A§5.3　平面向量的数量积2014高考会这样考　1.考查两个向量的数量积的求法；2.利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模；3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直．复习备考要这样做　1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法；2.理解数量积的运算性质；3.利用数量积解决向量的几何问题．1． 平面向量的数量积已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a·b ＝±|a||b|.2． 平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．3． 平面向量数量积的重要性质(1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0；(3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝a 2，|a |＝；a·a (4)cos θ＝；a·b|a||b|(5)|a·b |__≤__|a||b|.4． 平面向量数量积满足的运算律学#科#网Z#X#X#K](1)a·b ＝b·a (交换律)；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)；(3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5． 平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝.x 2＋y 2(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝||＝.AB→ (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2n de i (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.[难点正本　疑点清源]1． 向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．2． a ·b >0是两个向量a ·b 夹角为锐角的必要不充分条件．因为若〈a ，b 〉＝0，则a·b >0，而a ，b 夹角不是锐角；另外还要注意区分△ABC 中，、的夹角与角B 的关系．AB→ BC → 3．计算数量积时利用数量积的几何意义是一种重要方法．1． 已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝________.答案　－32解析　a·b ＝|a||b |cos 135°＝2×3×＝－3.(－22)22．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为________．学_科_网Z_X_X_K]答案　32解析　由a ⊥b 知a·b ＝0.又3a ＋2b 与λa －b 垂直，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2－2b 2＝3λ×22－2×32＝0.∴λ＝.323． 已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______．答案　655解析　设a 和b 的夹角为θ，|a |cos θ＝|a |a·b|a||b |＝＝＝.2×(－4)＋3×7(－4)2＋7213656554． (2011·辽宁)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( )A ．－12B ．－6C ．6D ．12t h答案　D解析　由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a·b ＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.5． (2012·陕西)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A. B.C ．0D ．－12212答案　C解析　a ＝(1，cos θ)，b ＝(－1,2cos θ)．∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝0，∴cos 2θ＝，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝1－1＝0.12题型一　平面向量的数量积的运算例1　(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则·等于( )AB→ AC → A ．－16B ．－8C ．8D ．16(2)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3思维启迪：(1)由于∠C ＝90°，因此选向量，为基底．CA→ CB → (2)先算出8a －b ，再由向量的数量积列出方程，从而求出x .答案　(1)D (2)C解析　(1)·＝(－)·(－)AB → AC → CB → CA → CA→ ＝－·＋＝16.CB→ CA → CA 2→ (2)∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a －b )·c ＝30，∴(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30.∴x ＝4.探究提高　求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件．　(2012·北京)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．DE → CB → DE→ DC → 答案　1　1解析　方法一　以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，则E (t,0)，t ∈[0,1]，则＝(t ，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.DE → CB → DE→ CB → 因为＝(1,0)，所以·＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，DC → DE→ DC → 故·的最大值为1.DE→ DC → 方法二　由图知，无论E 点在哪个位置，在方向上的投影都DE→ CB → 是CB ＝1，∴·＝||·1＝1，DE→ CB → CB → 当E 运动到B 点时，在方向上的投影最大即为DC ＝1，∴(DE→ DC → ·)max ＝||·1＝1.DE → DC → DC→ 题型二　向量的夹角与向量的模例2　已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若＝a ，＝b ，求△ABC 的面积．AB → BC→ 思维启迪：运用数量积的定义和|a |＝.a·a 解　(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.学科又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61，∴a·b ＝－6.∴cos θ＝＝＝－.a·b|a||b |－64×312又0≤θ≤π，∴θ＝.2π3(2)可先平方转化为向量的数量积．|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝.13(3)∵与的夹角θ＝，∴∠ABC ＝π－＝.AB → BC→ 2π32π3π3又||＝|a |＝4，||＝|b |＝3，AB → BC→ ∴S △ABC ＝||||sin ∠ABC ＝×4×3×＝3.12AB → BC→ 12323探究提高　(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝要引起足够重视，它是求距离常用的公式．a·a (2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的．(1)已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A. B. C.D.π6π4π3π2答案　C解析　∵cos 〈a ，b 〉＝＝，a·b |a||b |12∴〈a ，b 〉＝.π3(2)已知向量a ＝(1，)，b ＝(－1,0)，则|a ＋2b |等于( )3A ．1B.C ．2D ．