第三章 调 和 方 程§1 建 立 方 程 定 解 条 件 1． 设)(),,,(21r f x x x u n = )(221n x x r ++=是n 维调和函数（即满足方程022212=∂∂++∂∂nx ux u），试证明 221)(-+=n rc c r f )2(≠nrIn c c r f 1)(21+= )2(=n其中21,c c 为常数。
证： )(r f u =, rx r f x rr f x u i i i ⋅=∂∂⋅=∂∂)()(''32''22"22)(1)()(rx r f r r f r x r f x ui i i ⋅-⋅+⋅=∂∂312''212"122)()()(rx r f r nr f r x r f x uni i ni i ni i∑∑∑===⋅-⋅+⋅=∂∂)(1)('"r f rn r f -+= 即方程 0=∆u 化为 0)(1)('"=-+r f rn r frn r f r f 1)()('"--= 所以 )1(1')(--=n r A r f若2≠n ，积分得 1212)(c r n A r f n ++-=+-即2≠n ，则 221)(-+=n rc c r f若2=n ，则 rA r f 1')(=故 I n r A c r f 11)(+= 即2=n ，则 rInc c r f 1)(21+= 2． 证明拉普拉斯算子在球面坐标),,(ϕθr 下，可以写成sin 1)(sin sin 1)(12222222=∂∂⋅+∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂⋅=∆ϕθθθθθur u r r u r r r u证：球坐标),,(ϕθr 与直角坐标),,(z y x 的关系：ϕθcos sin r x =，ϕθsin sin r y =，θcos r z = （1）222222zu yu xu u ∂∂+∂∂+∂∂=∆为作变量的置换，首先令θρsin r =，则变换（1）可分作两步进行 ϕρcos =x ， ϕρsin =y （2）θρsin r =， θcos r z = （3）由（2）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂+-∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂)c o s ()s i n (s i n c o s ϕρϕρϕϕϕρy u x u u y u x u u 由此解出⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂-∂∂=∂∂ρϕϕϕρρϕϕϕρcos sin sin cos u u y u u u x u （4）再微分一次，并利用以上关系，得)sin cos (22ρϕϕϕρ⋅∂∂-∂∂∂∂=∂∂u u x xu)sin cos (sin )sin cos (cos ρϕϕϕρϕρϕρϕϕϕρρϕ⋅∂∂-∂∂∂∂⋅-⋅∂∂-∂∂∂∂=u u u u+∂∂⋅+∂∂∂⋅-∂∂=22222222s i n c o s s i n 2c o s ϕρϕϕρρϕϕρϕuu uρρϕϕρϕϕ∂∂⋅+∂∂⋅+uu 22s i n c o s s i n 2 )c o s s i n (22ρϕϕϕρ⋅∂∂+∂∂∂∂=∂∂u u y yu)cos sin (cos )cos sin (sin ρϕϕϕρϕρϕρϕϕϕρρϕ⋅∂∂+∂∂∂∂++⋅∂∂+∂∂∂∂=u u u uρρϕϕρϕϕϕρϕϕρρϕϕρ∂∂⋅+∂∂⋅--∂∂⋅+∂∂∂+∂∂=uu uu u2222222222cos cos sin 2cos cos sin 2sin所以ρρϕρρ∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂=∂∂+∂∂uu u yu xu 11222222222（5） ρρϕρρ∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂uuz uu z u y u x u 112222222222222 再用（3）式，变换2222zu u ∂∂+∂∂ρ。
这又可以直接利用（5）式，得r ur ur r u z u u ∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂=∂∂+∂∂11222222222θρ 再利用（4）式，得 ru r u u θθθρcos sin ⋅∂∂+∂∂=∂∂ 所以)cos sin (sin 1sin 111222222222222222ru r u r ur r ur ur r u z u y u x uθθθθϕθθ⋅∂∂+∂∂+∂∂⋅++∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂θθϕθθ∂∂+∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂=uctg r r u r ur ur r u 222222222212sin 11 即0sin 1)(sin sin 1)(12222222=∂∂⋅+∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂⋅=∆ϕθθθθθur u r r u r r r u3． 证明拉普拉斯算子在柱坐标),,(z r θ下可以写成222221)(1zuu r r u r r r u ∂∂+∂∂⋅+∂∂∂∂⋅=∆θ证：柱坐标),,(z r θ与直角坐标),,(z y x 的关系θcos r x =， θs i nr y =， z z = 利用上题结果知rur u r r u y u x u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂11222222222θ2221)(1θ∂∂+∂∂∂∂=u r r u r r r所以222221)(1zuu r r u r r r u ∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∆θ4. 证明下列函数都是调和函数（1）c by ax ++ (a, b, c 为常数) 证：令c by ax u ++=, 显然,022=∂∂xu.022=∂∂yu故 0=∆u ，所以u 为调和函数 (2)xy y x 222和-,222=∂∂xu,222=∂∂y u 。
所以0=∆u 。
u 为调和函数 令 xy v 2= 则,022=∂∂xv022=∂∂y v。
所以0=∆v 。
v 为调和函数(3) 322333y y x xy x --和 证： 令 233xy x u -=,622x xu=∂∂,622x y u -=∂∂所以 0=∆u ,u 为调和函数。
令 323y y x v -=,622y xv=∂∂y y v 622-=∂∂。
所以 0=∆v ，v 为调和函数。
