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平面向量的数量积习题(精品绝对好)

平面向量的数量积(20131119)作业姓名 成绩A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分,共20分)1. (2012·辽宁)已知向量a =(1,-1),b =(2,x ),若a ·b =1,则x 等于( )A .-1B .-12C.12D .12. (2012·重庆)设x ,y ∈R ,向量a =(x,1),b =(1,y ),c =(2,-4),且a ⊥c ,b ∥c ,则|a +b |等于( )A. 5B.10 C .2 5 D .103. 已知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量c 满足(c +a )∥b ,c ⊥(a +b ),则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79,73B.⎝⎛⎭⎫-73,-79C.⎝⎛⎭⎫73,79D.⎝⎛⎭⎫-79,-73 4. 在△ABC 中,AB =3,AC =2,BC =10,则AB →·AC →等于( )A .-32B .-23C.23D.32二、填空题(每小题5分,共15分)5.已知向量a ,b 夹角为45°,且|a |=1,|2a -b |=10,则|b |=________. 6.在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则AB →·AC →=________.7. 已知a =(2,-1),b =(λ,3),若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是__________. 三、解答题(共22分)8. (10分)已知a =(1,2),b =(-2,n ) (n >1),a 与b 的夹角是45°.(1)求b ;(2)若c 与b 同向,且a 与c -a 垂直,求c .9. (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|=2,|e 2|=1,e 1、e 2的夹角为60°,若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角,求实数t 的取值范围.B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分,共15分)1.在△ABC 中,AB =2,AC =3,AB →·BC →=1,则BC 等于( )A. 3B.7C .2 2D.232. 已知|a |=6,|b |=3,a·b =-12,则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A .-4B .4C .-2D .23.在直角三角形ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点,则|P A |2+|PB |2|PC |2等于( )A .2B .4C .5D .10二、填空题(每小题5分,共15分)4.设向量a =(1,2m ),b =(m +1,1),c =(2,m ).若(a +c )⊥b ,则|a |=________.5.如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AB →·AF →=2,则AE →·BF →的值是________.6.在矩形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1,若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足|BM →||BC →|=|CN →||CD →|,则AM →·AN →的取值范围是________.三、解答题7. (13分)设平面上有两个向量a =(cos α,sin α) (0°≤α<360°),b =⎝⎛⎭⎫-12,32.(1)求证:向量a +b 与a -b 垂直;(2)当向量3a +b 与a -3b 的模相等时,求α的大小.平面向量的数量积(20131119)作业答案姓名 成绩A 组 专项基础训练 (时间:35分钟,满分:57分)一、选择题(每小题5分,共20分)1. (2012·辽宁)已知向量a =(1,-1),b =(2,x ),若a ·b =1,则x 等于( )A .-1B .-12C.12D .1答案 D解析 a ·b =(1,-1)·(2,x )=2-x =1⇒x =1.2. (2012·重庆)设x ,y ∈R ,向量a =(x,1),b =(1,y ),c =(2,-4),且a ⊥c ,b ∥c ,则|a +b |等于( )A. 5B.10 C .2 5 D .10 答案 B解析 ∵a =(x,1),b =(1,y ),c =(2,-4), 由a ⊥c 得a ·c =0,即2x -4=0,∴x =2. 由b ∥c ,得1×(-4)-2y =0,∴y =-2. ∴a =(2,1),b =(1,-2).∴a +b =(3,-1),∴|a +b |=32+(-1)2=10.3. 