42答案　C解析　|a ＋2b |2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝4－4×1＋4＝4，∴|a ＋2b |＝2.题型三　向量数量积的综合应用例3　已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)．(1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数)思维启迪：(1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证．(2)由模相等，列等式、化简．(1)证明　∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－(cos 2β＋sin 2β)＝0，∴a ＋b 与a －b 互相垂直．(2)解　k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，a －k b ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)，|k a ＋b |＝，k 2＋2k cos (β－α)＋1|a －k b |＝.1－2k cos (β－α)＋k 2∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴2k cos(β－α)＝－2k cos(β－α)．又k ≠0，∴cos(β－α)＝0.∵0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝.π2探究提高　(1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明a ⊥b ，则只需证明a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b ＝0.(3)数量积的运算中，a·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a·b ＝0，但不能说a⊥b .已知平面向量a ＝(，－1)，b ＝.3(12，32)(1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t )．l l t h (1)证明　∵a·b ＝×－1×＝0，∴a ⊥b .31232(2)解　∵c ＝a ＋(t 2－3)b ，d＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，∴c·d ＝[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝－k a 2＋t (t 2－3)b 2＋[t －k (t 2－3)]a·b ＝0，又a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝1，a·b ＝0，∴c·d ＝－4k ＋t 3－3t ＝0，∴k ＝f (t )＝(t ≠0)．t 3－3t4三审图形抓特点典例：(5分)如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若＝x ＋y ，则x ＝________，y ＝________.AD → AB → AC→ 图形有一副三角板构成↓(注意一副三角板的特点)令|AB |＝1，|AC |＝1↓(一副三角板的两斜边等长)|DE |＝|BC |＝2↓(非等腰三角板的特点)|BD |＝|DE |sin 60°＝×＝23262↓(注意∠ABD ＝45°＋90°＝135°)在上的投影即为xAD→ AB → ↓x ＝|AB |＋|BD |cos 45°＝1＋×＝1＋622232↓在上的投影即为yAD→ AC → ↓y ＝|BD |·sin 45°＝×＝.622232解析　方法一　结合图形特点，设向量，为单位向量，由＝x ＋y 知，AB → AC → AD → AB → AC→ x ，y 分别为在，上的投影．又|BC |＝|DE |＝，∴||＝||·sin 60°＝.AD → AB → AC → 2BD → DE→ 62∴在上的投影AD→ AB → x ＝1＋cos 45°＝1＋×＝1＋，62622232在上的投影y ＝sin 45°＝.AD → AC→ 6232方法二　∵＝x ＋y ，又＝＋，AD → AB → AC → AD→ AB → BD → ∴＋＝x ＋y ，∴＝(x －1)＋y .AB → BD → AB → AC → BD → AB → AC → 又⊥，∴·＝(x －1)2.AC → AB → BD → AB → AB → 设||＝1，则由题意||＝||＝.AB → DE → BC→ 2又∠BED ＝60°，∴||＝.显然与的夹角为45°.BD → 62BD→ AB → ∴由·＝(x －1)2，BD → AB → AB → 得×1×cos 45°＝(x －1)×12.∴x ＝＋1.6232同理，在＝(x －1)＋y 两边取数量积可得y ＝.ZxxkBD → AB → AC→ 32答案　1＋　3232温馨提醒　突破本题的关键是，要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成)．根据图形的特点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷．方法二是原试题所给答案，较方法一略显繁杂．方法与技巧1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．e 2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．失误与防范1．(1)0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．2．a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b .3．a·b ＝a·c (a ≠0)不能推出b ＝c，即消去律不成立．A 组　专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于( )A ．－1B ．－C.D ．11212答案　D解析　a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( )A. B.C ．2D ．105105答案　B解析　∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝＝.32＋(－1)2103． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.B.(79，73)(－73，－79)C.D.(73，79)(－79，－73)答案　D解析　设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， ZXXK]又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②联立①②解得x ＝－，y ＝－.79734．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝，则·等于( )10AB→ AC → A ．－ B ．－C.D.32232332答案　D解析　由于·＝||·||·cos ∠BAC AB→ AC → AB → AC → ＝(||2＋||2－||2)＝×(9＋4－10)＝. Zxxk12AB → AC → BC→ 1232二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2012·课标全国)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝，则|b |＝________.10答案　32解析　∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝|b |，22|2a －b |2＝4－4×|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3.2226． (2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则·＝________.AB→ AC → 答案　－16解析　如图所示，＝＋，AB→ AM → MB → ＝＋AC→ AM → MC → ＝－，AM→ MB → ∴·＝(＋)·(－)AB→ AC → AM → MB → AM → MB → ＝2－2＝||2－||2＝9－25＝－16.AM → MB → AM → MB →7．