1河南农业大学2005-2006学年第二学期 《高等数学》（工科）期末考试试卷（A ）一、判断题（每小题2分，共计20分）( R )1、两个单位向量的数量积一定等于1. ( W )2、设有向量,,a b c ，则()()a b c a b c ⋅=⋅. (R )4、沿梯度方向时，方向导数取得最大值. ( R )5、若σ为D 的面积，则Ddxdy σ=⎰⎰.( W )6、设平面闭区}{(,),D x y a x a x y a =-≤≤≤≤，}{1(,)0,D x y x a x y a =≤≤≤≤，则14DD xydxdy xydxdy =⎰⎰⎰⎰.( R )7、设L 是任意一条分段光滑的曲线，则220Lxydx x dy +=⎰ .( W )8、若级数1nn u∞=∑收敛，1nn v∞=∑发散，则级数()1nn n uv ∞=+∑可能发散，也可能收敛.( R )9、对级数1nn u∞=∑，lim 0n n u →∞=是该级数收敛的必要非充分条件.( R )10、若级数1nnn ax ∞=∑在2x =-处收敛，该级数的收敛半径一定大于等于2.二、填空题（每空2分，共计20分）.1、已知两点(4,0,5),(7,1,3)A B ,则与向量AB方向一致的单位向量为______________.2、曲面222231x y z+-=在点(1,1,1)处的法线方程为________________________.3、向量(2,1,1),(2,3,)a k β==- ，且a β⊥，则k ＝______________.4、交换积分次序11223y oI dy x y dx -==⎰⎰____________________________.5、设2x z y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则zx ∂=∂_______________________.6、级数11(2)nn x n∞=-∑的收敛区间为______________.7、设L 为圆周221x y+=，则22()Lx y ds +=⎰ __________________.8、设cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的单位余弦，则两类曲面积分间关系是Pdydz Q dzdx Rdxdy ∑++⎰⎰＝_____________________.29、设∑为球面2222x y z R ++=的外侧，则32222()xdydz ydxdz zdxdyx y z ∑++=++⎰⎰_________.10、设()f x 是以4为周期的周期函数，在[]2,2-定义为120()02x f x xx -≤≤⎧=⎨<<⎩，则傅立叶级数在2x =收敛于________________.三、计算题（每题10分，共计60分） 1、计算二重积分2Dy xy dxdy -⎰⎰，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域．2、设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且22()z f x y =+满足22220z z xy∂∂+=∂∂.证明：()()0f u f u u'''+=．3、将函数2()2x f x x x=+-展成x 的幂级数．4、计算曲面积分：xyzdS ∑⎰⎰，其中∑是球面2221x y z ++=外侧在0,0x y ≥≥的部分．5、利用格林公式计算：3222(2cos )(12sin 3)Lxy y x dx y x x y dy -+-+⎰，其中L 为抛物线22x y π=上由点(0,0)到(,1)2π的一段弧．6、设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面428x y z -+=垂直，求此平面方程．- - 3河南农业大学2005-2006学年第二学期 《高等数学》（工科）期末考试试卷（B ）题号 一 二 三 总分 分数得分 评卷人一、判断题（每小题2分，共计20分）1、若(,)f x y 在00(,)x y 处偏导数存在且取到极值，则00(,)x y 是(,)f x y 的驻点.( )2、函数),,(z y x f 在点),,(000z y x P 偏导数都存在，则),,(z y x f 在该点连续. ( )3、函数),(y x f z =在),(00y x 沿i e l =的方向导数存在，则在该点对x 偏导数必存在.( )4、设向量0α≠，向量β平行于α 的充要条件是：存在唯一的实数λ，使βλα=.( ) 5、有界闭区域上D 的多元函数，必定在D 上有界. ( )6、函数在一点的梯度方向可以与等值线在该点的法线方向不同.( )7、σσd y x f d y x f DD⎰⎰⎰⎰≤),(),( .