数值计算方法复习提纲第一章数值计算中的误差分析12．了解误差 ( 绝对误差、相对误差 )3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。

1、误差的来源模型误差观测误差截断误差舍入误差2误差与有效数字绝对误差E（x）=x-x *绝对误差限x*x x*相对误差E r (x) ( x x* ) / x ( x x* ) / x*有效数字x*0.a1 a2 ....a n10 m若x x*110m n ，称x*有n位有效数字。

2有效数字与误差关系（ 1）m 一定时，有效数字n 越多，绝对误差限越小；（ 2）x*有 n 位有效数字，则相对误差限为E r (x)110 (n 1)。

2a1选择算法应遵循的原则1、选用数值稳定的算法，控制误差传播；例I n 11n xdxex eI 0 11I n1nI n1e△ x n n! △x02、简化计算步骤，减少运算次数；3、避免两个相近数相减，和接近零的数作分母；避免第二章线性方程组的数值解法1．了解 Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法；2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组；（Doolittle 分解； Crout分解； Cholesky分解；追赶法）3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi 迭代法与 Gauss-Seidel4．掌握向量与矩阵的范数及其性质, 迭代法的收敛性及其判定。

本章主要解决线性方程组求解问题，假设n 行 n 列线性方程组有唯一解，如何得到其解？a11x1a12x2...a1nxn b1a21x1a22x2...a2nxn b2...an1x1an 2x2...annxn b n两类方法，第一是直接解法，得到其精确解；第二是迭代解法，得到其近似解。

一、Gauss消去法1、顺序Ｇ auss 消去法记方程组为：a11(1) x1a12(1) x2... a1(1n) x n b1(1)a21(1) x1a22(1) x2... a2(1n) x n b2(1)...a n(11) x1a n(12) x2... a nn(1) x nb n(1)消元过程：经ｎ－１步消元，化为上三角方程组a11(1) x1b1(1)a 21(2) x1a22(2 ) x2b2( 2 )...a n(1n) x1a n(n2) x2...a nn(n ) x nb n( n )第ｋ步若a kk(k)0( k 1)( k)a ik(k )(k )( k 1)( k )a ik(k )( k)aij aij a kk(k )akj bi b i a kk(k )b k k 1,...n 1 i, j k 1,....,n回代过程：x n b n(n)/ a nn(n)nx i (b i(i )a ij(i ) x j ) / a ii(i)(i n 1, n 2,...1)j i 1２、Ｇ auss—Ｊｏｒｄａｎ消去法避免回代，消元时上下同时消元３、Ｇ auss 列主元消去法例：说明直接消元，出现错误0.00001x12x22x1x23由顺序Ｇ auss 消去法，得x21, x10 ；Ｇa uss 列主元消去法原理：每步消元前，选列主元，交换方程。

算法：将方程组用增广矩阵 A b aij n( n 1)表示。

（1）消元过程：对 k=1,2,n-1,选主元，找 i k{ k, k 1,, n} 使得a i k, k max a ikk i n如果a i k,k0，则矩阵 A 奇异，程序结束；否则执行3。

如果i k k，则交换第 k 行与第i k行对应的元素位置，a k j a k i , j j,k , n 1.消元，对 i=k+1,,n,计算lik a ik, 对j=L+1,,n+1,计算akka ij a ij l ik a kj（2）回代过程：1．若a nn0, 则矩阵A奇异，程序结束；否则执行。

2x nan,n 1a nn;对in 1,,2,1,计算nai , n1jaijxjx i i 1aii举例说明。

4、消元法应用（ 1）行列式计算；（ 2）矩阵求逆。

二、利用矩阵三角分解求解线性方程组1、求解原理线性方程组写成矩阵形式为： AX=b若 A=LU ，则 LUX= b ，记 UX=Y 则 LY= b若 L 、 U 为特殊矩阵，则求解线性方程组变为解两个特殊线性方程组问题。

2、 Doolittle 分解L 为下三角矩阵 , U 为上三角矩阵 ,不一定能分解 ,分解也不一定唯一 ; 设 L 或 U 是单位三角矩阵 , 若能分解 ,则可分解唯一 .L 是单位下三角矩阵 ,称为 Doolittle 分解 ; U 是单位上三角矩阵 ,称为 Crout 分解； 定理 : n 阶矩阵 A 有唯一分解的充要条件为A 的前 n-1 阶主子式都不为0.Doolittle 分解算法：a11a12...a1n1u 11u12...u1na21a22...a2n l211u22... u2 n ... ... ... ...... ... ...... ...an1an2...annln1ln2 (1)unn由矩阵乘法：naijl ikukjk 1得到：k 1ukjakjl krurjjk, k 1,...n;r 1k 1lik( a ikl iru rk) / ukkik, k 1,...nr 1算法特点：先计算 U 的行，再计算 L 的列，交替进行；存储时可用紧凑格式。

