工程硕士《数值分析》总复习题（2011年用）[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]一. 解答下列问题:1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ):a) 对 e = 2.718281828459045…,取*x = 2.71828b) 数学家祖冲之取 113355作为π的近似值.c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 位, 位, 位。

2) 简述下名词:a) 截断误差 (不超过60字) b) 舍入误差 (不超过60字)c) 算法数值稳定性 (不超过60字)3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3x 时的相对误差约等于x 的相对误差的3倍。

4) 计算球体积334r Vπ= 时,为使其相对误差不超过 0.3%,求半径r 的相对 误差的允许范围。

5） 计算下式3418)1(3)1(7)1(5)1(22345+-+---+---=x x x x x x P）（时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式?6) 递推公式 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==-,2,1,110210n y y y n n如果取*041.12y y =≈= ( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算到10y 时误差为初始误差的多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？二. 插值问题:1) 设函数)(x f 在五个互异节点 54321,,,,x x x x x 上对应的函数值为54321,,,,f f f f f ，根据定理，必存在唯一的次数 （A ） 的插值多项式)(x P ，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange 插值多项式 )(x L ,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数)(x l i = _（E ） ， 从而得Lagrange 插值多项式)(x L = （F ） ,而插值余项 )()()(x L x f x R -== （G ） 。

2 ) 试用三种方法求过三个离散点：A （0，1） 、B （1，2） 、C （2，3） 的插值多项式。

3） 求函数x e x f -=)( 在 [ 0 , 1 ]上的近似一次插值多项式。

4 ) 由函数值表: x : 1 2 3 x e - : 0.367879441 , 0.135335283 , 0.049787068求1.2-e的近似值.5) 利用插值方法推导 x i j i jx ni nij j =--∑∏=≠=][,0 三. 拟合问题:1) 对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是 ( A ) 和 ( B ) . 2) 对同一个量的多个近似值, 常取其算术平均作为该量的近似值, 这种做法的意义是什么? 3) 设有实验数据如下： x 1.36 1.73 1.95 2.28f14.094 16.844 18.475 20.963按最小二乘法求其拟合曲线。

4) 已知某试验过程中函数f 依赖于x 的试验数据如下：i x ： 1 2 3 4i f ： 0.8 1.5 1.8 2.0试按最小二乘法拟合出一个形如 2bx ax S += 的经验公式。

5 ) 设有实验数据如下： x 1 2 3 4f4 10 18 26按最小二乘法拟合出一个形如 2bx a S += 的经验公式 。

四. 数值求积:1) 写出数值求积公式的一般形式, 指出其特点, 并说明它对计算机的计算有什么意义?2) 简述数值求积公式的 ”代数精度” 的概念 3) 插值型求积公式()() nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰中,每个系数可用公式k A =( A ) 计算,它们之和∑=nk kA= ( B ) , 其代数精度 ( C ) .又Newton-Cotes 公式的一般形式为 ( D ) , 其主要特点是 ( E ) , 其 Cotes 系数之和∑=nk n kC)(= ( F ) , 其代数精度 ( G ) ;4) 考察数值求积公式⎰--++-≈11101)1()0()1()(f A f A f A dx x f ,直接指出: 它是什么类型的公式? 为使其精度尽可能高,101,,A A A -应取什么确值? 它是不是Gauss 型公式?5 ) 求dx xI⎰+=10311的近似值, 试写出使用11个等分点函数值的求积 公式( 要求只列出数值公式,不需要求出具体结果 )。

6 ) 利用复化Simpson 公式求积分 dx x I⎰=21的近似值（只需列出算式） 。

7) 利用现成函数表，分别用复化梯形公式n T 和复化Simpson 公式n S 计算积分ϕϕπd I ⎰-=62sin 4 ϕ ϕ2sin 4-0 2π 9981001.1362π 9924473.1 363π 9831825.1364π 9705386.1365π 9548386.1366π9364917.1五. 解线性代数方程组的直接法:1） Gauss 消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪几项？A ．提高计算速度；B ．提高计算精度；C ．简化计算公式；D ．提高计算公式的数值稳定性；E ．节省存储空间。

2） 采用“列主元Gauss 消去法” 解下列方程组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡565331743532321x x x a) 用 ”列主元Gauss 消去过程” 将方程组约化成上三角方程组; b) 用 ”回代过程” 依次列式计算出方程组的解。

