wA w x0 0 wB w xl 0
D0 C 1 ql3
24
Bx
转角方程式和挠度方程式分别为：
w q 4x36lx2l3 24EIz
w q x42lx3l3x 24EIz
wmax w x l 2
5 ql 4
384 EI z
A
x0
24
ql 3 EI
z
B
q
A
x
wl
Bx
例2 用积分法求位移时，图示梁应分几段来列挠 曲线的近似微分方程？试分别列出确定积分常数时 需用的边界条件和变形连续条件。
梁的变形
1 概述(挠度和转角) 2 梁的挠曲线的近似微分方程 3 积分法计算梁的位移 4 叠加法计算梁的位移 5 梁的刚度校核 6 弯曲应变能
1 概述(挠度和转角)
应力 荷载
变形
强度要求 刚度要求
主轴变形对加工精度的影响 变形的利用：汽车的钢板弹簧
梁变形的两个位移度量
●竖向位移 挠曲线
竖向位移CC'
4Fa3 Ebh3
()
尺寸：a, b, h
C
B(固定端)
(2)将BC刚化, 即去掉BC，但保留BC对AB的 作用力，计算AB弯曲引起的C点的挠度
角A、 B。
q
A
A
B
Bx
FRA
x
FRB
w
l
解：取如图所示的坐标系，弯矩方程为：
Mx1qlx1qx2
22
挠曲线的近似微分方程为：
q
EIzw Mx1 2qx21 2qlx A
积分得：
x
E Izw E Iz1 6qx31 4qlx2C w
l
E Izw2 1 4qx41 1 2qlx3C xD
梁的边界条件为：
ql3
48EI
w
★结论（规律）：
(1)当梁的支承情况对称，荷载也对称时，则弯矩 图永为对称图形，剪力图永为反对称图形；
(2)当梁的支承情况对称，荷载反对称时，则弯矩
图永为反对称图形，剪力图永为对称图形。
q/2
q/2
A
BA
EI B
C EI l
C l q/2
FQ图
M图
q/2 A
EI B
C l q/2
表7(4)-1
wq,F,Mln
EIz
EIz称为抗弯刚度
转角(rad) 挠度(m)
q(N/m) F (N) M (N.m)
l3
l2
l1
l4
l3
l2
简支梁跨中受集中力作用，如果其它条件不变，
则当梁长增加一倍时，梁内的最大正应力变为原来
的
，最大挠度变为原来的
。
F q
A
B
F q
A
B
A
B
试用叠加法求图示悬臂梁自由端的挠度wB。
BxБайду номын сангаас
2bx0
3 b 0 lim x 0 0 .5 7 7 L
w m a x F b L 293 E I 0 .0 6 4 2 F b L 2E I w x l2 F b L 21 6 E I 0 .0 6 2 5 F b L 2E I
wmax wL2
结论：对于简支梁而言，无论集中力P作用在何 处，用w(l/2)代替wmax，最大误差为2.65%。
EI
F
表7(4)-1
Fl3 wF 3 2EI
A A
B
F′ B
M
B'
F
C C
表7(4)-1
wM
Fl l2 2 2EI
wBe w
w B l
B
F
M
3F2l 4EI
C1
F C wF
C2
w
3Fl3 4EI
wF
Fl3 3EI
wC
3Fl3 2EI
例题：已知 F，E，G，求C点铅垂位移
F
C
尺寸：l, d
B
分析：
BC FB l/2
Me x
w 1
EI
16qx3372qlx2936ql3
0xl
1ql2x8ql3 16 96
lx3l2
wE1I321124qqlx24x2 97698q6lqxl33x 93695q6lq3l4
0xl lx3l2
自由端C的截面转角和挠度 ：
c x3l 2
1 ql 3 96
wc
F
A
B
EI
C
l
a
F
F
A
B
EI
CA
B EI
C
悬臂梁
简支梁
A
F
B
CA
F
M
F C
EI
wC1
EI B
wC2
C1
C2
表7(4)-1 ⑵
表7(4)-1 ⑺
wC1
Fa3 3EI
wC2 BaF3aEIla
wC
请思考：能不能将力F向A点简化，为什么？
例6：
l
l
F
2EI EI
C
A
B
w B e wF wM
l
l
2EI
A
边
界 条w 件A
B
wA 0
E I z w M x
x
wA w x0 0
A 0
A
x0 0
B
wA 0 wB 0
P
A
C
B
铰支座
P D
C
A
铰连接 连续但不光滑
连续条件 光滑条件
wC wC
C C
wC wC C C
例1 图示为一受均布荷载作用的简支梁，梁的弯曲
刚度EIz为常数。试求此梁的最大挠度wmax和两端面的转
dx2 EIz
x
M <0 w
x
dw dx
d 2w dx2
0
d2w Mx
dx2 EIz
3 积分法计算梁的位移
w M x w w
EI z
E Iz E Izw M x d x C
积分法
E Izw M x d x 2 C x D
式中， C、D为积分常数，可由梁的某些截面的 已知变形条件来确定 ，如：
dwB
qdx x2 3l x
6EI
wB
l 0
dwB
ql4 8EI
表7(4)-1(3)
例4：简支梁受图示荷载作用，试用叠加法求C截面
的挠度和截面转角A。
q A
l/2
B C EI l
q
l/2
q
l/2
A
C EI
B wC
l
A
C EI
B
w (1 ) C
l
q
l/2
q
l/2
A
C EI
B
w (2) C
l
AC段
CB段
M 1(x)F RAxP L bx0xa M 2 ( x ) F R A x P ( x a )a x L
EIzw1M1(x)PL bx
EIzw2PL bxP(xa)
EIzw1
Pbx2 2L
C1
EIzw 2P 2 bL x2P(x2 a)2C2
EIzw1P6bLx3 C1xD1
A wC
C EI l
wC wC(2)
B w C
wCwC (1)
wC (2)
w(1) C
wC
wC
1 2
w (1) C
分析：
q
l/2
A
B
C EI l
q/2
q/2
A
BA
EI B
C EI
C
l
l q/2
5q2l4 5ql4 分析C点： F Q M
表7(4)-1
wC1 384EI
768EI
A1
q 2l3
24EI
例4 用积分法求图示外伸梁自由端C的截 面转角和挠度，其中Me=ql2/16。
y q
FAx A EI
FAy
l
Me BC
x
FB l/2
解：取图示的坐标系，求支座反力得：
FAx 0
FAy
7 ql 16
FB
9 16
ql
qx
q0 x 0l x 3l
l 2
y FAx A
q
积分
FQ
x
qxC10xl C2l x3l2
从AB，
Bx
最大挠度wmax
dw0
dx
x0
w(x0)为极值
不失一般性，a设 b
则x0
L2 b2 3
w m axw (x0)93 P E bIzL(L 2b2)3
x0 L2 b2 3
w m axw (x0)93 P E bIzL(L2b2)3 A
讨论： 1bL2 x0L2
w
a
Pb
LC
但是有一点需要说明：
适用条件：
1 小变形
2 材料处于弹性阶段且服从胡克定律
为什么线性关系可以叠加？ 线弹性，位移可以叠加
F
F1 O Δ1
F
F2 Δ
O Δ2
F
F1+F2
Δ1
Δ
Δ
O Δ2 Δ1+2
1+2 1+2
非线性弹性，位移不可以叠加
F
F1
O
Δ1
F
F2
Δ
O
Δ2
1+2
F
F1+F2
Δ O
1
Δ Δ2 Δ
A
C F=16kN B