( )8、区域G 是一个单连通域，函数),(y x P ，),(y x Q 在G 内具有一阶连续偏导数，若xQ yP ∂∂=∂∂，则⎰+LQ d y P d x 在G 内与路径无关. ( )9、如果级数∑∞=1n n u 收敛，则一般项n u 趋于零.( )10、若交错级数不满足莱布尼兹判别法的条件，则该交错级数必发散.( )二、填空题（每空2分，共计20分）.1、两平面062=-+-z y x 和052=-++z y x 的夹角为_____.2、点)1,1,2(到平面01=+-+z y x 的距离为______.3、交换积分次序，则⎰⎰=xxdy y x f dx 220__________________),(.4、幂级数()111!nn n xn ∞-=-∑的收敛域是____________.得分 评卷人45、若函数22lnyx z +=，则_______2222=∂∂+∂∂yz xz .6、_______2=⎰+∞∞--dx ex.7、高斯公式为__________________________=++⎰⎰∑Rdxdy Qdzdx Pdydz .8、设()f x 是以4为周期的周期函数，在[]2,2-定义为120()02x f x xx -≤≤⎧=⎨<<⎩，则傅立叶级数在2x =收敛于________ .9、设L 为抛物线y x =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段，则_____22=+⎰Ldy x xydx .10、周期为π2的奇函数的傅立叶级数只含有_____弦项. 得分 评卷人三、计算题（每题10分，共计60分）1、计算Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由2y x =及直线2y x =+所围成的闭区域．2、设0,1,xu yv yu xv -=+=求,u ux y∂∂∂∂．- - 53、求幂级数1211(1)(21)n n n xn n -+∞=--∑的收敛域．4、计算⎰⎰∑xyzdS，其中:∑由0,0,0x y z ===及0x y z ++=所围成的四面体的整个边界曲面．5、计算曲线积分222()Lydx xdy x y -+⎰ ，其中L 为圆周22(1)2,x y L -+=的方向为逆时针方向．6、求曲面22=+与平面240z x y+-=平行的切平面方程．x y z6- - 7河南农业大学2006-2007学年第二学期判断题（每小题2分，共计20分） （ ）1．平面的法向量不唯一.（ ）2．向量→→⨯b a 与二向量→a 及→b 的位置关系是垂直的.（ ）3．若),(y x f z =在点),(000y x P 处的两个偏导数存在，则),(y x f 函 数必在该点连续.（ ）4．沿梯度方向时，方向导数取得最大值. （ ）5．二重积分σd y x f D⎰⎰),(表示以),(y x f z =为顶，D 为底，以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面为侧面的曲顶柱体的体积．（ ）6．曲线积分⎰+Ldy x xydx 2与路径无关．（ ）7．闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰=∂∂LDPdydxdy xP .（ ）8．若级数1nn u∞=∑收敛，1nn v∞=∑发散，则级数∑∞=+1)(n n nv u可能发散，也可能收敛.（ ）9．设L 为圆周221x y+=，则⎰=Lds π2.（ ）10．若幂级数nnn ax ∞=∑在点1-处收敛，则该级数的收敛半径1≥r .二、填空题（每空2分，共计20分） 1．将xoz坐标面上的直线x z5=绕ox 轴旋转而成的旋转曲面方程为 .2．曲面222231x y z +-=在点)1,1,1(-处的法线方程_________________.3．__________42lim0=+-→→xyxy y x .4．交换积分次序⎰⎰---=221110),(yydx y x f dy ____________________________.5．函数yxez 2=在点)0,1(P 处沿点P 到点)1,2(-Q 的方向导数为_______.6．级数11(2)nn x n∞=-∑的收敛区间为______________.7．设D 表示整个xOy 平面，则⎰⎰=--Dyx dxdy e22__________________.8．设c o s ,c o s ,c αβγ是有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦，则两类曲面积分间关系是Pdydz Qdzdx Rdxdy ++∑⎰⎰＝___________________.9．由2x y =与1=y 所围成的均匀薄片（面密度为μ）对直线1-=y 的转动惯量为 .810．设()f x 是以4为周期的周期函数，在)2,2[-定义为120()02x f x xx -≤≤⎧=⎨<<⎩，则其傅立叶级数在1=x 收敛于________________三．