已知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量c 满足(c +a )∥b ,c ⊥(a +b ),则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79,73B.⎝⎛⎭⎫-73,-79C.⎝⎛⎭⎫73,79D.⎝⎛⎭⎫-79,-73 答案 D解析 设c =(x ,y ),则c +a =(x +1,y +2), 又(c +a )∥b ,∴2(y +2)+3(x +1)=0.① 又c ⊥(a +b ),∴(x ,y )·(3,-1)=3x -y =0.② 联立①②解得x =-79,y =-73.4. 在△ABC 中,AB =3,AC =2,BC =10,则AB →·AC →等于( )A .-32B .-23C.23D.32答案 D解析 由于AB →·AC →=|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC=12(|AB →|2+|AC →|2-|BC →|2)=12×(9+4-10)=32. 二、填空题(每小题5分,共15分)5. (2012·课标全国)已知向量a ,b 夹角为45°,且|a |=1,|2a -b |=10,则|b |=________.答案 3 2解析 ∵a ,b 的夹角为45°,|a |=1, ∴a ·b =|a |·|b |cos 45°=22|b |, |2a -b |2=4-4×22|b |+|b |2=10,∴|b |=3 2. 6. (2012·浙江)在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则AB →·AC →=________.答案 -16 解析 如图所示, AB →=AM →+MB →, AC →=AM →+MC → =AM →-MB →,∴AB →·AC →=(AM →+MB →)·(AM →-MB →)=AM →2-MB →2=|AM →|2-|MB →|2=9-25=-16.7. 已知a =(2,-1),b =(λ,3),若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是__________.答案 (-∞,-6)∪⎝⎛⎭⎫-6,32 解析 由a·b <0,即2λ-3<0,解得λ<32,由a ∥b 得:6=-λ,即λ=-6.因此λ<32,且λ≠-6.三、解答题(共22分)8. (10分)已知a =(1,2),b =(-2,n ) (n >1),a 与b 的夹角是45°.(1)求b ;(2)若c 与b 同向,且a 与c -a 垂直,求c . 解 (1)a·b =2n -2,|a |=5,|b |=n 2+4, ∴cos 45°=2n -25·n 2+4=22,∴3n 2-16n -12=0, ∴n =6或n =-23(舍),∴b =(-2,6).(2)由(1)知,a·b =10,|a |2=5.又c 与b 同向,故可设c =λb (λ>0),(c -a )·a =0,∴λb·a -|a |2=0,∴λ=|a |2b·a =510=12, ∴c =12b =(-1,3).9. (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|=2,|e 2|=1,e 1、e 2的夹角为60°,若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角,求实数t 的取值范围. 解 ∵e 1·e 2=|e 1|·|e 2|·cos 60°=2×1×12=1,∴(2t e 1+7e 2)·(e 1+t e 2)=2t e 21+7t e 22+(2t 2+7)e 1·e 2=8t +7t +2t 2+7=2t 2+15t +7.由已知得2t 2+15t +7<0,解得-7<t <-12.当向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2反向时, 设2t e 1+7e 2=λ(e 1+t e 2),λ<0,则⎩⎪⎨⎪⎧2t =λ,λt =7⇒2t 2=7⇒t =-142或t =142(舍).故t 的取值范围为(-7,-142)∪(-142,-12). B 组 专项能力提升 (时间:25分钟,满分:43分)一、选择题(每小题5分,共15分)1. (2012·湖南)在△ABC 中,AB =2,AC =3,AB →·BC →=1,则BC 等于( )A. 3B.7C .2 2D.23答案 A解析 ∵AB →·BC →=1,且AB =2,∴1=|AB →||BC →|cos(π-B ),∴|AB →||BC →|cos B =-1. 在△ABC 中,|AC |2=|AB |2+|BC |2-2|AB ||BC |cos B , 即9=4+|BC |2-2×(-1). ∴|BC |= 3.2. 已知|a |=6,|b |=3,a·b =-12,则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A .-4B .4C .