不等式知识总结
一、不等式的主要性质：
(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>； d b c a d c b a +>+⇒>>,
(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,;bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 (5)倒数法则：b
a a
b b a 1
10,<⇒
>>; (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且
二、一元二次不等式02>++c bx ax （0>a ）和)0(02><++a c bx ax 及其解法
0>∆ 0=∆ 0<∆
二次函数
c bx ax y ++=2
的图象
)
)((212x x x x a c bx ax y --=++= )
)((212x x x x a c bx ax y --=++=
c bx ax y ++=2
一元二次方程
02
=++c bx ax 有两相异实根
)(,2121x x x x <
有两相等实根
a
b x x 221-
== 无实根
02>++c bx ax {}21x x x x x
><或
⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧-
≠a b x x 2 R
02<++c bx ax
{}21x x x x
<<
∅
∅
顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于取两边，小于取中间 三、均值不等式：若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b
a 1. 使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等
2、常用的基本不等式：①()2
2
2,a b ab a b R +≥∈；②()22
,2
a b ab a b R +≤∈；
③()20,02a b ab a b +⎛⎫
≤>> ⎪⎝⎭；④()2
22,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭;⑤)0(2>≥+ab b a a b 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即
22211
22
a b a b
ab a b
++≥≥
≥
+（当a = b 时取等）
4、极值定理：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2
4
s ．
⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．
四、含有绝对值的不等式
1、绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离
2、解含有绝对值不等式的主要方法：（1）解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；（2）去掉绝对值的主要方法有：
①公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-． ②定义法：零点分段法； ③平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．
五、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
()()0()
()
0()()0;0()0()
()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨
≠⎩
六、数轴穿根法: 奇穿，偶不穿 例题：不等式03
)4)(23(2
2≤+-+-x x x x 的解为
七、线性规划:
1、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域” (1)在平面直角坐标系中作出直线Ax ＋By ＋C ＝0；
(2)在直线的一侧任取一点P (x 0，y 0)，特别地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点．
(3)若Ax 0＋By 0＋C >0，则包含此点P 的半平面为不等式Ax ＋By ＋C >0所表示的平面区域， 不包含此点P 的半平面为不等式Ax ＋By ＋C <0所表示的平面区域． (4)同侧同号，异侧异号 方法二：“直线定界、左右定域”利用规律： （由x 的大小确定左右，由y 的大小确定上下）
1.Ax+By+C>0,当A>0时表示直线Ax+By+C=0右方，当A<0时表示直线Ax+By+C=0左方;
2.Ax+By+C<0,当A>0时表示直线Ax+By+C=0右方,当A<0时表示直线Ax+By+C=0左方。

注意：对应不等号画实线或虚线。

2.求线性目标函数（即截距型）最优解的一般步骤：
(1)设未知数； (2)确定目标函数； (3) 列出约束条件（将数据列表比较方便）；
(4)画线性约束条件所确定的平面区域，即可行域；(5)取目标函数z=0,过原点作相应的直线； (6)平移该直线，使之与可行域有交点,观察确定区域内最优解的位置； (7)解有关方程组求出最优解，代入目标函数得最值.
3.课本习题中出现的都是“截距型”目标函数z ax by =+（a b ，不同时为零），即线性目标函数，高考中除了出现“截距型”目标函数的情况外，还有非线性目标函数：
(1) “斜率型”目标函数y b
z x a
-=-（a b ，为常数）．最优解为点（a b ，）与可行域上的点的斜率的最值；
(2) “两点间距离型”目标函数22
()()z x a y b =-+-（a b ，为常数）． 最优解为点（a b ，）与可行域上的点之间的距离的平方的最值；
(3) “点到直线距离型”目标函数z ax by c =++（a b c ，，为常数，且a b ，不同时为零）． 最优解为可行域上的点到直线0ax by c ++=的距离的最值．
线性规划小测验
1、 不等式062<+-y x 表示的区域在直线260x y -+=的（ ）.
A ．右上方
B ．右下方
C ．左上方
D ．左下方
2、已知点(3,1)--和(4,6)-在直线320x y a -++=的两侧，则a 的取值范围是 .
3、在如图所示的可行域内，目标函数z x ay =+取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是（ ）.
A. -3
B.3
C. -1
D.1
4、若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩
，，，
≥≥≤则23x y
z +=的最小值是（ ）
A ．0
B ．1
C
D ．9
5、设实数x y ，满足20240230x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩
≤，≥，≤，
，则y
z x =的最大值是_________ 6、如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩
≥≤≥上，点Q 在曲线22
(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为
7、已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪
-⎨⎪+⎩
≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）
A ．7
B ．5
C ．4
D ．
8、若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪
⎨⎪⎩
≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 ( )
Ａ．5a < Ｂ．7a ≥
Ｃ．57a <≤ Ｄ．5a <或7a ≥
9．已知2040250x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--<⎩
，求|24|z
x y =+-的最大值为 。

10、某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。

已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？
1）。