2.数制表示
实数x可以表示以下形式的 进制t位有效数字
x
( d1
d2
2
L
dt
t
)
l
,1
d1
,0
d
j
,
j 2,3,L ,t
有效数字: x 0.d1d2 L dt L 10l , x% 0.d1d2 L d%t 10l , 若 x x% 0.510lt ,则称x%有t位有效数字
数系:表示为F ( ,t, L,U ), 个数:2( 1) t1(U L 1) 1
第2章 线性代数方程组
例
:
考查方程组
5x1 2 x1
2x2 4x2
x3 10 2x3 25
2x1 4x2 6x3 5
的Jacobi迭代格式,Gauss - Seidel格式的收敛性.
例: 设x ( x1 , x2 , x3 )T ,则 x1 2x2 3x3 是否是范数, x1 2x2 3x3 是否是范数
计算方法教程 总结
目录
第1章 绪论 第2章 线性代数方程组 第3章 数据近似 第4章 数值微积分 第5章 非线性方程求解 第6章 常微分方程数值解法 第7章 最优化方法简介
(误差分析基础)
(基本工具)
(计算方法应用)
第1章 绪论
1.误差:近似值与真正值之差
分为模型误差、数据误差、截断误差、舍入误差
带状矩阵分解:三对角阵分解,追赶法
第2章 线性代数方程组
范数:定义,性质.向量与矩阵范数的相容性,等价性
方程组的条件数:m cond(A) A g A-1
迭代算法:构造,收敛判断
Jacobi:G d
D -1 ( E D1b
F
)
I
D1
A
Gauss-Seidel:G d
(D (D
E)-1 F E)1b
第3章 数据近似
多项式插值
数据近似
连续多项式插值
似
Lagrange插值 Newton插值 Hermit插值
分段一次插值 分段二次插值 分段三次样条插值
第3章 数据近似
多项式插值 f (x) pn (x) Rn (x)
n
Lagrange插值 Ln (x) li (x) yi i0
TH2.11 迭代的误差估计式
第2章 线性代数方程组
1
-
1
1
2
例:矩阵A= 1
3
01
,则A1 _______, A ___, A ___
1
1 4
0 0 1
2 1
例:
若矩阵A
1
2
a
可以分解为GGT的形式,
其中G为下三角阵,
a 1
且对角元均为正,问a的取值范围,并请按此要求将此A分解
条件数:当输入数据具有 x引起问题的结果 f (x) 则cond( f ) sup f (x) x
5.方法的稳定性
数值稳定:若初始误差导致最终解的误差能被有效地控制 数值不稳定:若初始误差导致最终解的误差不能被有效地控制
6.算法 由有限个无二义性法则组成的一个计算过程
算法的特点,描述
第1章 绪论
TH2.6 充分条件: G 1
TH2.7 A为严格对角占优, Jacobi格式收敛
TH2.8 A为严格对角占优,Gauss - Seidel格式收敛
TH2.9 A对称正定,Gauss - Seidel收敛; 2D - A对称正定, Jacobi收敛
TH2.10 迭代格式x(k1) Gx(k) d收敛的充要条件为 G 1
x
2
证明:设x
( d1
d2 2
d3 3
L
dt t
dt 1 t1
L
) l
这里 1 d1 , 0 d j ( j 2,3,...)
第1章 绪论
例.为了使计算y
10
3 x -1
x
4
-12
x
6
-13
的乘除法次数尽可
能少,应将该式改写为_______
例.在浮点数系下,计算x2 16x 1 0的两个根,应如何 计算才能使精度较高？
33+
8 8
等价,在浮点数系F(10,5,-10,10)中
哪个公式能获得最准确的结果:(17-6 8)3, 1 , (17+6 8)3
3
6
8,
1 6 ,19601 6930
3 8
8,
1
19601 6930
8
第1章 绪论
例.证明在浮点数系F ( ,t, L,U )中,浮点数的相对误差
( X ) x - fl(x) 满足 ( X ) 1 1-t
上溢:l U 下溢:l L
第1章 绪论
3.舍入误差:对数进行舍入，得到有t位尾数的浮点数fl(x)
相对舍入误差: (x) x fl(x)
(x) 1 1t
x
2
性质 : fl(x y) (1-1)(x y) fl(xy) (1-2)(xy)
fl
(
x y
)
(1
-
3
)(
x y
)
浮点运算的注意事项
例.对于函数f (x)在某个区间上连续可微,则求f (x)的 近似条件数
第2章 线性代数方程组
Gauss解法
解法
常规解法
列主元Gauss解法
矩阵分解法:LU分解,LDU分解,
GG分解,追赶法
迭代解法
Jacobi迭代法 Gauss-Seidel迭代法
Gauss消去法 :消去的时间复杂度o(n3),回代 : o(n2 )
列主元Gauss消去法 :消去的时间复杂度o(n3),回代 : o(n2 )
LU分解:L : 单位下三角阵,U : 上三角阵,时间复杂度o(n3)
LDU分解:L : 单位下三角阵, D : 对角阵,U : 上三角阵,时间复杂度o(n3 / 3)
GG分解:针对对称正定矩阵,o(n3 / 6),加n个开方运算
例.x 2.718281828, x1 2.71828325,则x1的有6位有效位数 若fl(x) 2.7182818225,则有7位有效位数
例.在F(10,5, -2,3)中有多少个数?
例.若桌子长为100cm,宽为50cm,实测长为102cm,宽为51cm,
求面积的相对误差 3
例.下列各式均与
(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数 参加运算；
(2)避免“大”“小”数相加减； (3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失； (4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数。
第1章 绪论
4.问题的性态:问题的解对原始数据扰动的敏感性
病态问题:数据相对小的扰动引起解的相对大的变化 良态问题:数据相对小的扰动不会引起解的相对大的变化
li
(x)
(x
(x) xi )(xi
)
n
(x) x xi
i0
Newton插值
Nn (x) y[x0 ] y[x0, x1](x x0 ) y[x0, x1, x2 ](x x0 )(x x1) +L +y[x0, x1, x2,L , xn ](x x0 )(x x1)L (x xn )