并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730年）
都用帕斯卡来称呼这个三角形。
近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）
历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家
杨辉三角
杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕 斯卡三角形，是二项式系数在三角
形中的一种几何排列。
性质
1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。
2、第n行的数字个数为n个。
3、第n行数字和为2^(n－1)。
4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质
写出整个帕斯卡三角形。
5、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5 个数……连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。将第2n行 第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数 之和是第2n-1个斐波那契数。
·贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》
·杨辉 中国南宋 1261《详解九章算法》记载之功
·朱世杰 中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式
·阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》
·阿皮亚纳斯 德国 1527
·施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
·薛贝尔 法国 1545
·B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》
简单的说，就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）²=x²+2xy+y²，这样系数
就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了。
这就是杨辉三角，也叫贾宪三角，在外国被称为帕斯卡三角。
他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图，在贾宪三角中，第3行的第三个数恰好对应
当a=b=1时，代入二项式定理可证明1
但a=-1，b=1时代入二项式定理可证明2
?
二项式定理
二项式定理: 叫二项式系数（0≤r≤n）.通 项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且, 注意项的系数和二项式系数的区别.
系数性质
①对称性： ②增减性和最大值：先增后减 n为偶数时，中间一项的二项式系数最
帕斯卡三角形(Pascal'sTriangle)计 算方法
三角性质
每列由左而右各数,分别命名为第0元素,第1元素,....,如此第n列第r元素是 nCr.每
列由左而右各数,分别命名为第0元素,第1元素,....,如此第n列第n元素是 nCr.
nCr =nCr=
n!n!
--------
r!(n-r)!r!(n-r)!
这里还要介绍一下，帕斯卡三角形也叫贾宪三角形。
我国的贾宪三角形
1261年，我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》 中记载着一张珍贵的图形--------“开方作法本源”图。根据
杨辉自注，此图“出《释锁算书》，贾宪用此术”，就是
说这张图是贾宪（11世纪）创造的，贾宪制作这张表进行 开方运算，因其形似三角形，因此我们称之为“贾宪三角
第7列第7列 117117 = 1948717119487171 1 7 21 35 35 21 7 1172135352171
第8列第8列 118118 = 214358881214358881 1 8 28 56 70 56 28 8 118285670562881
其英文解释为：Pascal's triangle
形”,又称“杨辉三角”。
欧洲人一般称它为“帕斯卡三角形”，认为是法国科
学家帕斯卡（1623～1662）首创的。中国和阿拉伯的数
学家独立发明这个三角形都要早于欧洲。
近些年来国外也初见承认这项成果属于中国，有些数
学史书上开始称它为“中国三角形”(Chinese triangle）
了。
二项式定理
二项式定理
大，为：Tn/2＋1 n为奇数时，中间两项的二项式系数相
等且最大，为：T(n+1)/2，T[(n+1)/2＋1]
赋值法
掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想.
证明：n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。所以
（a+b）^n的展开式中每一项都是)a^k*b^(n-k)的形式。对于每一个
24= 1+4+6+4+1 = 1624=1+4+6+4+1=16
三角性质2
如果有一列的第一元素是质数,除了前后元素之外,多可以被此质数除尽。 例如, 第7列row7 (1 7 21 35 35 21 7 1) 7, 21, and 35 多可被 7整除.例如, 第7列row7(172135352171)7,21,and35多可被7整除.列数计算
二项式定理的推广：
杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉
三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系。
杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之
为“开方作法本源”图。
binomial theorem
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。
此定理指出：
其中，二项式系数指...
等号右边的多项式叫做二项展开式。
二项展开式的通项公式为
其i项系数可表示为:见图右，即n取i的组合数目。
因此系数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)
6、第n行的第1个数为1，第二个数为1×(n-1)，第三个数为
1×(n-1)×（n-2）/2，第四个数为1×(n-1)×（n-2）/2×（n-3）
/3…依此类推。
介绍
其实，中国古代数学家在数学的许多重要 领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数 学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而贾宪 三角的发现就是十分精彩的一页。
同时，这也是多项式(a+b)^n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律。 因此，杨辉三角第x层第y项直接就是（y
nCr x）。我们也不难得到，第x层的所有项的总和为2^(x-1) (即(a+b)^x中a,b都为1的时候) 。上述y^x 指y的x次方，(a
nCr b) 指组合数。
而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是要找规律。
帕斯卡三角形
帕斯卡三角形，是一个三角形矩阵，其顶 端是 1,视为(row0).第1列(row1)(1&1)两个 1,这两个1是由他们上头左右两数之和 (不 在三角形内的数视为0).依此类推产生第2列 (row2):0+1=1;1+1=2;1+0=1.第3列 (row3):0+1=1;1+2=3; 2+1=3;1+0=1. 循 此法可以产生以下诸列。
例如:第4列第1元素(n=4,r=1)是
4!
--------
1!(4-1)!
= 4= 4
5!=5×4×3×2×1=120. 8!=8×7×6×5×4×3×2×1=40320
第n 列元素合是2n.
20= 120=1
21= 1+1 = 221=1+1=2
22= 1+2+1 = 422=1+2+1=4
23= 1+3+3+1 = 823=1+3+3+1=8
意大利人称之为“塔塔利亚三角形”（Triangolo di Tartaglia）以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。
布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，
二项式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)n在n为正整数时的展开式。(a+b)n的系数表为：
1 n=0
1 1 n=1
1 2 1 n=2
1 3 3 1 n=3
1 4 6 4 1 n=4
1 5 10 10 5 1 n=5
1 6 15 20 15 6 1 n=6
发现历程
在我国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一 般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉 的《详解九章算法》(1261)之中。在阿拉伯数学 家卡西的著作《算术之钥》(1427)中也给出了一 个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪 的完全相同。在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在 他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一 般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在 1654年也发现了这个结果。无论如何，二项式定 理的发现，在我国比在欧洲至少要早300年。
常用公式：（a²+b²）=a²+2ab+b²
根据杨辉三角 可得 （a³+b³）
=a³+3a²b+3ab²+b
以此类推 分别将a降幂 b升幂
例如：
，它的两项的系数是1和1；
，它的三项系数依次是1、2、1；
，它的四项系数依次1、3、3、1
a^k*b^(n-k)，是由k个(a+b)选了a,（a的系数为n个中取k个的组合数（就是