第十三教时
教材：平面向量的数量积的坐标表示
目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。

过程：
一、复习：
1．平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示 2．平面向量数量积的运算 3．两平面向量垂直的充要条件 4．两向量共线的坐标表示： 二、 课题：平面两向量数量积的坐标表示
1．设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ， 则：i ⋅i = 1，j ⋅j = 1，i ⋅j = j ⋅i = 0 2．推导坐标公式：
∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j
∴a ⋅b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ⋅j + x 2y 1i ⋅j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2
从而获得公式：a ⋅b = x 1x 2 + y 1y 2
例一、设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b
解：a ⋅b = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -2 3．长度、角度、垂直的坐标表示
1︒a = (x , y ) ⇒ |a|2 = x 2 + y 2 ⇒ |a | =22y x +
2︒若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则=221221)()(y y x x -+-
3︒ co s θ =
|
|||b a b
a ⋅⋅2
2
2
22
1
2
12121y x y x y y x x +++=
4︒∵a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0 即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）
4．例二、已知A (1, 2)，B (2, 3)，C (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形。

证：∵=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3) ∴⋅=1×(-3) + 1×3 = 0 ∴⊥
∴△ABC 是直角三角形
三、补充例题：处理《教学与测试》P153 第73课
例三、已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x 。

解：设x = (t , s )，
由x ⋅a = 9 ⇒ 3t - s = 9 t = 2
由x ⋅a = 9 ⇒ 3t - s = 9 s = -3 ∴x = (2, -3)
例四、如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，
求点B 和向量AB 的坐标。

解：设B 点坐标(x , y )，则= (x , y )，= (x -5, y -2) ∵⊥ ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2 -5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29
由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=
=-==⇒⎩⎨⎧=+=--+272323272941002522112
2
y x y x y x y x y x 或
∴B 点坐标)23,27(-或)2
7
,23(；=)27,23(--或)23,27(-
例五、在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值。

解：当A = 90︒时，⋅= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =2
3
-
当B = 90︒时，AB ⋅BC = 0，BC =AC -AB = (1-2, k -3) = (-1, k -3)
∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =
3
11 当C = 90︒时，AC ⋅BC = 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =2
13
3± 四、小结：两向量数量积的坐标表示 长度、夹角、垂直的坐标表示 五、作业： P121 练习及习题5.7
《教学与测试》P154 5、6、7、8，思考题
⇒
A
O B。