2、反思解题思路。做完一道题后，应考虑能否根据该题的基 本特征与特殊因素，进行多角度的观察、联想，找到更多的思 维通路，也即培养学生数学思维的广阔性。
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• 波利亚的《怎样解题》被译成16种文字，仅 平装本就销售100万册以上。著名数学家瓦尔 登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致 词中说：“每个大学生，每个学者，特别是 每个老师都应该读读这本引人入胜的书”。
• 我想，波利亚关于怎样解题的思想对于广大 中学生同样也是非常需要的和有益的。
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长、宽、高 这个问题的条件是否充分，能否确定未知数x？充分，如果知
道a,b,c,就能确定长方体，知道长方体就可以确定对角线。
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2.拟定计划
首先，教师愿意向学生暴露自己的思维过程。 当学生问到某些较困难的问题时，他们愿意 和学生共同思考，寻找解决问题的思想方法。
其次，教师应指导学生对数学解题过程进行 分析、归纳，把解题过程概括、提炼，形成 数学学习最重要的内容——数学的思想和方 法。
数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自 然、认识自然的活动。
传统的应用题条件不多不少，数量结构明显，使得学生用于 数学抽象的思考较少，到了最低限度，学生的信息处理能力、 独立思考能力受到了压抑。而新教材在解决实际问题的教学 中，需要教师鼓励学生利用已有的生活经验进行解题。
教师要根据题目的特点和学生的思维发展水平使学生掌握一 些常用的解题策略。
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《怎样解题》表—回顾
你能否检验这个论证？你能否用别的方法导 出这个结果？你能不能一下子看出它来？你 能不能将这一结果或方法用于其他问题？
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在解题后，教师可以训练学生进行以下三方面的 反思：
1、反思审题过程。对审题过程进行反思，就是在解题活动完 成后，对自己最初审题时在理解题意过程中是这样“获取信息” 进行再思考。
著作：《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与 猜想》等，这些书被译成很多国家的文字出版，成 了世界范围内的数学教育名著。
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波利亚的数学贡献
波利亚在数学的广阔领域内有精深的造诣。他的数 学研究的最显著特点是他有极为广泛的兴趣，对实 变函数、复变函数、概率论、纵使数学、数论，几 何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡 献，留下了以他的名字命名的术语和定理。
3、在教学中利用变式教学,将题设条件或结论作相应的变化,
按照一定的梯度设置变式题。
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《怎样解题》表—实现计划
你能否清楚地看出这一步骤是正确的? 你能否证明这一步骤是正确的?
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4.回顾
“回顾”阶段 ，就是加强解题后的反思教学 所谓解题后的反思是指在解决了数学问题后，通
过对审题过程、解题思路、解题途径、题目结论的 反思来进一步暴露数学解题的思维过程，从而开发 学习者的解题智慧，以达到事半功倍，提高数学学 科自我监控能力的目的。 教师可以在课堂小结，单元复习时，适时地对某种 数学思想方法的关键点或要素进行概括、强化和揭 示，对它的内容、规律、运用等有意识地适度点拨。
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《怎样解题》表--拟定计划
你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你 是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？ 看着未知数，试想出一个具有相同未知数或者相似未知数的熟 悉的问题。这是有一个与你现在的问题相关，且早已解决的问 题。你能不能利用它们？你能利用它的结果吗？你能利用它的 方法吗？为了能够利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你 能不能够重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述 它？如果你不能解决提出的问题，可先解决一些有关的问题， 你能否想出一个更容易着手的有关的问题？一个更普遍的问题？ 一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的 一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未 知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据 导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它 数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或者数据，或者都 改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有 已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题 中的必要概念？
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波利亚的《怎样解题》表的精髓是：启发你 去联想。
联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表 中所提出的建议和启发性问题吧。"你以前见 过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有 不同？你是否知道与此有关的问题？你是否 知道一个可能用得上的定理？看着未知数试 指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟 悉的问的发展，特别是使 学习困难的学生化被动学习为主动学习
