数学物理方程教案3主要内容：1、掌握行波解求解思路和一般步骤。

2、掌握有源化无源的冲量原理法和三维化一维的平均值法和求解步骤。

3、理解推迟势的物理意义。

第二章行波法上一章已经学习了建立数学物理方程和定解条件的基本方法，即确定了定解问题，那么从本章开始，我们将重点学习各种求解数学物理方程的方法，主要包括：行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法等。

我们知道，求解常微分方程时，一般是先求方程的通解，再用初始条件来确定通解中的任意常数，从而得到特解。

那么这种思想能否用于求解偏微分方程的定解问题呢？也就是说先求出偏微分方程的通解，再用定解条件确定通解中的任意常数或函数。

通过研究可以发现，由于偏微分方程定解问题本身的特殊性，很难定义通解的概念，即使对某些方程可以定义并求出通解，但要通过定解条件来确定通解中的任意函数也是相当困难的。

因此，一般情况下我们是不能够使用类似于常微分方程的求解过程来求解偏微分方程的，但是，对于某些特殊的偏微分方程的定解问题，尤其在求解无界区域上的齐次波动方程等类型的定解问题时，可以考虑这种先求通解再确定特解的方法。

另外，从物理学上看，对于齐次波动方程反映了媒质被扰动后在区域里不再受到外力时的振动传播规律，如果问题的区域是整个空间时，由初始扰动所引起的振动就会一直向前传播出去，形成行波，而这类问题可以得到通解，我们把这种主要适用于求解行波问题的方法称为行波法，本章将讨论这种方法的求解思路、方法和应用。

2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式2.1.1 达朗贝尔（D`Alembert）公式的导出对于无限长的弦的自由振动、无限长的杆的纵向自由振动以及无限长理想传输线上的电流和电压均满足相同的波动方程的定解问题泛定方程： 2tt xx u a u =，（,0x t -∞<<∞>） (2.1)初始条件： ()()()(),0,0t u x x u x x ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩， (2.2)式中，(),()x x ϕψ为已知函数。

因为对于无限长弦，其边界的物理状态并未影响到所考察的区域，所以不需提出边界条件。

此定解问题即为初值问题。

为了用行波法求解这一问题，我们首先要求出(2.1)的通解。

做变量代换，引入新的自变量x atx at ξη=-⎧⎨=+⎩, (2.3) 利用复合函数求微商的法则，可以得到x x x u u u u u ξηξηξη=+=+， (2.4)()()()()()() 2xx x x x x x x u u u u u u u u u u u u ξηξηξηξξηηξξξηηηξη=+=+=+++=++， (2.5)()t t t u u u a u u ξηξηξη=+=-+， (2.6)()2()()()() ()()2tt t t t t t t u u u a u u a a u u a u u a u u u ξηξηξηξξηηξξξηηηξη⎡⎤=+=-+⎣⎦⎡⎤=--++-+=-+⎣⎦， (2.7)将上面得到的,tt xx u u 代入式(2.1)，得到()()2222a u u u a u u u ξξξηηηξξξηηη-+=++， (2.8)即0u ξη=. (2.9)求上面方程的解，先对η积分，得 ()()0u u d d c c ξξηηηξξ==+=⎰⎰， (2.10) 再对ξ进行积分可得()()()()()212,u c d f f f ξηξξηξη=+=+⎰， (2.11)式中，()()12,f f ξη分别是ξ，η的任意函数。

把代换(2.3)代入此式，得到()()()12,u x t f x at f x at =-++. (2.12)容易验证，只要12,f f 具有二阶连续偏导数，表达式(2.12)就是自由弦振动方程(2.1)的通解。

下面我们利用初始条件(2.2)来确定任意函数1f 和2f 。

即求满足定解条件的解。

把式(2.12)代入式(2.2)得12(,0)()()()u x f x f x x ϕ=+=， (2.13)12(,0)()()()t u x af x af x x ψ''=-=， (2.14)即0121()()()xx f x f x d c aψαα-=+⎰， (2.15) 由(2.13)式和(2.15)式容易解得0111()()()222x x cf x x d a ϕψαα=++⎰， (2.16) 0211()()()222x x cf x x d a ϕψαα=--⎰. (2.17) 将()1f x 和()2f x 中的x 分别换成x at +和x at -，代入(2.12)得[]11(,)()()()22x atx atu x t x at x at d a ϕϕψαα+-=++-+⎰. (2.18)这就是达朗贝尔公式或称为达朗贝尔行波解。

它是一维无界齐次波动方程的初值问题的特解的一般表达式。

例1. 求解初值问题20|,|4tt xxt t t u a u u x u ==⎧=⎪⎨==⎪⎩， (2.19) 解：显然这是一个一维无界齐次波动方程的初值问题，()(),4x x x ϕψ==，故由达朗贝尔公式(2.18)有()[]11,422 4x atx atu x t x at x at d a x tα+-=++-+=+⎰. (2.20) 2.1.2 达朗贝尔公式的物理意义首先，我们以无限长弦的横向自由振动为例来阐述达朗贝尔公式的通解式(2.12)的物理意义。

