第一章 复数的运算与复平面上的拓扑1.复数的定义一对有序实数（x,y ）构成复数z x iy =+,其中()()Re ,Im x z y z ==.21i =-， X 称为复数的实部，y 称为复数的虚部。

复数的表示方法 1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctanyx 之间的关系如下：当0,x >arg arctanyz x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z x ππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=2.复数的四则运算1）.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2）.乘除法：3）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。

4）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=5.无穷远点得扩充与扩充复平面复平面对内任一点z , 用直线将z 与N 相连, 与球面相交于P 点, 则球面上除N 点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N 点本身可代表无穷远点, 记作∞.这样的球面称作复球面 这样的球面称作复球面.扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞ 复平面的开集与闭集复平面中领域，内点，外点，边界点，聚点，闭集等概念 复数序列的极限和复数域的完备性 复数的极限，，柯西收敛定理，魏尔斯特拉斯定理，聚点定理等从实数域里的推广，可以结合实数域中的形式来理解。

第二章 复变量函数1.复变量函数的定义1）复变函数的反演变换（了解） 2）复变函数性质反函数 有界性 周期性， 3）极限与连续性 极限：连续性2.复变量函数的形式偏导1）复初等函数).( ),( , , , , . z f w z w iv u w z G iy x z G =+=+=记作复变函数简称的函数是复变数那末称复变数之对应与就有一个或几个复数每一个复数中的对于集合按这个法则个确定的法则存在如果有一的集合是一个复数设.)( )(,)0(0 )( ,0 , , 0)( 0000时的极限趋向于当为那末称有时使得当相应地必有一正数对于任意给定的存在如果有一确定的数内的去心邻域定义在设函数z z z f A A z f z z A z z z z f w ερδδεδερ<-≤<<-<><-<=. )( , )( .)( ),()(lim 000内连续在我们说内处处连续在区域如果处连续在那末我们就说如果D z f D z f z z f z f z f z z =→2)指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()zzee'=。

注：ze 是以2i π为周期的周期函数。

（注意与实函数不同） 3)对数函数： ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±± （多值函数）；主值：ln ln arg z z i z=+。

（单值函数）Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1lnz z '=；注：负复数也有对数存在。

（与实函数不同）4)乘幂与幂函数：(0)b bLnaa e a =≠；(0)b bLnzz e z =≠注：在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1bb z bz -'=。

5)三角函数：sin cos sin ,cos ,t ,22cos sin iz iz iz iz e e e e z z z z gz ctgz i z z ---+====sin ,cos z z 在z 平面内解析，且()()sin cos ,cos sin z z z z ''==-注：有界性sin 1,cos 1z z ≤≤不再成立；（与实函数不同）6）双曲函数,22z z z ze e e e shz chz ---+==； shz 奇函数，chz 是偶函数。

,shz chz 在z 平面内解析()(),shz chz chz shz ''==第三章 解析函数的定义1.复变量函数的导数复变量函数的解析性, , , )( 00的范围不出点点中的一为定义于区域设函数D z z D z D z f w ∆+= , )()(lim 000存在如果极限z z f z z f z ∆-∆+→∆,)( . )( 00的导数在这个极限值称为可导在那末就称z z f z z f .)( ,)(000解析在那末称导的邻域内处处可及在如果函数z z f z z z f2.函数可导与解析的充要条件 1）函数可导的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在z x iy =+可导⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 可微，且在(),x y 处满足C D -条件：,u v u v x yy x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 此时， 有()u v f z i x x ∂∂'=+∂∂。

2）函数解析的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在区域内解析⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 在D 内可微，且满足C D -条件：,u vu vx yy x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂； 此时()u v f z ix x ∂∂'=+∂∂。