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________．答案　(－∞，－6)∪(－6，32)解析　由a·b <0，即2λ－3<0，解得λ<，由a ∥b 得：326＝－λ，即λ＝－6.因此λ<，且λ≠－6.32三、解答题(共22分)8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.(1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .解　(1)a·b ＝2n －2，|a |＝，|b |＝，5n 2＋4∴cos 45°＝＝，∴3n 2－16n －12＝0，2n －25·n 2＋422∴n ＝6或n ＝－(舍)，∴b ＝(－2,6)．23(2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2＝5.又c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)，(c －a )·a ＝0，∴λb·a －|a |2＝0，∴λ＝＝＝，|a |2b·a 51012∴c ＝b ＝(－1,3)．129． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解　∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 60°＝2×1×＝1，12∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e ＋7t e ＋(2t 2＋7)e 1·e 2212＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7.由已知得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－.12当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则Error!⇒2t 2＝7⇒t ＝－或t ＝(舍)．142142故t 的取值范围为(－7，－)∪(－，－)．ZXXK]14214212B 组　专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·湖南)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，·＝1，则BC 等于( )AB→ BC → A. B.C ．2D.ZXXK]37223答案　A解析　∵·＝1，且AB ＝2，AB→ BC → ∴1＝||||cos(π－B )，∴||||cos B ＝－1.AB → BC → AB→ BC → 在△ABC 中，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB ||BC |cos B ，即9＝4＋|BC |2－2×(－1)．∴|BC |＝.32． 已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2答案　A解析　a·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，得a·b ＝|b ||a |·cos 〈a ，b 〉，即－12＝3|a |·cos 〈a ，b 〉，∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝－4.3． (2012·江西)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则等于 ( )|PA |2＋|PB |2|PC |2A ．2B ．4C ．5D ．10答案　D解析　∵＝－，PA→ CA → CP →∴||2＝2－2·＋2.PA → CA → CP → CA → CP → ∵＝－，∴||2＝2－2·＋2.PB → CB → CP → PB →CB → CP→ CB → CP → ∴||2＋||2PA → PB → ＝(2＋2)－2·(＋)＋22CA → CB → CP → CA → CB → CP → ＝2－2·2＋22.AB → CP → CD → CP → 又2＝162，＝2，AB → CP → CD → CP → 代入上式整理得||2＋||2＝10||2，故所求值为10.PA → PB → CP → 二、填空题(每小题5分，共15分)4．(2012·安徽)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.答案　2解析　a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )．∵(a ＋c )⊥b ，Zxxk∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0，∴m ＝－.∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝.1225． (2012·江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝，BC ＝2，点E 为BC 的2中点，点F 在边CD 上，若·＝，则·的值是________．AB → AF → 2AE→ BF → 答案　2解析　方法一　坐标法．以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (，0)，E (，1)，F (x,2)．22故＝(，0)，＝(x,2)，＝(，1)，＝(x －，2)，AB → 2AF → AE → 2BF→ 2∴·＝(，0)·(x,2)＝x .AB→ AF → 22又·＝，∴x ＝1.∴＝(1－，2)． ZXXK]AB → AF → 2BF→ 2∴·＝(，1)·(1－，2)＝－2＋2＝.AE→ BF → 2222方法二　用，表示，是关键．AB → BC → AE→ BF → 设＝x ，则＝(x －1).DF → AB → CF → AB → ·＝·(＋)AB→ AF → AB → AD → DF → ＝·(＋x )＝x 2＝2x ，AB → AD → AB → AB→ 又∵·＝，∴2x ＝，AB→ AF → 22∴x ＝.∴＝＋＝＋.22BF → BC → CF → BC→ (22－1)AB → ∴·＝(＋)·AE → BF → AB → BE → [BC → ＋(22－1)AB → ]＝(AB → ＋12BC →)[BC → ＋(22－1)AB → ]＝2＋2(22－1)AB → 12BC → ＝×2＋×4＝.(22－1)1226． (2012·上海)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．|BM → ||BC → ||CN → ||CD → |AM→ AN → 答案　[1,4]解析　如图所示，设＝|BM→ ||BC→ ||CN → ||CD →|＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ，BM → BC→ ＝λ，＝－CN → CD→ DN → CN → CD →＝(λ－1)，CD→ ∴·＝(＋)·(＋)AM→AN → AB → BM → AD → DN →＝(＋λ)·[＋(λ－1)]AB → BC → AD → CD → ＝(λ－1)·＋λ·AB → CD → BC→ AD → ＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，·取得最大值4；AM→ AN → 当λ＝1时，·取得最小值1.AM→ AN → ∴·∈[1,4]．AM→ AN → 三、解答题7． (13分)设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝.(－12，32)(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量a ＋b 与a －b 的模相等时，求α的大小．33(1)证明　∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－＝0，(14＋34)故向量a ＋b 与a －b 垂直．(2)解　由|a ＋b |＝|a －b |，两边平方得333|a |2＋2a·b ＋|b |2＝|a |2－2a·b ＋3|b |2，33所以2(|a |2－|b |2)＋4a·b ＝0，而|a |＝|b |，3所以a·b ＝0，即·cos α＋·sin α＝0，(－12)32即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°， k ∈Z ，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.。