不定积分求解方法及技巧小汇总摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。

一•不定积分的概念与性质定义1如果F (x)是区间I上的可导函数，并且对任意的x I，有F'(x)=f(x)dx则称F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数。

定理1 (原函数存在定理)如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数 F (x),使得F (x) =f(x) (x I)简单的说就是，连续函数一定有原函数定理2设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，贝U(1) F (x) +C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；(2)f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。

定义2 设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数 F (x) +C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)d(x),即f(x)d(x)=F(x)+C其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。

性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则[f(x) g(x)]dx= f(x)dx g(x)dx.性质2 设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，贝U kf(x)dx=k f(x)dx.二.换元积分法的定理如果不定积分g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[ (x)] ( (x).做变量代换u= (x),并注意到’(x) dx=d (x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有g(x)dx= f[ (x)] ( (x)dx= f(u)du.如果f(u)du 可以积出，则不定积分g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。

第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。

f[ (x)] ' (x)dx= f(u)du=F(u)+C=F[ (x)]+C.定理1设F(u)是f(u)的一个原函数，u= (x)可导，则有换元公式f[ (x)] ' (x)dx= f(u)du=F(u)+C=F[ (x)]+C.(15) chxdx=shx+C. (16) (17) cotxdx=ln si nx +C; (18) (19)cscxdx=ln cscx cotx +C; (20) tan xdx=-l n cosx +C; secxdx=ln secx tanx +C;dx _1 , —2 = ln a x ax a n+C;第一类换兀法是通过变量代换u= (x),将积分f[ (x) ' (x)dx 化为f(u)du.但有些积分需要用到形如x= (t) 的变量代换，将积分f(x)dx 化为f[ (t)] ' (t). 在求出后一积分之后，再以x= (t)的反函数t= (X)带回去，这就是第二类换元法。

即f(x)dx={ f[ (t)] '(t)dt} t1(X).为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t= 1(x )存在的条件，给出下面的定理。

定理2设x= (t)是单调，可导的函数，并且’(t) 0.又设f[ ⑴] '⑴具其中1( x )是x= ( t )的反函数。

三•常用积分公式1基本积分公式有原函数F (t),则f(x)dx= f[ (t)] '(t)dt=F(t)+C=F[ (x)]+C(1) (3)⑺(9) (11) kdx=kx+C(k 是常数)；(2)——=ln x +C;xdxsin xdx=-cosx+C ; (8)u 1uxx u dx= +C(u u 1-1);(4)⑹=arctanx+C;1 x2cosxdx=s in x+C;-=csc 2xdx=-cotx+C; (10)2sin xcscxcotxdx=-cscx+C; (12)(13) a x dx= e x+C; (14)dx 2 —2 = sec xdx=tanx+C; cos xsecxta nxdx=secx+C;e x dx= e x+C;shxdx=chx+C;2.四.解不定积分的基本方法(21)dx:2 2V a x =arcs in x c-+c ；a(22)(23)dx=lnx 1 2 2Vxa+C./ 2 2V x aQX2 2------------- =ln (X+x a +c ；I 22、a x第一类换元积分法J /(tan = J tanxJ /(COtxX^2Ait4v = - J /(COtxX cotx 9 J sin itix cos ftxdx J sin Mtvsin nxdx Jcos//Lvcos/tvdx loJjdiT 皿fco^xrfx (山为奇数)JfOWMy (也为偶数) 12.J/(arctanx)^^ ^dx = Jj /{arcsinx)-j===aU — |/'(arcsinxXCarc^inx)H ― tau xu =cotx利用积化和睾 公式进行喪换用公寸，1—sitj- x = car 2 A 1—rax :x = sut 1 A进行交换化为倍角的二角萌 数降慕后再积分w = arctanx z -arcsin.v四.求不定积分的方法及技巧小汇总1•利用基本公式。

(这就不多说了~)2.第一类换元法。

(凑微分)设f(卩)具有原函数F(卩)。

贝Uf[ (x)] '(X)dx f[ (x)]d (x) F[ (x)] C其中(x)可微用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。

