正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
?? ??
正 6 ? 2n? 1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,? , An ,?
S
说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正
3072边形得到圆周率 ? 的近似值为 3.1416
割圆术就是极限思想在几何上的应用
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微积分是一门以 变量为研究对象、以极限方法 作为研究工具的数学学科：
第二节
第一章
极限的概念与性质
一、数列的极限 二 、函数的极限 三 、函数的极限的性质
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引言
自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算 是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋 势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生 的客观基础。
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割圆术
的极限为 1.
证明 :
xn ? 1 ?
n ? (? 1)n ? 1 n
? ? ? 0 , 欲使
即
只要
n?
1
?
因此 , 取 N ? [ 1 ] , 则当 n ? N 时, 就有
?
n ? (? 1)n ? 1 ? ?
n
故
lim
n? ?
xn
?
lim
n? ?
n
?
(? 1)n n
?
1
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记作
lim
n? ?
xn
?
a.
或
xn ? a, (n ? ? )
极限存在的数列称为 收敛数列 。
极限不存在的数列称为 发散数列 。
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例如,
1 , 2 , 3 ,? 234
, n ,? n?1
xn
?
n n?
1
?
1
(n ?
?)
敛收
2,4,8, ?
xn
?
n?
(? 1)n?1 n
?
若 ? ? ? 0, ? ? ? 0,当 0 ? x ? x0 ? ? 时, 有 f (x) ? A ? ?
例2. 已知
证明
证: xn ? 0 ?
?
1 (n ? 1)2
?
1 n?1
? ? ? (0 , 1 ) , 欲使
只要 1 ? ? , 即 n ? 1 ? 1.
2
n?1
?
取 故
N
? [1 ?
?
lim
n? ?
xn
1]
?
, 则当 n ? N
lim
n? ?
(? 1)n (n ? 1)2
?
时,
0
说明: 1. N 与 ? 有关, 但不唯一.
? (a1 ? A ? a2 ? A ? ? ? aN1 ? A) ? (aN1?1 ? A ? ? an ? A) n
? | a1 ? A | ? | a2 ? A | ? ? ? | aN1 ? A | ? | aN1?1 ? A | ? ? ? | an ? A |
n
n
? M ? n ? N1 ?? ? ? ? ? ? ?.
(
a ? ? xN?1
)
xN?2 a ? ?
a ? ? ? xn ? a ? ?
(n ? N)
即 xn ? U ( a , ? )
(n ? N)
只有有限项 (至多N项)在邻域 U ( a , ? ) 之外。
ε 英文注音 epsilon 中文注音 伊普西龙
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例1. 已知
证明数列
,
取
N
?
? ??
1?
ln ?
ln q
? ??
,
则当
n
>
N
时,
就有
qn?1 ? 0 ? ?
故
lim qn?1 ? 0
n? ?
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例4.
若
lim
n? ?
an
?
A,
则lim a1 ?
n? ?
a2
?? n
? an ? A.
证明：由于
lim
n? ?
an
?
A,
故
??
?
0,
?
正整数
N1,
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? ? ?
1 2n
? ? ?
:
1 2
,
1 4
,
1 8
,?
,
1 2n
,?
xn 趋向于某个确定的数
? ? (?1)n : ? 1, 1, ? 1, 1,? , (?1)n,?
xn 不趋向于某个确定的数
y ... . . ...
O x
.. .
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定义：设数列{xn}, 如果通项 xn 当项数 n 无限增大时， 无限趋近于某个常数 a, 则称 a 为数列 {xn}的极限。
就有 xn ?
也可由
0 ? ?,
xn ? 0
?
1 (n?1)2
不一定取最小的 N .
取
N
?
?
1
?
?
1
?
2.
利用不等式的放缩故.也可取
N
?
[
1
?
]
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例3. 设 q ? 1, 证明等比数列
的极限为0 .
证: xn ? 0
欲使
只要
即
亦即 n ? 1 ? ln ? .
ln q
因此
1
(n ?
?)
, 2n ,? xn ? 2n ? ? (n ? ? )
散发
xn ? (? 1)n?1 趋势不定
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数学定义：若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列 的极限为 a , 记作
lim xn ? a
n? ?
或 xn ?
a (n ?
?)
几何解释 :
? ? ?
1 2n

? ? ?
:
1 2
,
1 4
,
1 8
,?
,
1 2n
,?
? ? ?
n
n ?
? 1??
:
1 2
,
2 3
,
3 4
,?
, n ,? n?1
? ? (?1)n : ? 1,1, ? 1, 1,? , (?1)n,?
?3n?: 3, 6, 9, ? , 3n,?
数列 {xn}可视为定义在自然数集上的函数： xn ? f (n), n ? 1,2,? .
n n 2 22
所以 lim a1 ? a2 ? ? ? an ? A.
n? ?
n
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第一章
二、函数的极限
自变量变化过程的六种形式 :
主要内容 : 1、自变量趋于有限值时函数的极限 2、左极限、右极限 3、自变量趋于无穷大时函数的极限
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1、自变量趋于有限值时函数的极限 定义1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 ,
当n
?
N1
时，an
?
A
?
? ,记
2
M?
a1 ? A ? a2 ? A ? ?
?
aN1
?
A , 易知 lim n? ?
M n
? 0.
M?
于是
? 正整数 N2 , 当 n ?
N2时， n
?
. 2
取 N ? max{N1, N2}, 则当 n ? N 时，有
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a1 ? a2 ? ? ? an ? A n
应用极限方法研究各类 变化率问题 和几何学中 曲线的切线问题 ，就产生了 微分学；
应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到 微小量无穷积累 的问题， 就产生了 积分学。
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一、数列极限的定义
按照一定规律排列的一列数 x1, x2,? , xn ,? 称为一个数列。xn 称为数列通项， 数列简记为 {xn}。