对函数极限概念的理解
函数极限概念，不易理解。

由于极限概念具有高度的抽象性，因此，令人很难快速正确理解和掌握极限数学语言的真正内涵，以致于学完了极限，极限的意识还很薄弱。

因此，要抓住理解的关键，我们体会，宜抓住以下三点：
（一）将“任意近处”的描绘性语言，转化为可进行量化比较的准确表达
考察数集X={x},若在点x0的任意近处包含有X中异于x0的x的值，则点x0称为这数集的聚点。

为着要更准确地表达这定义，我们引入点x0的邻域的概念：以点x0为中心的开区间（x0−δ，x0+δ）称为点x0的邻域。

下边我们将聚点做可进行量化比较的准确表达：若在点x0的任一邻域内包含X中异于x0的x的值，则x0是数集X的聚点。

关于“任一邻域”，δ=1cm算不算“任一邻域”？不算。

只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；δ=1mm算不算“任一邻域”？不算。

只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；δ=1nm算不算“任一邻域”？不算。

只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；……,点x0的邻域可以无穷小。

因此，“任一邻域”是一个无穷集。

对聚点x0本身来说，可以属于X，或不属于X。

也就是说x0在X上可以有定义或无定义。

x0在X上无定义时，它的邻域也存在，叫做空心领域。

（二）注意函数f(x)在x接近于x0时的性态。

设在区域X内给定函数f(x)，且x0是X的聚点。

这函数f(x)在x接近于x0时的性态是值得注意的。

相对于自变量x,通过法则f,得到f(x)，若出现了f(x)无限趋近于数A的性态，或者叫做f(x)与数A的差距无限小的性态，则可类似于x0的邻域δ，把ε看作A的邻域，
而把这种性态更准确地表达为：Ⅰf(x)- AⅠ<ε(ε是任一大于零的数)。

这个表达就具备了可
进行量化比较性。

（三）δ与ε的关系
从x与f(x)的关系看，前者为因，后者为果。

但是从x0的邻域δ与A的邻域ε的关系看，则是前者依赖后者，总是要先给定任一ε>0，而后求那个能保证ε成立的δ。

即δ的几何空
间受ε的几何空间的约束。

既然f(x)无限趋近于数A的性态，可更准确地表达为：Ⅰf(x)- A Ⅰ<ε(ε是任一大于零的数)，那么，使Ⅰf(x)- AⅠ<ε(ε是任一大于零的数)成立的δ应是什么样呢？也就是如何依赖Ⅰf(x)- AⅠ<ε求δ呢？具体过程如下：
将Ⅰf(x)- AⅠ变形：Ⅰf(x)- AⅠ=MⅠx-x0Ⅰ,其中M是一个与x无关的常量。

再取δ=ε
M ，则当0<Ⅰx-x0Ⅰ<δ时，有0<Ⅰx-x0Ⅰ<ε
M
，整理为0<MⅠx-x0Ⅰ<ε，从而推出
Ⅰf(x)- AⅠ=MⅠx-x0Ⅰ<ε,也就是当0<Ⅰx-x0Ⅰ<δ时，保证了Ⅰf(x)- AⅠ<ε。

结论若对于任一数ε>0能求出δ>0,只须Ⅰx-x
0Ⅰ<δ能使Ⅰf(x)- AⅠ<ε（式中的x取自X 内且异于x0）成立，则称当x趋向于x0时（或在x0）函数f(x)以数A为极限。

记成：lim x→
x0
f x=A。