注意： 若()(),,,u x y v x y 在区域D 具有一阶连续偏导数，则()(),,,u x y v x y 在区域D 内是可微的。

因此在使用充要条件证明时，只要能说明,u v 具有一阶连续偏导且满足C R -条件时，函数()f z u iv =+一定是可导或解析的。

解析映射的几何意义保角性：任何两条相交曲线的夹角（即在交点的切线的夹角）在解析映射下的夹角保持不变第四章 柯西定理和柯西公式1． 复变函数积分的性质1）()()1c c f z dz f z dz-=-⎰⎰ （1c -与c 的方向相反）；2）()()()()[],,cccf zg z dz f z dz g z dz αβαβαβ+=+⎰⎰⎰是常数；3） 若曲线c 由1c 与2c 连接而成，则()()()12cc c f z dz f z dz f z dz=+⎰⎰⎰。

2．复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：()cccf z dz udx vdy i vdx udy =-++⎰⎰⎰；（常用于理论证明）).( )( .)( ,)(全纯函数或正则函数个解析函数内的一区域是或称内解析区域在则称内每一点解析区域在如果函数D z f D z f D z f2）参数方法：设曲线c ：()()z z t t αβ=≤≤，其中α对应曲线c 的起点，β对应曲线c 的终点，则 ()()[]()c f z dz f z t z t dtβα'=⎰⎰3.积分与路径无关的条件和原函数 1）条件：见书中定理（1.1）（1.2）命题（1.1）（1.2） 这几个定理及命题都只有理论上的意义。

柯西-古尔萨定理及其应用 4．柯西—古萨基本定理：设()f z 在单连域B 内解析，c 为B 内任一闭曲线，则()0cf z dz =⎰5．复合闭路定理： 设()f z 在多连域D 内解析，c 为D 内任意一条简单闭曲线，12,,n c c c 是c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以12,,n c c c 为边界的区域全含于D 内，则①()cf z dz ⎰ ()1,knk c f z dz ==∑⎰其中c 与k c 均取正向；②()0f z dz Γ=⎰ ，其中Γ由c 及1(1,2,)c k n -= 所组成的复合闭路。

6．闭路变形原理 ： 一个在区域D 内的解析函数()f z 沿闭曲线c 的积分，不因c 在D 内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c 不经过使()f z 不解析的奇点。

7．解析函数沿非闭曲线的积分： 设()f z 在单连域B 内解析，()G z 为()f z在B内的一个原函数，则()()()212112(,)z z f z dz G z G z z z B =-∈⎰说明：解析函数()f z 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。

8. 柯西积分公式：设()f z 在区域D 内解析，c 为D 内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D ，0z 为c 内任意一点，则()()002c f z dz if z z z π=-⎰ 9．高阶导数公式：解析函数()f z 的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为()()()0102(1,2)()!n n c f z i dz f z n z z n π+==-⎰其中c 为()f z 的解析区域D 内围绕0z 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D 。

10重要结论：12,010,0()n ci n dz n z a π+=⎧=⎨≠-⎩⎰ 。

（c 是包含a 的任意正向简单闭曲线）8．复变函数积分的计算方法 1）若()f z 在区域D 内处处不解析，用一般积分法()()()[]cf z dz f z t z t dtβα'=⎰⎰2）设()f z 在区域D 内解析，● c 是D 内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，()0cf z dz =⎰● c 是D 内的一条非闭曲线，12,z z 对应曲线c 的起点和终点，则有()()()()2121z cz f z dz f z dz F z F z ==-⎰⎰3）设()f z 在区域D 内不解析● 曲线c 内仅有一个奇点：()()()()()0001022()!c n n c f z dz i f z z z f z i dz f z z z n ππ+⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩⎰⎰ （()f z 在c 内解析）● 曲线c 内有多于一个奇点：()cf z dz ⎰ ()1knk c f z dz ==∑⎰（i c 内只有一个奇点k z ）或：()12Re [(),]nkk cf z dz i s f z z π==∑⎰ （留数基本定理）若被积函数不能表示成()1()n o f z z z +-，则须改用第五章留数定理来计算。