② 表面力： 理想流体，没有粘性，所以表面力只有压力
X方向上作用于垂直 x 轴方向两个面的压力分别为：
pM
?
p?
?p ?x
dx 2
pN
?
p?
?p ?x
dx 2
X 方向上质点所受表面力合力：
（ pM ? p N） dydz
?
?
? p dxdydz ?x
③ 流体质点加速度 a? 的计算方法：
? ?? ? ??（x，y，z，t）x ? f（t） y ? f（' t）y ? f （'' t）
流速的全导数应是：
a? ?
d??
dt
?
???
?t
?
?
x
???
?x
??y
???
?y
?
?
z
???
?z
当地加速度： 流场中某处流体运动速度对时间 的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时 间变化特性 迁移加速度： 流场由于流出、流进某一微小区 域而表现出的速度变化率。
a? 流体质点加速度
在三个坐标轴上的分量表示成：
?t
?
?x
?? x
?x
?
?y?? x源自?y??z
?? x
?z
?
fx ?
1
?
?p ? ?x
? ?
(
? 2? x
ax
?
d?x
dt
?
??x
?t
??x
??x
?x
??y
??x
?y
??z
??x
?z
ay
?
d? y
dt
?
?? y
?t
??x
?? y
?x
??y
?? y
?y
??z
?? y
?z
az
?
d?z
dt
?
??z
?t
??x
??z
?x
??y
??z
?y
??z
??z
?z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程：
得x 方向上的运动微分方程：
推导过程：
⑴取微小六面控制体 ⑵推导依据： 牛顿第二定律 or动量定理：
即作用力之合力=动量随时间的变化速率
?
? F?
ma? ?
m d?? ?
dt
d（m??）
dt
⑶分析受力： ① 质量力：
?
? dxdydzf
???? 单位质量力： f ? fxi ? f y j ? fzk
X方向上所受质量力为： ?f xdxdydz
⑵不可压缩性流体的连续性微分方程：
?? x ? ?? y ? ?? z ? 0 or div?? ? 0
?x ?y ?z
说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。或流入 体积流量与流出体积流量相等。
⑶稳定流动时： 所有流体物性参数均不随时间而变，?? ? 0
?t
?（??
?x
x）?
?（??
?y
y）?
?（??
流体力学中的三大基本方程
刘颖杰
1 连续性微分方程
? 理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用 ? 数学描述：
[单位时间流出的质量 ]-[单位时间流入的质量 ]+[单位时间
质量的累积or增量]=0
?公式推导：
（1）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化
假定流体连续地 充满整个流场，从中
任取出以 o??x，y，z?
?t
?t
单位时间内，微元体质量增量：
?? dtdxdydz / dt ? ?? dxdydz
?t
?t
（微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
??
?t
?
?（??
?x
x）?
?（??
?y
y）?
?（??
?z
z）?
0
矢量形式：
??
?
?
?
? ?? ?
0
?t
——三维连续性微分方程
⑴适用条件： 不可压缩和可压缩流体 理想和实际流体 稳态及非稳态流动
?z
z）?
0
div(???) ? 0
⑷二维平面流动： ?? x ? ?? y ? 0
?x ?y
2. 理想流体的运动方程
3.4.1--- 欧拉运动微分方程
? 理论依据： 是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建 立了理想流体的密度、速度、压力与外力之间的关系。
? 1775 年由欧拉推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速 与其所受到外力间的关系式即是运动方程。
点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx ，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x ，
y，z。设控制体中心点处流速的三个分量为 vx，v,y，液vz体密
度为 。将? 各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量
，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点 的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点 M的质点 在x 方向的分速度为
vx
?
1 2
?vx ?x
dx
通过控制体后表面中心点N的质点在x 方向的分速度为
vx
?
1 2
?vx ?x
dx
因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。 所以单位时间内沿x 轴方向
流入控制体的质量为
???? vx
?
1 2
?
?? v
?x
x
?dx
???dydz
流出控制体的质量为
???? vx
?
?
d? x
dt
dxdydz
?
?
?p ?x
dxdydz
?
?
f x dxdydz
单位体积 流体的运动微分方程：
?
d? x
dt
?
?
?p ?x
?
?
fx
单位质量 流体的运动微分方程：
d? x
dt
?
?
1
?
?p ? ?x
fx
同理可得y,z 方向上的：
d?x
dt
?
??x
?t
??x
??x
?x
??y
??x
?y
??z
??x
量差为
?
??
v
y
? dxdydz
和
?y
? ?? v z ?dxdydz
?z
故单位时间内流出与流入微元体流体质量总变化为：
?????x（??
x）?
?（??
?y
y）?
?（??
?z
z）?? dxdydz ?
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt 时间内：
（? ? ?? dt）dxdydz ? ? dxdydz ? ?? dtdxdydz
式中：
gradp ? ?p i ? ?p j ? ?p k ?x ?y ?Z
适用条件：理想流体，不可压缩流体和可压缩流体
（5）连续性微分方程和运动方程在求解速度场中的应用
这里以不可压缩粘性流体稳定等温流动为例：
连续性方程： 运动方程：
?? x ? ?? y ? ?? z ? 0
?x ?y ?z
?? x
1 2
?
?? vx
?x
?dx
???dydz
于是，单位时间内在 x方向流出与流入控制体的质量差 为
???? v x
?
1 2
?
?? v
?x
x
?dx
???dydz
?
???? v x
?
1 2
?
?? vx
?x
?dx???dydz
?
???vx ?dxdydz
?x
同理可得在单位时间内沿 y，z方向流出与流入控制体的质
?z
?
?
1
?
?p ?x
?
fx
d?y
dt
?
??y
?t
??x
??y
?x
??y
??y
?y
??z
??y
?z
?
?
1
?
?p ? ?y
fy
d?z
dt
?
??z
?t
??x
??z
?x
??y
??z
?y
??z
??z
?z
?
?
1
?
?p ? ?z
fz
向量形式： d? ? f ? 1 gradp
dt
?
——理想流体欧拉运动微分方程