-2D .2 答案 A解析 a·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积,得a·b =|b ||a |·cos 〈a ,b 〉,即-12=3|a |·cos 〈a ,b 〉, ∴|a |·cos 〈a ,b 〉=-4.3. (2012·江西)在直角三角形ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点,则|P A |2+|PB |2|PC |2等于( ) A .2B .4C .5D .10答案 D解析 ∵P A →=CA →-CP →,∴|P A →|2=CA →2-2CP →·CA →+CP →2. ∵PB →=CB →-CP →,∴|PB →|2=CB →2-2CP →·CB →+CP →2. ∴|P A →|2+|PB →|2=(CA →2+CB →2)-2CP →·(CA →+CB →)+2CP →2 =AB →2-2CP →·2CD →+2CP →2. 又AB →2=16CP →2,CD →=2CP →,代入上式整理得|P A →|2+|PB →|2=10|CP →|2,故所求值为10. 二、填空题(每小题5分,共15分)4. (2012·安徽)设向量a =(1,2m ),b =(m +1,1),c =(2,m ).若(a +c )⊥b ,则|a |=________.答案2解析 利用向量数量积的坐标运算求解. a +c =(1,2m )+(2,m )=(3,3m ).∵(a +c )⊥b , ∴(a +c )·b =(3,3m )·(m +1,1)=6m +3=0, ∴m =-12.∴a =(1,-1),∴|a |= 2.5. (2012·江苏)如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AB →·AF →=2,则AE →·BF →的值是________. 答案2解析 方法一 坐标法.以A 为坐标原点,AB ,AD 所在直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),E (2,1),F (x,2).故AB →=(2,0),AF →=(x,2),AE →=(2,1),BF →=(x -2,2), ∴AB →·AF →=(2,0)·(x,2)=2x .又AB →·AF →=2,∴x =1.∴BF →=(1-2,2). ∴AE →·BF →=(2,1)·(1-2,2)=2-2+2= 2. 方法二 用AB →,BC →表示AE →,BF →是关键. 设DF →=xAB →,则CF →=(x -1)AB →.AB →·AF →=AB →·(AD →+DF →) =AB →·(AD →+xAB →)=xAB →2=2x , 又∵AB →·AF →=2,∴2x =2, ∴x =22.∴BF →=BC →+CF →=BC →+⎝⎛⎭⎫22-1AB →. ∴AE →·BF →=(AB →+BE →)·⎣⎡⎦⎤BC →+⎝⎛⎭⎫22-1AB →=⎝⎛⎭⎫AB →+12BC →⎣⎡⎦⎤BC →+⎝⎛⎭⎫22-1AB →=⎝⎛⎭⎫22-1AB →2+12BC →2=⎝⎛⎭⎫22-1×2+12×4= 2. 6. (2012·上海)在矩形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1,若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足|BM →||BC →|=|CN →||CD →|,则AM →·AN →的取值范围是________.答案 [1,4]解析 利用基向量法,把AM →,AN →都用AB →,AD →表示,再求数量积. 如图所示, 设|BM →||BC →|=|CN →||CD →|=λ(0≤λ≤1),则BM →=λBC →, CN →=λCD →,DN →=CN →-CD → =(λ-1)CD →,∴AM →·AN →=(AB →+BM →)·(AD →+DN →) =(AB →+λBC →)·[AD →+(λ-1)CD →] =(λ-1)AB →·CD →+λBC →·AD → =4(1-λ)+λ=4-3λ,∴当λ=0时,AM →·AN →取得最大值4; 当λ=1时,AM →·AN →取得最小值1. ∴AM →·AN →∈[1,4]. 三、解答题7. (13分)设平面上有两个向量a =(cos α,sin α) (0°≤α<360°),b =⎝⎛⎭⎫-12,32.(1)求证:向量a +b 与a -b 垂直;(2)当向量3a +b 与a -3b 的模相等时,求α的大小. (1)证明 ∵(a +b )·(a -b )=a 2-b 2 =|a |2-|b |2=(cos 2α+sin 2α)-⎝⎛⎭⎫14+34=0, 故向量a +b 与a -b 垂直.(2)解 由|3a +b |=|a -3b |,两边平方得 3|a |2+23a·b +|b |2=|a |2-23a·b +3|b |2, 所以2(|a |2-|b |2)+43a·b =0,而|a |=|b |, 所以a·b =0,即⎝⎛⎭⎫-12·cos α+32·sin α=0, 即cos(α+60°)=0,∴α+60°=k ·180°+90°, k ∈Z , 即α=k ·180°+30°,k ∈Z ,又0°≤α<360°,则α=30°或α=210°.。

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