圆的相关定理及其几何证明典题探究例1：如图，圆是的外接圆，过点C 作圆的切线交的延长线于点.若O ABC ∆O BA D ，，则线段的长是 ；圆的半径是.CD =2AB AC ==AD O 例2：如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E （E 在A ,O 之间），EF BC ^,垂足为F ．若6AB =，5CF CB ×=，则AE =例3：如图已知与圆相切于，半径，交于，若,PA O A OC OP ⊥AC PO B 1OC =，则 ， ．2OP =PA ==PB 例4：如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，O P O PA PBC 30BPA ∠=︒，, 则 ,圆的半径等于11BC =1PB =PA =O 演练方阵A 档（巩固专练）1．如图，已知直线PD 切⊙O 于点D ，直线PO 交⊙O 于点E,F.若，则⊙O的21PF PD =+=半径为；.EFD ∠=ABCOPDCBP AOCBA5．如图所示，以直角三角形的直角边为直径作⊙，交斜边于点，过点ABC AC O AB D 作⊙的切线，交边于点.则.D O BCE =BCBE6．如图，直线AM 与圆相切于点M, ABC 与ADE 是圆的两条割线，且BD ⊥AD ，连接MD 、EC 。

则下面结论中，错误的结论是()A ．∠ECA = 90oB ．∠CEM=∠DMA+∠DBAC ．AM 2 = AD·AED ．AD·DE = AB·BC7．如图，切圆O 于点,为圆O 的直径，交圆O 于点，为的中点，AB A AC BC D E CD 且则__________；__________.5,6,BD AC ==CD =AE =8．如图，切圆于点，割线经过圆心，，则 PC O C PAB O 4,8PC PB ==tan COP ∠=，△的面积是OBC 9．如图，为⊙的直径,切⊙于点,且过点的割线,交的延长线AB O AC O A C CMN AB 于点,若,，则 ，D CM MN ND ==AC =CM =AD =10．如图，是⊙O 上的四个点，过点B 的切线与的延长线交于点E .若,,,A B C D DC ，则( )110BCD ︒∠=DBE ∠=A. B. C. D. 75︒70︒60︒55︒AB CDMNOB 档（提升精练）1．如图，已知⊙O 的弦AB 交半径OC 于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD 的长为______2．如图,已知圆中两条弦与相交于点是延长线上一点,且AB CD E F ,AB ,若与圆相切,且,则BF AF CF DF 22===CE 27=CE=BE A3．如图，是半圆的直径，在的延长线上，与半圆相切于点，AB O P AB PD O C ．若，，则______.AD PD ⊥4PC =2PB =CD =4．如图，是⊙的直径，直线切⊙于点，且与延长线交于点，若AB O DE OD AB C ，则=CD =1CB =ADE ∠5．如图，为⊙的AC O 直径，，弦交于OBAC ⊥BN AC 点．若，M OC =，则_______1OM =MN=ABCOMN6．如图，是圆的切线，切点为，交圆于两点，，PA O A PO O ,BC 1PA PB ==则=( )ABC ∠ABCD 70︒60︒45︒30︒7．如图所示，Rt △ABC 内接于圆，，PA 是圆的切线，A 为切点， PB 交AC60ABC ∠=o于E ，交圆于D ．若PA =AE ，PDBD =AP = ，AC =ED P CBA8. 如图，以的边为直径的半圆交于点，交于点，于点ABC ∆AB AC D BC E EF AB ^，，，那么= ，=.F 3AF BF =22BE EC ==CDE ÐCD 9．如图，已知圆中两条弦与相交于点，与圆相切交延长线上于点，AB CD F CE AB E 若，，则线段的长为DF CF ==::4:2:1AF FB BE =CE FEDC BA10. 如图，直线PC 与e O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ， 弦CD ⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =，则CE =C 档（跨越导练）1. 如图，△是⊙的内接三角形，是⊙的切线，交于点，交⊙ABC O PA O PB AC E 于点．若，，，，则O D PA PE =60ABC ︒∠=1PD =9PB =_____；_____PA =EC =2.如图，的直径与弦交于点，，则O e AB CD P 7, 5, 15CP PD AP ===＝___ DCB Ð___B3.如图，是圆的直径，于，且，为的中点，连接AB O CD AB ⊥D 2AD BD =E AD CE并延长交圆于．若_______， _________O F CD =AB =EF =4. 如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，AP 交圆于D ，若AB =2，AC =1，则PC =______，PD =______5.是圆O 的直径，为圆O 上一点，过作圆O 的切线交延长线于点，若AB D D AB C =， ，则DC 222=BC =∠DCAsin AB6.如图，已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为22，3AB =，则切线AD 的长为7. 如图，是半径为的圆的直径，点 在的延长线上，是圆的切线，BC 2O P BC PA O 点在直径上的射影是的中点，则=；A BC OC ABP ∠PB PC ⋅=8. 如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，O P O PA PBC PA =4PC =圆心到，则圆的半径为_____O BC O 9. 如图，是圆的直径，在的延长线上，切圆于点.已知圆半径为AB O P AB PD O C O，则______；的大小为______2OP =PC =ACD ∠10. 如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ，D 是与⊙O 的交点.若CE ，则______；若，，则.︒=∠70BAC =∠CBE 2=BE 4=CE =CD典题探究例1：答案： 1，2解析：已知，，由圆幂定理得，CD =2AB AC ==2CD DA DB =⨯，所以，可以求出，而，取DB DA AB =+2CD ()DA DA AB =⨯+1AD =CD AD ⊥的中点E ，连接OC 和OE ，则半径.AB R=OC=2例2：答案：1解析：三角形CEF 与三角形CBE 相似，对应边成比例，所以，即CF CECE CB=，所以，而，所以，所2CE CB CF =⨯CE =1OC=32AB =O 2E ==以.1AE =例3：答案：PA PB == 解析：延长PO 与圆O 分别交于点D 和点E ，则，1PD OP OD =-=，由圆幂定理得，所以A 点作3PE PD DE =+=23PA PD PE =⨯=PA =交OP 于点F ，则，所以.AF OP ⊥1OF=231PB=+22例4：答案：R=7解析：由圆幂定理得，所以，设AO 与PC 交于点2PA =PB PC=12⨯D ，延长AO 交圆于E ，则，所以，，所以AD DE=BD DC ⨯⨯2DE=24DE=12，.2R=2+12R=7演练方阵A 档（巩固专练）1：答案：EFD=15∠。