3) 设方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---6745150710623321x x x 现采用“列主元Gauss 消去法”求解，试回答： a ） 所用列主元Gauss 消去法包括哪两个过程？b ） 要用几步消元？c ） 每一步消元计算之前需做哪些工作（用简短、准确的文字叙述）?d ） 现经第１步消元结果, 上述方程组已被约化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--251061321251017560710x x x 请你继续做消元计算, 直至约化成上三角方程组。

e ）对所得上三角方程组依次列式计算出方程组的解。

六. 解线性代数方程组的迭代法: 1) 解线性代数方程组 fx B x+= 的基本型迭代公式,1,0,)()1(=+=+k f x B xk k其中B 称为什么? )0(x又称为什么? 如果迭代序列{}）（k x 有极限*x（即迭代公式收敛），则极限*x 是什么？ 2） 设解线性代数方程组b Ax =（其中n n R A ⨯∈非奇异，0≠b ）的迭代公式为,1,0,)()()()1(=--=+k b Ax x xk k k λ则其迭代矩阵是什么? 此迭代公式对任意的初始向量)0(x 收敛的充分必要条件是什么？ 又此迭代公式对任意的初始向量)0(x 收敛的一个充分条件是什么？3) 设线性方程组⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡53411221x x ， 试构造解此方程组的Jacobi 迭代公式和GS 迭代公式； 试问所作的两种迭代公式是否收敛,为什么? 试用初值 T x )0,0()0(= 计算GS 迭代公式的前三个值.4 ) 设方程组⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--84195121x x 试构造解此方程组的收敛的Jacobi 迭代公式和收敛的Guass-Seidel 迭代公式, 并说明两者收敛的根据; 求出这两种迭代的迭代矩阵. 5) 设线性方程组3,,15.05.025.05.01,R b x a a A b Ax ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==请按便于计算的收敛充分条件, 求使J 法和GS 法均收敛的 a 的取值范围.七．一元方程求根: 1) 写出求方程013)(3=--=x x x f 在 [ 1，2 ]中的近似根的一个收敛的不动点迭代公式，并证明其收敛性。

2) 已知方程 )1(2ln>=-x x x 的有根区间 [ 3，4 ] .试写出求该方程在 [ 3 , 4 ] 中的根的一个不动点迭代公式; 证明所给出 的迭代公式是收敛的。

试设计其计算机算法. 3) 用Newton 迭代法求方程013)(3=--=x x x f 在20=x 附近的根,试写其Newton 迭代公式; 并说明其收敛情况。

4)的Newton 迭代公式，并说明其收敛情况。

八. 常微分方程初值问题:1） 常微分方程定解问题分为初值问题和 ( A ) 问题.初值问题是指由 （B ） 和（C ） 两部分联立起来构成的问题。

研究常微分方程初值问题时， 通常针对基本形式 （D ） 进行研究。

设函数)(x y 是某初值问题的解析解， 则该初值问题在n x 处的解为 ( E ) 而数值解(通常记)为 （F ） ,它们的关系是 ( G ) .若记)(1+n x y 是初值问题在点1+n x 处的解， 1+n y 是由某数值方法得出的1+n x 处的数值解，则该数值方法在1+n x 处的局部截断误差是指 （H ） .2） 设初值问题 ⎩⎨⎧=≤≤--='1)0(6.00,2y x y y x y试用Euler 方法取2.0=h ，求解上述初值问题的数值解。

3 ) 设初值问题 ⎩⎨⎧=≤≤-='2)1(21,38y x y y试用梯形方法求其解在两点 4.1,2.1=x 处的值)4.1(,)2.1(y y 的近似值。

4） 设初值问题 ⎩⎨⎧=<<++='1)0(10,122y x x y y试用改进的Euler 方法，并取1.0=h，设计一个求解上述初值问题数值解的求解方案 （或称计算机算法描述; 不必求出解的具体数值） 。

5 ) 设初值问题 ⎩⎨⎧=≤≤+='1)0(10),1/(3y x x y y试用4阶经典R-K 方法，并取1.0=h，设计一个求解上述初值问题数值解的求解方案 （或称计算机算法描述; 不必求出解的具体数值） 。

九、下列各小题任选其中已学过的小题作练习： 1） 设T x )3,2,0(=, 求，1x，2x,∞x；设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321A ，求1A，∞A，2A, )(A ρ。

2 ) 用较简捷的方法分别求下列的插值多项式)(x H 和)(x p ,并写出其余项公式:a) 1)1(,0)0()0(,1)1(=='=-=-H H H H b) 2)2(,0)1()1(,1)0(=='==p p p p3 ) 用插值方法求在0=x处与x cos 相切 ,在2π=x 处与x cos 相交的二次多项式)(2x p ,并推导插值余项的估计式为|2|61)(cos 22π-≤-x x x p x 4 ) 试用最小二乘法原理求下列超定方程组的近似解:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=+7262353114221212121x x x x x x x x5 ) 要计算函数dt e x y xt ⎰-=02)( 在x = 0.2, 0.4, 0.6 三处的近似值，试用解初值问题的数值方法,设计其计算方案 （要求采用二阶精度的计算公式）.6) 用追赶法解三对角方程组： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡022112111131124321x x x x 7) 对方程组⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==21,13.021,b A b Ax 拟用迭代法,1,0,)()()()1(=-+=+k b Ax x x k k k α求解, 试确定 α 的取值范围,使得上述迭代公式收敛.8) 对迭代函数2()(5)x x x ϕλ=+-，试求使迭代公式,1,0),(1==+k x x k k ϕ，局部收敛于5=*x 的λ的取值范围。