流动特性相连的。
§ 2.1.3 连续方程的微分形式
▪ 由于推导时所用的控制体的空间位置固定， 所以积分的极限形式也是固定的。于是对时
间求偏导数可以放到体积分符号里面
d
V dS 0
t
S
▪ 根据散度定量，上式右边项可以表示为：
t d Vd 0
或者：
t
V
d
0
▪ 分析积分形式中的被积函数，如果被积函数的值是 有限的，那么此方程要求它在控制体的一部分区域
第二章 流体运动的基本方程和
基本规律
▪ 自然科学中有三大守恒律：质量守恒、动量 守恒和能量守恒。
▪ 本章先利用这三大原理，推导出流体力学中 的三个基本方程：连续方程、动量方程和能 量方程。然后粗略介绍这三个方程的解法。 最后分析流体微团运动和旋涡运动。
目录
§ 2.1 连续方程 § 2.3 能量方程 § 2.5 微团运动分析
▪ 对定常流动，/t0 ，因此积分与微分形式
的连续方程分别简化为：
V dS 0
V 0
S
§ 2.1.4 连续方程的物质导数形式
▪ 第一章我们学习了物质导数，下面我们把连
续方程表示成物质导数的形式。
▪ 首先引入一个矢量记号： • V •V V •
它表示标量和矢量乘积的散度等于标量乘以
矢量的散度加上矢量点乘个标量的梯度。
▪
▪ 值得注意的是：连续方程的微分形式与积分 形式都是质量守恒原理的等效的表示。它们 只是数学表述方式不同而已，反映的的实质 都是“物质即不能创造也不能消灭”。
▪ 在连续方程的推导过程中，关于流体性质的 唯一假设就是连续性假设。因此，上式对任 意流体的三维非定常流动、有粘或是无粘、 可压或是不可压，都成立。
扫过体积Vn dtA
▪ 因此阴影部分的质量是：流过质量= VndtA
这就是在时间dt内流过面A的质量。
▪ 定义每秒钟流过面的质量为面的质量流量，
其单位是kg/s，记为
•
m
，从方程（2.1）有
•
m
Vn
dt
A
dt
•
或者 mVn A
▪ 再引入一个相关概念：质量通量。 其定义为单位面积上的质量流量，即
•
§ 2.2 动量方程 § 2.4 方程的基本解法 § 2.6 旋涡运动
§2.1 连续方程
▪ § 2.1.1 连续方程的物理意义 ▪ § 2.1.2 连续方程的积分形式 ▪ § 2.1.3 连续方程的微分形式 ▪ § 2.1.4 连续方程的物质导数形式
§ 2.1.1 连续方程的物理意义
连续方程描述的是流体力学中的质量守恒规律： 流出控制体的质量流量等于控制体内质量随时间的 减少率。
质量通量＝
m A
Vn
质量通量的单位是： kg/ sm2
▪ 质量流量和质量通量的概念很重要。
▪ 为了得到连续方程，对空间位置固定的有限 控制体运用质量守恒律： 质量既不能创造，也不能消灭
▪ 设流场特性随空间和时间的变化而变化，比
如 x,y,z,t。在该流场中，考虑如图2-2中
所示的有限控制体，在控制面上任取一点， 其速度是V，ds是包含该点的面元的外法矢， dv是控制体内流体微团的体积。
▪ 质量流量沿整个控制面S求和就是净流出整个 控制面S的质量流量。再取极限，和就演变成 面积分，也就是上述方 程 的左边B：
B VdS
S
▪ 现在考虑方程的右边C。
▪ 体元dv中包含的质量是：d
因此，整个控制体内的质量是： d
那么控制体内的流体质量随
时间的增加率是： d t
▪ 反过来，控制体内质量随时间的减少率就是
▪ 在推导这个基本气动方程之前，我们引入质 量流量的概念。对位于流场中任意的面A，如 图2-1所示。图2-1是面A的侧视图。
A
图2-1 流过面 A的质量流量
▪ 假设区域足够小，因此面上各点的速度可以 认为相同。考虑以速度V穿过面A的流体微团， 在穿过面以后的时间dt内，它运动了的距离 Vdt，扫过的体积如图2-1阴影部分所示。显 然，扫过的体积等于底面积乘以柱体的高度 Vndt，这里Vn是速度在面A法向上的分量，即
▪ 考虑微分形式给出的连续方程
•
V
0
t
▪ 应用上述的矢量记号，上式变为
“物质即不能创造也不能消灭”
▪ 在上一章第六节中，我们讨论了几种用来研究流体 运动的模型，现在对这些流体模型运用基本的物理 原理。和前面推导的物理意义不同，那里采用的是 运动的有限控制体，这里我们采用位置在空间固定 的有限控制体，即控制体固定在空间某个位置，流 体从中穿过。
▪ 显然，和前面的推导不同，控制体的体积和控制面 都不随时间变化，但是由于流场的非定常特性，控 制体内所包含的质量是随时间变化的。
S
▪ 上式就是连续方程的积分形式。
▪ 很多情况下会运用到这种形式的连续方程，它可以 用来解释某个有限区域空间的气动现象，而不必关
心流场中某个点的具体细节。
▪ 然而，有时候我们需要关心流场的细节，就必须对 所取定点运用连续方程进行分析。在这种情况下，
积分形式的连续方程并不适用。
▪ 然而从积分形式的连续方程可以推导出微分形式的 连续方程，这种形式的连续方程是与空间具体点的
的积分和剩余的区域的积分大小相等，符号相反，
这样在整个控制体内的积分才为零。然而有限控制
体是任意的，因此对任意控制体，都要求要此方程
的积分为零，唯一方法是被积函数在控制体内所有 点值都为零。因此
•
V
0
t
•
V
0
t
▪ 上式就是连续方程的微分形式。该方程建立 了流场中某点的流动变量之间的关系，与积 分形式的连续方程相反，后者反应的是流场 中一个有限空间的流动变量之间的关系。
图2-2
▪ 对该控制体运用质量守恒律
净流出控制面的质量 控制体内质量的减少
记为
B=C
▪ 穿过面元ds的质量流量是：VndSVdS
▪ 习惯上ds从控制体内指向外 ， 因此当V也从
内指 向 外时，如图2-2， V dS 乘积为正。
▪ ▪
VdS V dS
为正：流出控制体的质量流量 。 为负：流入控制体的质量流量。
上式的相反数： t
d C
▪ 则由： 净流出控制面的质量 控制体内质量的减少
得到：
V dS
d
t
S
或者： tBiblioteka d V dS 0S
此方程是对在空间位置固定的有限控制体运用质量
守恒率得到的结果，称为连续方程。它是流体力学 中最基本的方程之一。
§
2.1.2
t
连续方程 的积分形式
d V • dS 0