作为老师，要面向每一位同学，鼓励大家要认真思 考，然后每一位成员阐述自己的想法，最后由发言 人发言（经常轮换角色）。强迫他接受知识，教师 则适时的给予激励。在他们听到你真棒！、你真聪 明！……等这些鼓励的话时，就能尝到成功的甜头， 大家都跃跃欲试。逐步学会思考、学会不懂多问、 主动探求知识。
波利亚解题表 不同的方法 教师的提问 好问题与坏问题
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（一）波利亚解题表
1. 弄清问题 2. 拟定计划 3. 实现计划 4. 回顾
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1.弄清问题
弄清问题就是重述问题，教会学生形成正确的审题 方法 。 首先，必须让学生了解问题的文字叙述。 已知 是什么? 未知是什么? 题目要求你干什么?可否画 一个图形?可否数学化? 其次，要教会学生形成正确的审题方法。教师 可以教学生利用数学语言的转换来培养学生好的审 题习惯，形成正确的审题方法。 另外，还要注意引导学生挖掘已知条件与所求 之间的关系，特别是挖掘题中的隐含条件。
波利亚-怎样解题
1
主要内容介绍
关于波利亚
波利亚生平简介 波利亚数学成就 波利亚与他的《怎样解题》
第一章在教室中
目的 主要部分，主要问题
2
前言：关于波利亚
波利亚的生平简介 波利亚的数学成就 波利亚与他的《怎样解题》
3
波利亚生平简介
波利亚（George Polya，1887-1985），美籍匈牙 利数学家。生于布达佩斯，卒于美国。青年时期曾 在布达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读数学、物理和 哲学，获博士学位。1914年在瑞士苏黎世工业大学 任教，1938年任数理学院院长。1940年移居美国， 历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963年获美国数 学会功勋奖。他是法国科学院、美国全国科学园和 匈牙利科学院的院士。
他认为只要解题按照这四个步骤去做，必定 成功。
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• 他指出寻找解法实际上就是"找出已知数与未 知数之间的联系，如果找不出直接联系，你 可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求 解计划。"他把寻找并发现解法的思维过程分 解为五条建议和23个具有启发性的问题，它 们就好比是寻找和发现解法的思维过程的"慢 动作镜头"，使我们对解题的思维过程看得见， 摸得着。
问题难易适中。 问题太难，不符合学生的知识水平和接受能力，会造成冷场， 达不到目的，过浅对答如流，无助于思维的锻炼。国外研究 表明：探测问题的难度可用公式：1减去（通过的人数除以 全班人数）来算，如果得数在0.3-0.8就可视为适中，如果得 数在0.3以下或超过0.8则是要求太低或过高。
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（四）常识
第一章 在教室中
目的 主要问题,主要部分
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一、目的
帮助学生 问题、建议、思维活动 普遍性 常识 教师与学生，模仿与实践
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（一）帮助学生
波利亚说：“教师最重要的任务就是帮助学 生”，“教师对学生应当设身处地，应当了 解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并 且能提出一个学生自己可能会产生的问题， 或者指出一个学生自己可能会想出来的步 骤。”
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《怎样解题》表--

?已知是什么?条件是什么?满足
条件是否可能?要确定未知，条件是否充分?
或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛
盾的?画张图，引入适当的符号．把条件的各
个部分分开．你能否把它们写下来?
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例子：已知长方体的长、宽、高，求其 对角线长度。
从例题中我们会发现问题： 未知数是？对角线 已知数是？长、宽、高 用哪个字母代表未知数？X 长、宽、高用哪个字母表示？a,b,c 联系a,b,c与x的条件是？X是长方体对角线，a,b,c是长方体的
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（三）普遍性
问题具有普遍适应性。 提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知数是什 么?已知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的， 对于所有各类问题，我们提出这些问题都会取得良好效果。 它们的用途不限于任何题目。我们的问题可以是代数的或几 何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问 题或仅仅是个谜语。这没什么差别，上述问题都是有意义的， 而且有助于我们解题。
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（五）教师与学生，模仿与实践
当教师向学生提出表中的问题或建议时，他 可能有两个目的：第一，帮助学生解决手头 的问题；第二，培养学生将来能够独立解题 的能力。
解题是一种本领，是只有模仿和实践才能实 现的本领。
教师通过培养学生的兴趣，然后给他们提供 大量的机会去模仿与实践。
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二、主要部分，主要问题
另外，他一生发表达200多篇论文和许多专著，他 的论文被收集整理成四卷本的论文集，由美国麻省 理工学院出版社出版(前两卷在1974年出版，后两 卷在1984年出版)．
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波利亚与他的《怎样解题》
波利亚热心数学教育，十分重视培养学生 思考问题分析问题的能力。他认为中学数学 教育的根本宗旨是“教会年轻人思考”。学 习数学的主要目的在于解题。
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教师应该怎样帮助学生？
1.以发展的眼光看待学生间的差异
有人的地方就有差异，因此我们必须承认差异的存在。对 于个体差异，作为老师要能注意到其潜能的一些特点。比如 有人以言语见长；有的却以动作技能超凡；有的惯于形象思 维；而有的抽象思维占优势。所以对于有差异的个体，既要 发现他们潜能的优势，也要考虑如何帮助他们扬长避短，以 点带面，最终获得全面的发展。