几何定理证明1、重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形的重心。
先证明交于一点，如图一中线AD、BE交于G，延长CG交AB于F，即证明F为AB中点即可，延长GD至H使GD=DH，又BD=DC∴BDCG为平行四边形，∴BE∥CH，CF∥BH，又E为AC中点，EG为中位线，∴G为AH中点，又CF∥BH，∴FG为中位线，即F为AB中点，∴三条中线交于一点。
再证明2倍问题证明1：如图：△ABC的中线AD、BE交于G（重心），求证：AG＝2GD取CE的中点F，连接DF，则CE＝2EF＝AE ，∴DF是△BCE的中位线，∴GE∥DF ，AG／GD＝AE／EF＝2，∴AG＝2GD 。
证明2：面积法（三条中线将三角形分成6个面积相等的三角形）△ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。
∵D、E、F为中点∴S△CAD=S△CDB=S△ABE=S△ACE=S△ABF=S△BCF=S△ABC／2∴S△ADG=S△CEG=S△BEG同理S△BDG=S△BEG∴S△ABG=2S△BEG∴AG／GE=2即AG=2GE证明3：相似三角形△ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。
∴DF//BC，DF=BC/2 ①（中位线定理）。
∴△ADF∽△ABC, E为BC中点，∴H为DF中点（可证AH/AE=DH/BE=HF/EC, BE=EC, ∴DH=HF)∴HF=DF/2 , BE=BC/2，又可由①知HF=BE/2∴HF//BE.又∵∠BGE=∠FGH。
∴△BGE∽△FGH∴BG/GF=BE/HF=2。
∴BG=（2/3）BF2、外心定理：三角形的三条中垂线一定交于一点，称之为三角形的外心，之所以称之为三角形的外心，是因为它是三角形外接圆的圆心。
已知：如图8-21所示， PD、NE、MF是△ABC的3条边上的中垂线。
求证：PD、NE、MF交于一点O。
思路：先作两条边AB、AC上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线与AB交于P。
然后再证明D是BC的中点。
证明：作AB、BC边上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线与AB交于P。
∵ MF⊥AB于F，AF=FB；∴ OA=OB；∵ NE⊥AC于E，AE=EC；∴ OA=OC；∴ OB=OC；∵ OD⊥BC于D；∴ POD是BC边上的中垂线。
∴ NE、MF、PD交于一点O；即，三角形的三条中垂线交于一点。
结论：该证法采用直接证法，简单明了，其中运用了中垂线的性质定理和判定定理。
3、垂心定理：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
证明1：已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点H，连接CH并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAH=∠DAC ∠AEH=∠ADC∴ΔAEH∽ΔADC∴AE/AH=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔHAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此，垂心定理成立证明2：（利用外心定理来证明），如图过A、B、C分别做BC、AC、AB的平行线相交于A'、B'、C',∵AD⊥BC，B'C'//BC∴DA⊥B'C'∵B'C'//BC，A' C'//AC∴四边形BCA C'与四边形BCA B'为平行四边形∴AC'=A B' 即A为B'C'中点，又DA⊥B'C'∴DA为B'C'中垂线同理可证EB、CF为A' C'、A' B'中垂线∴AD、BE、CF交于一点（外心定理）4、内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
内心到三角形三边等距，即为三角形内切圆的圆心。
如图，已知：ΔABC中，AI、BI是∠A、∠B的角平分线，ID⊥BC，IE⊥AC,IF⊥AB，求证：∠ACI=∠BCI，IE=IF=ID证明：∵AI是∠A的角平分线、∴∠IAC=∠IAB∵IE⊥AC,IF⊥AB∴∠IEA=∠IFA=90°又IA=IA∴△AIE≌△AIF∴IE=IF同理可证IF=ID 即IE=IF=ID∵ID⊥BC，IE⊥AC∴∠IEC=∠IDC =90°又IC=IC ∴△CIE≌△CID ∴∠ECI=∠DCI即∠ACI=∠BCI5、旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
如图，已知OC、OB为ΔABC中∠C、∠B的外角平分线，连接OA，证明:∠OAC=∠OAB证明：作OD⊥AB、 OE⊥AC、OF⊥BC∵OC、OB 为∠BCE、∠CBD的平分线，OF⊥BC，OE⊥AC∴OE=OF ,同理OF=OD∴OE=OD，又OD⊥AB、 OE⊥AC，OA=OA∴ΔAEO≌ΔOAD∴∠OAC=∠OAB6、中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。
证明如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE平行于BC且等于BC/2方法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
∵CG∥AD∴∠A=∠ACG∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号）∴△ADE≌△CGE （A.S.A)∴AD=CG(全等三角形对应边相等)∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG又∵BD∥CG∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DG∥BC且DG=BC∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立.方法二：相似法：∵D是AB中点∴AD：AB=1：2∵E是AC中点∴AE：AC=1:2又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC∴AD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2∠ADE=∠B，∠AED=∠C∴BC=2DE,BC∥DE方法三：坐标法：设三角形三点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）则一条边长为：根号（x2-x1）^2+(y2-y1）^2另两边中点为（（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2）这两中点距离为：根号（（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）^2+((y2+y3）/2-(y1+y3）/2）^2最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半方法四：延长DE到点G，使EG=DE，连接CG∵点E是AC中点∴AE=CE∵AE=CE、∠AED=∠CEF、DE=GE∴△ADE≌△CGE (S.A.S)∴AD=CG、∠G=∠ADE∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG∵点D在边AB上∴DB∥CG∴BCGD是平行四边形∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立[2]方法五：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2[3]∴DE//BC且DE=BC/2中位线逆定理逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2证明：取AC中点E'，连接DE'，则有AD=BD，AE'=CE'∴DE'是三角形ABC的中位线∴DE'∥BC又∵DE∥BC∴DE和DE'重合（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）∴E是中点，DE=BC/27、角平分线定理及逆定理定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两条边的距离相等。
逆定理：在一个角的内部（包括顶点），到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
定理2：三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC注：定理2的逆命题也成立，证明过程见后文。
角平分线的定义∙角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
∙三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
∙PS：三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
四种证明法已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB/AC=MB/MC证明方法一：面积法S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM,∴S△ABM：S△ACM=AB:AC又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM∴AB/AC=MB/MC证明方法二：相似形过C作CN∥AB交AM的延长线于N则△ABM∽△NCM∴AB/NC=BM/CM又可证明∠CAN=∠ANC∴AC=CN∴AB/AC=MB/MC证明方法三：相似形过M作MN∥AB交AC于N则△ABC∽△NMC,∴AB/AC=MN/NC而在△ABC内，∵MN∥AB∴AN/NC=BM/MC又可证明∠CAM=∠AMN∴AN=MN∴AB/AC=AN/NC∴AB/AC=MB/MC证明方法四：正弦定理作三角形的外接圆，AM交圆于D(起标明交点作用，对证明无影响）由正弦定理，得，AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180°sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC,∴AB/AC=MB/MC。