y? y0
y ? y0
或 f y ( x0, y0 ).
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(2)【二元函数在区域内的偏导数】
如果函数 z ? f ( x , y)在区域 D 内任一点
( x , y)处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数
就是 x 、 y的函数，它就称为函数 z ? f ( x , y)对
连续，
【例 7.12 】
? xy
设
f
(x, y)
?
? ?
x
2
?
y2
?? 0
(x, y) ? (0,0) (x, y) ? (0,0)
求 f (x, y)在(0,0)的偏导数与连续性的关系.
【解】当( x , y) ? (0,0)时, 按定义可知：
f x (0,0) ?
lim
?x? 0
f (? x ,0) ? ?x
.
x? x0
y? y0
y? y0
同理可定义 z ? f ( x , y)在点( x 0 , y0 )处对 y的偏导数为
lim f (x0 , y0 ? ? y) ? f ( x0 , y0 )，
?y? 0
?y
记为 ? z ， ? f
z ， y x ? x0
? y x? x0 ? y x ? x0
y? y0
如u = f (x , y , z ) 在(x , y , z ) 处
fx(x, y,z) ?
f (x ? ? x, y,z) ?
lim
?x? 0
?x
f (x, y,z),
f y (x, y, z) ?
lim
?y? 0
f (x, y ?
? y,z) ? ?y
f (x, y,z),
fz(x, y, z) ?
自变量 x 的偏导数，
记作
?z ?x
，
? ?
f x
，
z
x
或
f
x
(
x
,
y).
同理可以定义函数 z ? f ( x , y)对自变量 y的偏
导数，记作
?z ?y
，
?f ?y
，
z
y
或
f
y
(
x
,
y).
注意求偏导的方法！
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(3)【多元函数的偏导数】
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
?x
(2) 求 ?z 的方法：
?x ( x0 , y0 )
① 先求出偏导函数
? z ，再代值； ?x
② 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
［例如］ 设z ? f ( x , y) ? xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
［解］
f x (0,0)
?
lim
x? 0
| x ?0 | ? 0 ? 0? x
lim
? z? 0
f (x, y,z ? ? z) ? ?z
f (x, y,z).
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例1 . 求 z ? x2 ? 3xy ? y 2在点(1 , 2) 处的偏导数 .
解法 1
?z ?x
?
2x
?
3y
,
?
?z ? x (1, 2)
?z ?y
?
3x ?
2y
?z
? y (1, 2)
f y (0,0).
③ 先求z ? f ( x , y0)对x的导数，再代入 x ? x0.
如：设 f ( x , y) ? x ? ( y ? 1)arcsin
x y
,
求f
x
(
x
,1).
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(3). 【偏导数存在与连续的关系 】
一元函数中在某点可导
连续，
多元函数中在某点偏导数存在
f (x0 ? ? x, y0)?
f
(
x0
,
y0
)，若
lim
?x? 0
f (x0 ?
? x, y0) ? ?x
f (x0 , y0 ) 存在，则称
之为 z ? f ( x , y)在点( x0 , y0 )处对 x 的偏导数，记为
zx
x? x0 ，
y? y0
f x (x0,
y0
)，
?z ?x
或?f x? x0 ?x
【几何意义】
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偏导数 f x ( x 0 , y0 )就是曲面被平面 y ? y0所截的曲线
在点 M 0处的切线 M 0Tx 对 x 轴的斜率 tan ? .
偏导数 f y ( x 0 , y0 )就是曲面被平面 x ? x 0 所截得的
【思考题】 连续
偏导数存在 .
【结论】 可偏导
连续
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(4). 【偏导数的几何意义】 (复习:反函数求导法则的几何意义 ) 设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z ? f ( x , y) 上一点, 如图
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?
| y|
( x 2 ? y2 )3
( y ? 0) x
1
?????
?
x2 ?
y2 sgn
. y
?z 不存在．
?y x?0 y? 0
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? 例7.9 例7.10 例7.11
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2.【有关偏导数的几点说明】
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(1) 偏导数 ?u 是一个整体记号，不能拆分 ;
先求后代
解法 2
z y?2 ? x2 ? 6x ? 4
?z ? x (1, 2)
Hale Waihona Puke 先代后求再代z x?1 ? 1? 3y ? y2
?z ? y (1, 2)
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【例 2】 设z ? arcsin x ，求 ?z ，?z .
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x2 ? y2
?x ?y
【解】
?z ?
?x
1?
1 x2
x2 ? y2
?????
x x2 ?
y2
??? ? ?x
?
x2 ? y2 ?
| y|
y2 ( x 2 ? y2 )3
( y2 ? | y |) | y | ??????? x 2 ? y2 .
?z ? ?y
1?
1 x2
x2 ? y2
?????
x x2 ?
y
2
????
??
y
x 2 ? y2 (? xy )
f (0,0) ?
0 lim ?x? 0 ? x
?
0,
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f y (0,0) ?
lim
? y? 0
f (0,? y) ? ?y
f (0,0)
?
0 lim ? y? 0 ? y
?
0,
但函数在原点处并不连续 (令y=kx ,知极限不存在,故不连续).
偏导数存在 连续.
一、偏导数 二、全微分 三、高阶偏导数 四、小结 思考题
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一、偏导数
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1.【偏导数的定义】 (1)【二元函数在一点处的偏导数】
【定义】 设 z ? f ( x , y)在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内有定义，当
y 固 定 在 y0 而 x 在 x0 处 有 增 量 ? x 时 ， 相 应 地 函 数 有 增量