d2w dx2
M x中的正负号:
EI z
x
M <0 w
x
dw dx
d 2w dx2
0
d 2w dx2
M x
EI z
3 积分法计算梁的位移
w M x w w
EI z
EIz EIzw M xdx C
积分法
EIzw M xdx2 Cx D
式中， C、D为积分常数，可由梁的某些截面的 已知变形条件来确定 ，如：
w B l
B'
wBe w
B
F
M
3Fl 2 4EI
C1
F C wF
C2
3Fl 3 w 4EI
Fl 3 wF 3EI
wC
3Fl 3 2EI
例题：已知 F，E，G，求C点铅垂位移
F
C
尺寸：l, d
例4：简支梁受图示荷载作用，试用叠加法求C截面
的挠度和截面转角A。
q A
l/2
B C EI l
q
l/2
q
l/2
A
C EI
B wC
l
A
C EI
B
w (1) C
l
q
l/2
q
l/2
A
C EI
B
w(2) C
l
A C EI l
wC wC wC(2)
B wC
wC
w(1) C
w(2) C
w(1) C
wC
B、C、D： 弯矩方程的分界点
静定(组合)梁如图所示，试分别列出确定积分 常数时需用的边界条件和变形连续条件。
a
q
a
q
A
Bx A
Bx
C
C
l
l
w
w
例3 图示抗弯刚度为EIz的简支梁受集中力P作 用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确
定最大挠度和最大转角。
P
a
b
A
LC
B
解：利用平衡方程求两个支反力：
7 ql 16
FB
9 16
ql
qx
q 0 x 0 l x 3l
l 2
y
q
FAx A
积分
FQ
x
qx C2
l
C1 0 x x 3l 2
l
EI FAy l
BC FB l/2
Me x
积分
M x
1 2
qx2
C1x D1
0
xl
C2 x D2 l x 3l 2
边界(A、C点)条件：
线性关系
EI
l w
l/2
x 1M e 2q 3F
叠加原理：梁在几个荷载同时作用时，其任一截 面处的转角（或挠度）等于各个荷载单独作用时梁在 该截面处的转角（或挠度）的总和。
但是有一点需要说明：
适用条件：
1 小变形
2 材料处于弹性阶段且服从胡克定律
为什么线性关系可以叠加？ 线弹性，位移可以叠加
wC
1 2
w(1) C
分析：
q
l/2
A
B
C EI l
q/2
q/2
A
BA
EI B
C EI
C
l
l q/2
表7(4)-1
wC1
5q 2l4
384EI
5ql 4 768EI
A1
q 2l3
24EI
ql 3 48EI
分析C点： FQ
M
w
★结论（规律）：
(1)当梁的支承情况对称，荷载也对称时，则弯矩 图永为对称图形，剪力图永为反对称图形；
→挠度 wC
w wx
●转角
F
A
C
B
C' x
wC x B'
w
x
tan dw w
dx
tan
dw w 挠度与转角之间的关系
dx
挠度与转角的正负号规定： 挠度：
向下为正，反之为负 转角：
顺时针为正，反之为负
？→如何求挠曲线的方程式
2 梁的挠曲线的近似微分方程
纯弯曲：
1
M EI z
非纯弯曲： h 1
wA w x0 0 wB w xl 0
D0 C 1 ql3
24
Bx
转角方程式和挠度方程式分别为：
w q 4x3 6lx2 l3 24 EI z
w q x4 2lx3 l3x 24 EI z
wmax w x l 2
5ql4 384EIz
A
x0
ql3 24EIz
3EI
F l / 22
2EI
l 2
5Fl3 48EI
w
5F
16F1 48EI
l
3
wBF1
F1l 3 3EI
例 试用叠加法求图示悬臂梁自由端B处的挠度。
q.dx
A
q
x
Bx dx
l
w
表7(4)-1(2)
dwB
q dx x2 3l x
6EI
wB
l
0 dwB
ql 4 8EI
表7(4)-1(3)
wmax w(x0 ) 9
Pb 3EIz L
(L2 b2 )3
x0 L2 b2 3
wmax w(x0 ) 9
Pb 3EIz L
(L2 b2 )3
讨论： 1b L 2 x0 L 2
A w
a
Pb
LC
Bx
2b x0 3b 0 lim x0 0.577L
wmax FbL2 9 3 EI 0.0642 FbL2 EI w xl 2 FbL2 16 EI 0.0625 FbL2 EI
1 ql3 96
wc
w
x3l 2
1 384
ql 4
BC FB l/2
Me x
●积分法
4 叠加法计算梁的位移
q
Me
A
BC
EI
x
l
l/2
w
Me 单A 独 作 用w
w
1 EI
x
6l
1
6
x2 l2 Me 3x2 4lx l2
x 24
Me
l3 2lx2 x3 qL
l3 x lqL L
C2
表7(4)-1 ⑵
表7(4)-1 ⑺
wC1
Fa3 3EI
wC 2
B
a
Fa l 3EI
a
wC
请思考：能不能将力F向A点简化，为什么？
例6：
l
l
F
2EI EI
C
A
B
wBe wF wM
l
l
2EI
EI
F
表7(4)-1
wF
Fl 3 3 2EI
C
A
B
A
F′ B
M
F C
表7(4)-1
wM
Fl l2 2 2EI
(2)当梁的支承情况对称，荷载反对称时，则弯矩
图永为反对称图形，剪力图永为对称图形。
q/2
q/2
A
BA
EI B
C EI l
C l q/2
FQ图
M图
q/2 A
EI B
C l q/2
FQ 0 M 0
q/2 A
M
FQ wC 0
跨度为l/2的简支梁
wC 2 0
表7(4)-1
q l 3
A2
2 2 24EI
wmax wL 2
结论：对于简支梁而言，无论集中力P作用在何 处，用w(l/2)代替wmax，最大误差为2.65%。
例4 用积分法求图示外伸梁自由端C的截 面转角和挠度，其中Me=ql2/16。
y q
FAx A EI
FAy
l
Me BC
x
FB l/2
解：取图示的坐标系，求支座反力得：
FAx 0
FAy
FR A
Pb L
FR B
Pa L
显然，AC段与CB段弯矩方程的表达式不一样。
分别列出AC、CB段弯矩方程并积分：
FRA a
P b
FRB
A
LC
B
x
w
AC段
CB段
M1(x)
FR Ax
Pb L
x
0 xa
EI z
w1
M1
(x)
Pbx L
EIz w1
Pbx2 2L
C1
M 2 (x) FR Ax P(x a) a x L
l3
l2
l1
l4
l3
l2
简支梁跨中受集中力作用，如果其它条件不变，
则当梁长增加一倍时，梁内的最大正应力变为原来
的
，最大挠度变为原来的
。
F q
A
B
F q
A
B
A
B
试用叠加法求图示悬臂梁自由端的挠度wB。
A
C F=16kN B
l/2 l
F1
A
C F=16kN B
A
B
wC
w1
w2
F1
wBF
F l / 23
l 10
1 M x x EI z
1
x
1
Hale Waihona Puke ww23
2
小变形
1 d2w
x dx2
d2w dx2
M x
EI z
梁挠曲线的近似微分方程 1 略去了剪力的影响
2 略去了变形高次方
d2w dx2
M x中的正负号:
EI z