当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。

如例1、例2:例1:ln( x 1) In x , dxx(x 1)3.第二类换元法:则有换元公式f(x)dx f[ (t)] '(t)dt第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。

常见的变换形式需要熟记会用。

主要有以下几种：(1) a2 2x : x a si nt;x a cost⑵x2a2: x atant；x a cot t ；xasht(3) x2a2: x asect ；x a csct ；x acht【解】(ln(x 1) lnx)'1 x(x 1)ln(x 1) In x , dxx(x 1)(ln(x 1) In x)d(l n(x 1) lnx) 丄(1 n(x 1) In x)2 C 2例2: 1 ln x ,2dx (xlnx)2[解](x lnx)' 1 ln x1 In x x(x 1)2dxdxln x(xln x)21xln x设x (t)是单调、可导的函数，并且'(t) 0又设f[ (t)] '(t)具有原函数,xarcs in x 2 arcs in xd 、1 x 2(4) v ；ax b ：：'ax b t (5)(6) 当被积函数含有x m ax 2 bx c ,有时倒代换x 1也奏效t4.分部积分法.公式： dd分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成 不定积分。

具体选取 、 时，通常基于以下两点考虑:(1) 降低多项式部分的系数 (2) 简化被积函数的类型 举两个例子吧~！例3:3x arccosx _ dx1 x 23Xarccosxdx3 .cos t -t( sint)dt sintt cos 3 tdt例 4： arcs in 2 xdx ［解］t(si n 2t3tsi n3 1 3 tsi n 3 1 3 tsi n 3 1 3x 91)dsi nt td(gs in 3t sint) tsi nt z 1-3(一 si n3t sin t)dttsi nt/1 - 2 (sin 3t 1)d cost2 13 ctsi nt cost cos t C3 9 2 1 2 2x (x 2)1 x arccosx C 3 3arcsin 2 xdx xsin 2x1x2 arcs in x --------- dx xarcsin x xarcsin x 2 1 x 2 arcsin x2 1 x 2arcsin xx 2 2x C2 -1 x 2dx【解】观察被积函数，选取变换t arccosx,则时，记得用递推公式：I nx222、n12n 32a 2( n 1)例5: 6 4x x4x 2 厶X3, 2 x (x 1)2［解］64 x x4x 2r6 42 x x3 2x (x 1)23/ 22x (x 1)2 24x 2 x 4x 23/ 22~3 2 2x (x 1) x 1 x (x 1)上面的例3,降低了多项式系数；例4,简化了被积函数的类型 有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。

在 dd 中，、的选取有下面简单的规律：ax(1) P m (x)， e ,sin ax,cosax (2) In x,arcta nx,arcs inx ， P m (x)(3)e ，cos x,sin x(3)会出现循环，注意，选取的函数不能改变。

将以上规律化成一个图就是：(l nx 1arcs inx )Pm(x)(a A xsinx)---- ►V但是，当 ln x ， arcsin x 时， 是无法求解的。

对于()情况，有两个通用公式:5.几种特殊类型函数的积分。

(1) 有理函数的积分有理函数 出 先化为多项式和真分式■P *■凶 之和，再把上！凶 分解为若干Q(x) Q(x) Q(x) 个部分分式之和。

(对各部分分式的处理可能会比较复杂。

出现I n 2dx 2(a x )I i1e ax sinbx dx e ax cosbx dxaxe2 2 (asin bx a 2 b 2b cosbx)axe-27~2ab(a cosbx bsinbx) C-2^dx -l n(x 2 1) C x 1 24x 2 24x 2 2 2x 212 2x 3(x 22 dx1)x 4(x 22 xdx1)x 4(x 21)2dxx222 2(1)2(1)2(1)2 d(丄1 1 C1C 1(1)x (x 1)故不定积分求得。

(2) 三角函数有理式的积分2tasin x—1 ta n2 -万能公式： 21 tan2 -cosx ------------ --1 tan2 -2P(sin x,cosx)dx 可用变换t tan°化为有理函数 的积分，但由于计算较烦,Q(sin x, cos x) 2应尽量避免bsinx) B(acos'xacosx bsinx(3) 简单无理函数的积分 一般用第二类换元法中的那些变换形式。