．4A ．5A ．x ＝p B ．x ＝3p C ．x ＝23p D ．x ＝25p6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)均在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有()A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3| 7．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.217B ．3C.D.298．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝|AF |，则△AFK 的面积为()A ．4B ．8C ．16D ．329．已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．10．[2010·全国卷Ⅱ]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若→AM ＝→MB，则p ＝________.11．[2010·重庆卷]已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足→AF ＝3→FB，则弦AB 的中点P 到准线的距离为________．12．(13分)[2012·珠海模拟]在平面直角坐标系xOy 中，设点F ，01，直线l ：x ＝－21，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l . (1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)长|TS |13y (1)(2)→FB<0？1．2．轴的交点为A 2a3．y 2＝4x 3y ＋6＝04．＝2p (y 1－y 2)5．D[解析]因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，即所求圆的圆心．又知该圆过原点，所以圆的半径为r ＝1，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0.6．B[解析]抛物线的焦点F ，0p，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －2p，即x ＝y ＋2p， 将其代入y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0， 所以2y1＋y2＝p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.7．C[解析]方法1：∵抛物线的准线方程为x ＝－2p，圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16.∴3－2p＝4，∴p ＝2.方法2：作图可知，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切于点(－1,0)，所以－2p＝－1，解得p ＝2.8．B[解析]设准线l 与x 轴交于点B ，连接AF 、PF ，则|BF |＝p ＝4，∵直线AF 的斜率为－，∴∠AFB ＝60°.在Rt △ABF 中，|AF |＝cos60°4＝8.又根据抛物线的定义，得|PA |＝|PF |，PA ∥BF ，∴∠PAF ＝60°，∴△PAF 为等边三角形，故|PF |＝|AF |＝8.9．－41[解析]抛物线方程为x 2＝a 1y ，故其准线方程是y ＝－4a 1＝1，解得a ＝－41.10.42p pp ＝，则B 11得k 2x 2＋(2k 2－12C 的焦(2)x0－4y0，因为AB 消去x ，得4x0y 2－y 0y ＋y 02＋x 0(x 0－4)＝0， 所以y 1＋y 2＝4－x04y0， 因为N 为AB 中点，所以2y1＋y2＝y 0，即4－x02y0＝y 0，所以x 0＝2，即线段AB 中点的横坐标为定值2. 13．[解答](1)证明：由已知F ，0p，设A (x 1，y 1)， 则y 12＝2px 1，圆心坐标为2y1，圆心到y 轴的距离为42x1＋p，圆的半径为2|FA|＝21×2p＝42x1＋p，所以，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切．(2)解法一：设P (0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由→FA＝λ1→AP，→BF＝λ2→FA，得 ，y1p ＝λ1(－x 1，y 0－y 1)， －x2，－y2p＝λ2，y1p，2p－x 由y 又y 将x 12由→FA＝λ1→AP，→BF＝λ2→FA，得 ，y1p ＝λ1(－x 1，y 0－y 1)， －x2，－y2p＝λ2，y1p，所以x 1－2p ＝－λ1x 1，y 1＝λ1(y 0－y 1)， 2p－x 2＝λ22p ，y 2＝－λ2y 1，将y 2＝－λ2y 1代入(*)式，得y 12＝λ2p2， 所以2px 1＝λ2p2，x 1＝2λ2p.代入x 1－2p ＝－λ1x 1，得λ21＝1－λ2λ1， 因为λ2λ1∈21，所以λ2的取值范围是，24.B1．C[解析]点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，说明点P (x ，y )到点F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0即y ＝－2的距离相等，轨迹为抛物线，其中p ＝4，故所求的抛物线方程为x 2＝8y .2．是y ＝2p 3．|＝21×4×1＝4．0，∵y 02≥05．.由此得x0y0×2p 6．7．义知P 离之和8．设A －(－2)＝x 0＋2∴由BK 2＝AK 2－AB 2得y 02＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，∴A (2，±4)，∴△AFK 的面积为21|KF |·|y 0|＝21×4×4＝8.9．y 2＝4x [解析]设抛物线方程为y 2＝kx ，与y ＝x 联立方程组，消去y ，得：x 2－kx ＝0，x 1＋x 2＝k ＝2×2＝4，故y 2＝4x .10．2[解析]过B 作BE 垂直于准线l 于E ，∵→AM＝→MB，∴M 为AB 中点，∴|BM |＝21|AB |.又斜率为，∠BAE ＝30°，∴|BE |＝21|AB |，∴|BM |＝|BE |，∴M 为抛物线的焦点，∴p ＝2.11.38[解析]设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AF |＝x A ＋1，|BF |＝x B ＋1，∴x A ＋1＝3(x B ＋1)．① 由几何关系，x A －1＝3(1－x B )．②联立①②，得x A ＝3，x B ＝31，∴所求距离d ＝2xA ＋xB＋1＝38.12．[解答](1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离．点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为：y 2＝2x (x >0)．(2)，则|13(2)设l →FA ·又x ⇔2<m <3＋2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)，且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有→FA ·→FB<0，且m 的取值范围是(3－2，3＋2)． 【作业】一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1．顶点在原点，焦点是F (0,5)的抛物线方程是()A ．y 2＝20x B ．x 2＝20y C ．y 2＝201x D ．x 2＝201y 2．抛物线y ＝－x 2的焦点坐标为()A.41B.41C.，01D.，013．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为()A.81B ．－81C ．8D ．－84．(2010年高考陕西卷)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为()A.21 B ．1C ．2 D ．45．(2010年高考湖南卷)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是()A ．4B ．6C ．8D ．126．若点P 的轨A ．C ．7．以x ，物线A ．82x 2＝x 1＋x 3A ．B ．C ．D ．9 A. 10A 11()A 12．A 、B A ．1314．抛物线y 2＝4x 上的点P 到焦点F 的距离是5，则P 点的坐标是________．15．抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则|FA |＋|FB |＝________.16．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，则以O 为顶点，且过A 、B 的抛物线方程是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17．（本题满分12分）若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．18（本题满分12分）．抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线相交于点A ，|AF |＝5，求抛物线的标准方程．19．（本题满分12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，其准线l 与圆(x －2)2＋y 2＝25相切，求抛物线的方程．20．（本题满分12分）过点Q (4,1)的抛物线y 2＝8x 的弦AB 恰被点Q 平分，求AB 所在直线方程．21．（本题满分12分）已知抛物线y 2＝－x 与直线l ：y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于时，求k 的值． 22.（2009江苏卷）（本题满分14分） 在平面直角坐标系中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在轴上。