矩阵分解后，解两个三角方程组：LY= b ，UX=Yi 1 y 1 b 1y ib il ik yki2,3,...nk 1nx i( y iu ik x k ) / u iiin, n1, (1)k i 13、 Crout 分解若 L 为下三角矩阵， U 是单位上三角矩阵，则称 Crout 分解；算法特点：先计算L 的列，再计算U 的行，交替进行。

4、正定对称矩阵的平方根法（ Cholesky 分解）（1） 正定对称矩阵性质与判定：定义：是 n 阶对称矩阵，若对任意非零向量XR n ，有 X T AX0 ，则称 A 为正定对称矩阵；判定： A 为 n 阶正定对称矩阵充要条件A 的各阶顺序主子式大于 0。

（ 2） Cholesky 分解定理：设 A 为 n 阶正定对称矩阵，则存在唯一主对角线元素都是正数的下三角阵L ，使得A LL T .Cholesky 分解算法：a 11 a 12 ... a 1nl 11ll 11 l 12 ... l 1na 21 a 22 ... a 2nl 21l22l22... l 2n ... ... ... ...... ... ...... ...an1an2...ann ln1l n 2 ...lnnlnnj 1 1ljj(a jjk 1 l 2jk ) 2j 1l ij( a ijl ik l jk ) / l jjk 1j 1,2,...n;ij 1, j2,...n5、 追赶法三对角矩阵的特殊分解b 1c 1 1u 1 c 1a 2b 2c 2l 2 1u 2 C 2a 3b 3c 3....l 3 1... ...... ...u n 1cn-1a n 1bn 1cn 1l n1u na nb nu 1 b 1l i a i / u i 1i 2,3,...nu ib il i c i1三对角方程组的追赶法： 追的过程 LY=Dy 1d 1y id il iyi 1i2,3,...n赶的过程UX=Yx n y n / u nx i ( y i c i x i 1 ) / u ii n 1, n 2,....,1§ 2 线性方程组的迭代解法一、 Jacobi 迭代公式例：x 11 x2 122其解为 x 1 1, x 211 x 1 x 2122 方程变形得到迭代公式(k 1)1(k )1x 12 x 22给初值 X( 0)0 计算，观察解的变化。

( k 1)1(k )1x 22 x 1 2一般地，对线性方程组a 11 x1a 12x2...a 1n xn b 1 a 21 x 1 a 22 x 2... a 2n x n b 2...a n1 x 1 a n2 x 2 ... a nn x nb n若a ii0 ，则可从第 i 个方程中解出 x i ,得到 Jacobi 迭代公式：x 1( k1)(b 1 a 12 x 2(k) ... a 1n x n (k) ) / a 11... x i ( k 1)(b ia i1 x 1(k ) ....... a in x n (k ) ) / a ii...x n (k 1)(b n a n1x 1(k ) ... a nn x n (k 1) ) / a nn简记为：nx i( k 1)(b i a ij x j( k) ) / a ii i 1,2,..., nj1j i二、 Gauss--Seidel迭代公式i1nx i( k 1)(b i a ij x j( k 1)a ij x(j k) ) / a ii i 1,2,...,nj1j i 1三、 SOR迭代公式四、迭代公式的矩阵表示X (k 1)GX ( k )D§ 3迭代公式的收敛性一、向量与矩阵的范数与性质1、向量范数定义：向量X R n，对应非负实数X ，满足三条件：（1）非负性（2）齐次性X0,X 0, X0 kX k X（3）三角不等式X Y X Y 称 X 为向量范数2、常见向量范数1 范数X 1x1x2...x n2 范数X 2x12x22. . . x n2∞范数Xmaxnxi 1i3、矩阵范数定义：方阵A R n n，对应非负实数 A ，满足三条件：A 0,A0, A0（ 2）齐次性（ 3）三角不等式kAk A A BAB（4）绝对值不等式AB A B称 A 为矩阵范数；向量范数与矩阵范数相容性：AX A X4、常见矩阵范数n1 范数，列范数： A 1maxaij1 j ni 1n∞范数，行范数：Amaxaij1 in1j 2 范数，谱范数：nna ij 2F范数：A Fi 1 j1举例计算二、 迭代公式收敛性的判定1、 向量的极限2、 矩阵的谱半径：( A) maxii为特征值；1 i n3、收敛性的判定 收敛的充要条件：迭代公式X (k 1) GX ( k )D 收敛的充要条件为谱半径(G ) 1。

判定定理 1：若 G1, 则迭代公式 X (k 1)GX (k )D 收敛。

判定定理 2：若对方程 AX=b 的系数矩阵 A 为对角占优，则 Jacobi 迭代公式， Gauss--Seidel 迭代公式收敛；判定定理 3：若对方程 AX=b 的系数矩阵 A 为对称正定，则 Gauss--Seidel 迭代公式收敛；Jacobi 迭代公式收敛与 Gauss--Seidel 迭代公式收敛关系举例：第三章非线性方程的数值解法1．了解二分法的原理与算法；2．掌握一般迭代法的基本思想及其收敛性判定；3．掌握 Newton 切线法、弦截法，并用它们求方程近似根的方法。