计算题（每题10分，共计60分） 1．计算三重积分dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω是由椭球面1222222=++cz by ax 所围成的空间闭区域．2．设⎩⎨⎧=+++=,2032,22222z y x y x z 求 dx dz dx dy ,．3．求幂级数1211(1)(21)n n n xn n -+∞=--∑的收敛域．4．计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x)(22，其中∑是锥面)(3222y x z +=被平面0=z 和3=z 所截得的部分．5．计算曲线积分⎰-+-+Lxx dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222，其中L 为正向星形线)0(323232>=+a a y x ．6．设)57()3(b a b a -⊥+，)27()4(b a b a -⊥-，求向量b a,的夹角．- - 9河南农业大学2006-2007学年第二学期 《高等数学》（工科）试卷（B ）题号 一 二 三 四 总分 分数一、判断题（每小题2分，共计20分）（ ）1．两个向量互相垂直当且仅当其数量积等于0.（ ）2．方程042222=+-++y x z y x 表示一个空间球面. （ ）3．极限yx xy y x +→→00lim存在.（ ）4．若函数),(y x f z =在点),(000y x P 处的两个偏导数存在，则函数必在该点连续. （ ）5．函数),(y x f z =的两个混合偏导数xy zy x z∂∂∂∂∂∂22,未必相等.（ ）6．积分区域D 由x 轴，y 轴及直线1=+y x 围成，则σσd y x d y x DD⎰⎰⎰⎰+≤+32)()(.（ ）7．设L 为圆周221x y +=，则⎰=Lds π2.（ ）8．设L 是任意一条分段光滑的曲线，则022=+⎰xydy dx y L.（ ）9．对级数1n n u ∞=∑，若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑一定收敛.（ ）10．若幂级数0n n n a x ∞=∑在点2=x 处收敛，则该级数在点1-=x 处必定绝对收敛.二．填空题（每空3分，共计30分）.1．将xoz 坐标面上的抛物线x z 52=绕ox 轴旋转而成的旋转曲面方程为 .2．yxy y x )sin(lim2→→ = .3．设函数)ln(tan xy z =，则函数的全微分z d 为 .4．设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则=-')1,1,0(x f . 5．交换积分次序11223y oI dy x y dx -==⎰⎰____________________________.得分 评卷人得分 评卷人106．二重积分dxdy y x y x ⎰⎰≤++422)(在极坐标下的二次积分为 .7．设c o s ,c o s ,c o s αβγ是有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦，则两类曲面积分间关系是⎰⎰∑++Rdxdy Qdzdx Pdydz= .8．设∑为球面2222x y z R ++=的外侧，则⎰⎰∑++++23222)(z y x zdxdy ydxdz xdydz =_____.9．级数11(2)n n x n∞=-∑的收敛区间为______________.10．设()f x 是以4为周期的周期函数，在[]2,2-定义为120()02x f x xx -≤≤⎧=⎨<<⎩，则其傅立叶级数在2x =收敛于_________.三、计算题（每题8分，共计40分）1．计算dxdy y x D)(22⎰⎰+，其中D 为由圆y y x 222=+，y y x 422=+及直线y x 3-0=，03=-x y 所围成的平面闭区域.2．计算⎰+++=Ldy y x dx xy x I )()2(422,其中L 为从点)0,0(O 到点)1,1(A 的曲线xy 2sinπ=.3．计算三重积分dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω是由椭球面1222222=++cz by ax 所围成的空间闭区域．得分 评卷人线- - 114．计算⎰⎰∑xyzdS ，其中是由0,0,0x y z ===及0x y z ++=所围成的四面体的整个边界曲面．5．将函数x x x f --=41)(在1=x 处展开成泰勒级数（展开成)1(-x 的幂级数）.四、证明题（10分）设y x z =)1,0(≠>x x ，求证z y zx x zy x 2ln 1=∂∂+∂∂.得分评卷人。