先考察第一项()11u f x at =-， (2.21)它是方程(2.1)的解，对于t 不同的值，就可以看到弦在不同时刻相应的振动状态。

在t =0时，()()11,0u x f x =，它对应于初始时刻的振动状态，假如图2.1（a ）曲线表示的是0t =时的弦振动的状态(即初始状态)；在1/2t =时，()11,1/2(/2)u x f x a =-的图形如图2.1（b ）所示；在1t =时，()11,1()u x f x a =-的图形如图2.1（c ）所示；在2t =时，()11,2(2)u x f x a =-的图形如图2.1（d ）所示。

这些图形说明，随着时间的推移，()11u f x at =-的图形以速度a 向x 轴正向移动，所以()11u f x at =-表示一个以速度a 沿x 轴正向传播的行波。

同理，第二项()22u f x at =+表示一个以速度a 沿x 轴负向传播的行波。

所以说达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播的速度正好是弦振动方程中的常数a 。

也正是基于此原因，上述求波动方程通解的方法叫做行波法。

(a)(b)(c) (d)图2.1 行波示意然后，我们研究满足初始条件(2.2)的达朗贝尔公式特解。

从特解(2.18)的表达式可以看出，沿x 轴正、负方向传播的行进波，包含两部分，一部分来源于初始位移，一部分来源于初始速度。

至于行波的具体波形，取决于初始条件(2.2)。

为了使这个概念具体化，我们分别对以下两种特殊情况进行讨论：（1）()0x ψ=（只有初始位移，初速度为零的弦振动） 此时由(2.18)给出[]1(,)()()2u x t x at x at ϕϕ=++-. (2.22) 先看第二项，设观察者以速度a 沿x 轴正向运动，则t 时刻在x c at =+处，他所看到的波形为()()()x at c at at c ϕϕϕ-=+-=. (2.23)由于t 为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波形()c ϕ，可见，波形和观察者一样，以速度a 沿x 轴正向传播。

所以，()x at ϕ-代表以速度a 沿x 轴正向，称为正行波。

而第一项的()x at ϕ+则当然代表以速度a 沿x 轴负向传播的波，称为反行波。

正行波和反行波的叠加（相加）就给出弦的位移。

（2）()0x ϕ=（即只有初速度，初始位移为零的弦振动） 此时式(2.18)给出1(,)()2x atx atu x t d a ψαα+-=⎰， (2.24)设()x ψ为()2x aψ的一个原函数即()()012xx x d a ψααψ=⎰， (2.25)则此时有()()(),u x t x at x at =ψ+-ψ-， (2.26)由此可见第一项也是反行波，第二项也是正行波，正、反行波的叠加（相减）给出弦的位移。

所以，达朗贝尔解表示正行波和反行波的叠加。

例2. 设初速度()x ψ为零，初始位移为0 ()22 (0)()22 (0)0 ()x x x x x x x αααϕααα<-⎧⎪⎪+-≤≤⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎪>⎩， (2.27)的无界弦的自由振动位移。

解：则此时达朗贝尔解(2.18)给出了弦的位移为[]1()()()2u x x at x at ϕϕ=++-， (2.28) 即初始位移（图2.2最下一图的粗线），它分为两半（该图细线），分别向左右两方以速度a 移动（见图中由下而上的各图中的细线），每经过时间间隔4aα，弦的位移由此二行波的和给出（见图中由下而上的各图粗线）。

图2.2 弦的波动示意2.1.3 依赖区间和影响区域1. 依赖区间由达朗贝尔公式(2.18)可看出，定解问题(2.1)~(2.2)的解在一点()(),:,0x t x t ∈ΩΩ-∞<<∞>处的值，仅依赖于x 轴的区间[],x at x at -+上的初始条件，而与其它点上的初始条件无关。

我们称区间[],x at x at -+为点(),x t 的依赖区间，它是过点(),x t 分别作斜率为1a ±的直线与x 轴所交截而得的区间。

如图2.3所示。

图2.3 依赖区间2. 影响区域从一维其次波动方程的通解()()()12,u x t f x at f x at =++-可知，波动是以一定的速度a 向两个方向传播的。

因此，如果在初始时刻0t =扰动仅在一有限区间[]12,x x 上存在，那么经过时间t 后，它所传到的范围就由不等式12,(0)x at x x at t -≤≤+>， (2.29)所限定，而在此范围外仍处于静止状态。

在(),x t 平面上，上述不等式所表示的区域如图2.4，称为区间[]12,x x 的影响区域。

在这个区域中，初值问题的解(),u x t 的数值是受到区间[]12,x x 上的初始条件影响的；而在此区域外，(),u x t 的数值则不受区间[]12,x x 上初始条件的影响。

特别地，当区间[]12,x x 缩成一点0x 时，点0x 的影响区域为00,(0)x at x x at t -≤≤+>， (2.30)这是过点0x 作两条斜率各为1a ±的直线0x x at =-和2x x at =+所夹的三角形区域。