例14、若不等式 在 恒成立，数 的取值围。
解：由题意知： 在 恒成立，
在同一坐标Байду номын сангаас，分别作出函数 和
观察两函数图象，当 时，若 函数 的图象显然在函数 图象的下方，所以不成立；
当 或 时， ,可得其解集为 ；
当 或 时, ,解集为 。
例6解不等式 ，
分析此不等式 ，又不等式可分解为 ，故只需比较两根 与 的大小.
解原不等式可化为： ，对应方程 的两根为
，当 时，即 ，解集为 ；当 时，即 ，解集为
含参不等式恒成立问题的求解策略
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
若恒有 成立,数 的取值围.
分析：在同一直角坐标系中作出 及
的图象如图所示， 的图象是半圆
的图象是
平行的直线系 。
要使 恒成立，
则圆心 到直线 的距离
满足
解得 （舍去)
由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。
1） 恒成立
2） 恒成立
。
例7、已知 时，不等式 恒成立，求 的取值围。
解：令 ， 所以原不等式可化为： ，
要使上式在 上恒成立，只须求出 在 上的最小值即可。
例8、已知函数 ，若对任意 恒有 ，试确定 的取值围。
解：根据题意得： 在 上恒成立，
即： 在 上恒成立，
设 ，则
当 时， 所以
例9．已知函数 时 恒成立，数 的取值围。
2） 恒成立
例3、若 时，不等式 恒成立，求 的取值围。
解：设 ，则问题转化为当 时， 的最小值非负。
（1）当 即： 时， 又 所以 不存在；
（2）当 即： 时， 又
（3）当 即： 时， 又
综上所得：
例4．函数 ，若对任意 ， 恒成立，数 的取值围。
解：若对任意 ， 恒成立，
即对 ， 恒成立，
考虑到不等式的分母 ，只需 在 时恒成立而得
解：设 ，对满足 的 ， 恒成立，
解得：
五、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1） 函数 图象恒在函数 图象上方；
2） 函数 图象恒在函数 图象下上方。
例12．设 , ,
（2） 时，只需 ，所以， 。
例2．已知函数 的定义域为R，数 的取值围。
解：由题设可将问题转化为不等式 对 恒成立，即有 解得 。
所以实数 的取值围为 。
若二次不等式中 的取值围有限制，则可利用根的分布解决问题。
二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1） 恒成立
分析：题中的不等式是关于 的一元二次不等式，但若把 看成主元，则问题可转化为一次不等式 在 上恒成立的问题。
解：令 ，则原问题转化为 恒成立（ ）。
当 时，可得 ，不合题意。
当 时，应有 解之得 。
故 的取值围为 。
注：一般地，一次函数 在 上恒有 的充要条件为 。
例11、若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的取值围。
当 时,解集为
例2解不等式
分析因为 ， ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解
当 时，解集为 ；当 时，解集为
二、按判别式 的符号分类，即 ；
例3解不等式
分析本题中由于 的系数大于0,故只需考虑 与根的情况。
解：∵
∴当 即 时，解集为 ；
当 即Δ＝0时，解集为 ；
当 或 即 ,此时两根分别为 ， ，显然 ,
含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元
二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按 项的系数 的符号分类，即 ;
例1解不等式：
分析：本题二次项系数含有参数， ，故只需对二次项
系数进行分类讨论。
解：∵
解得方程 两根
∴当 时,解集为
当 时，不等式为 ,解集为
∴不等式的解集为
例4解不等式
解因
所以当 ，即 时，解集为 ；
当 ，即 时，解集为 ；
当 ，即 时，解集为R。
三、按方程 的根 的大小来分类，即 ；
例5解不等式
分析：此不等式可以分解为： ，故对应的方程必有两解。本题
只需讨论两根的大小即可。
解：原不等式可化为： ，令 ，可得：
∴当 或 时， ，故原不等式的解集为 ；
例13：已知 ，数a的取值围。
解析：由 ，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由 得到a分别等于2和0.5，并作出函数 的图象，所以，要想使函数 在区间 中恒成立，只须 在区间 对应的图象在 在区间 对应图象的上面即可。当 才能保证，而 才可以，所以 。
解： 将问题转化为 对 恒成立。
令 ，则
由 可知 在 上为减函数，故
∴ 即 的取值围为 。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例10．对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值围。
而抛物线 在 的最小值 得
注：本题还可将 变形为 ，讨论其单调性从而求出 最小值。
例5：在 ABC中，已知 恒成立，数m的围。
解析：由
， ， 恒成立， ，即 恒成立，
例6：求使不等式 恒成立的实数a的围。
解析：由于函 ，显然函数有最大值 ， 。
三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ,有
1） 对 恒成立 ;
2） 对 恒成立
例1：若不等式 的解集是R，求m的围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；