(4) )(cos sin ,cos ,sin 为常数和n nx chny nx chny nx shny nx shny 证： 因shny n shny y 2")(= chny n chny y 2")(=nnx n nx x sin ")(sin 2-= coxnx n nx x 2")(cos -=所以 yy xx nx shny nx shny )sin ()sin (-= 0)sin (=∆nx shny 即故 为调和函数nx shny sin同理，其余三个函数也是调和的 （5） 11)c o s (s i n )c o s (--++y c h x y y c h x s h x 和证： 令 1)cos (-+=y chx shx u221)cos ()cos (--+-+=∂∂y chx x sh y chx chx xu)cos 1()cos (2y chx y chx ++=-)cos 1()cos (2cos )cos (3222y chx shx y chx y shx y chx x u ++-+=∂∂-- )cos 2()cos (23y shxchx shx y shxcox y chx --+=-2)cos (sin -+=∂∂y chx y shx yuy shx y chx y chx y shx y u 23222sin )cos (2)cos (sin --+++=∂∂ )cos cos cos ()cos (23y shxchx y shx y shxchx y chx +++=-)sin 22cos 2()cos (2232222y shx shx y shx y chx y u x u +-+=∂∂+∂∂-0]2)sin (cos 2[)cos (223=-++=-shx y y shx y chx1)cos (sin -+=y chx y v 令2)cos (sin -+-=∂∂y chx y shx xvy x sh y chx y chx ychx x v sin )cos (2)cos (sin 23222--+++-=∂∂ )cos sin sin sin 2()cos (223y ychx x ych y x sh y chx --+=-221)cos (sin )cos (cos --+++=∂∂y chx y y chx y yv)cos 1()cos (2y chx y chx ++=-)cos 1(sin )cos (2)cos (sin 3222y chx y y chx y chx ychx yu ++++-=∂∂--)sin 2cos sin sin 2()cos (23x ych ychx y y y chx -++=-)sin 2sin 2sin 2()cos (2232222y x ych x ysh y chx y v x v +-+=∂∂+∂∂-0]sin 2)(sin 2[)cos (223=+--+=-y x sh x ch y y chx所以u, v 皆为调和函数。
（5）。
证明用极坐标表示的下列函数都满足调和方程（1）θ和r ln证： 为调和函数题知由第令u r u ,1,ln =。
故则显然令,0,0,0,2222=∂∂=∂∂=∂∂=θθvr v r v v01122222=∂∂+∂∂+∂∂=∆θv r r v r rv u（2） 为常数和n n r n r nn(sin cos θθ 证：θn r u ncos =θn nr run cos 1-=∂∂θn rn n ru n cos )1(222--=∂∂θθn r n u n cos 222-=∂∂所以0cos ])1([2222=-+-=∆---θn r n nr rn n u n n n令θn r v nsin =则 0sin ])1([2222=-+-=∆---θn r n nr rn n v n n n(3)θθθθθcos sin cos ln r r r r +-和θθθcos sin ln r r r + 证：令 .s i n c o s ln θθθr r r u -=.sin cos 2cos ln cos sin sin ln .cos 1sin cos )1(ln 2222θθθθθθθθθθθθθr r r r u r r r r uur rur ru+--=∂∂---=∂∂=∂∂-+=∂∂0sin cos 2cos ln 1sin cos )1(ln 1cos 1=+---++=∆θθθθθθθθrr r r r r r r u 令 θθθcos sin ln r r r v +=θθθθθθθθθθθθcos sin )2(ln sin cos cos ln sin 1cos sin )1(ln .2222r r r v r r r r vr rvr rv-+-=∂∂-+=∂∂=∂∂++=∂∂.0cos sin )2(ln 1cos sin )1(ln 1sin 1=-+-+++=∆θθθθθθθrr r r r r r v 6.用分离变量法求解由下述调和方程的第一边界问题所描述的矩形平板)0,0b y a x ≤≤≤≤（上的稳定温度分布：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====∂∂+∂∂.0),(,sin )0,(0),(),0(02222b x u a xx u y a u y u y u xu π解：令)()(),(y Y x X y x u =代入方程 ，得λ-=''-=''YY x X x X )()( 再由一对齐次边界条件0),(),0(==y a u y u 得0)()0(==a X X由此得边值问题 ⎩⎨⎧===+''0)()0(0a X X X X λ由第一章讨论知，当2)(an n πλλ==时，以上问题有零解 .sin )(x an x X n π= ),2,1( =n又 0)(2=-''n nY an Y π求出通解，得y a n n y a n nn eB eA Y ππ-+=所以 ∑∞=-+=1.sin)()(n ya n n y a n nx an eB eA y x u πππ， 由另一对边值，得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=+=∑∑∞=-∞=11sin )(0sin )(sin n b a n n b a n nn n n xa n e B eA xa n B A a xπππππ由此得，⎪⎩⎪⎨⎧==+==+=+-,2,10,3,20111n e B eA nB A B A ba n nb a n n n n ππ，解得 b ash e A b aππ--=211 b ash e B baππ211=,3,20===n B A n n代入),(y x u 的表达式得x ae e b ash y x u y b a y b aππππsin)(121),()()(----⋅=x ay b xshb ash πππsin)(1-=7．在膜型扁壳渠闸门的设计中，为了考察闸门在水压力作用下的受力情况，要在矩形区域b y a x ≤≤≤≤0,0上解如下的非齐次调和方程的边值问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====∂∂><+=∆====00,00,0(00b y y a x x u u u x uq p q py u 常数） 试求解之（提示：令))((22g fy a x u v +-+=以引入新的未知函数v ,并选择适当的g f ,值，使v 满足调和方程，再用分离变量法求解。