解析：由圆幂定理得，，2PD =PE PF ⨯1=PE ⨯，，所以，所以OP=2PD=，1，POD=30∠o 1EFD=POD=152∠∠。

2：答案：45解析: 由圆幂定理得，所以，所以2AP =PB PD=PB(PB+BD)⨯275(5)BD =⨯+245BD =3：答案：D 解析:由圆幂定理得，所以22()(2)3PC PA PA AB PA PA PA PA =+=+=，所以D 选项错误PC =4：答案：半径7.5,5R BP ==解析: .所以，由三角形相似得，6,10,CD CP ==8DP ==CD OCDP CP=所以，所以，由圆幂定理得，所以6810OC =3107.54R OC ==⨯=2PC BP AP =⨯，所以100(15)BP BP =+5BP =5：答案：12解析：连接CD ，AC 是圆的直径，所以，BC 经过半径OC 的端点C ，而O CD AB ⊥且，所以是圆的切线，而DE 是圆O 的切线，所以EC=ED ，所以BC AC ⊥BC O ，所以12BE CE BC ==12BE BC =6：答案：D解析：因为四边形BDEC 是圆的内接四边形，所以，因为180BDE BCE ∠+∠=。

，所以，A 正确；直线AM 与圆相切，由弦切角定理得=90BDE ∠。

C =90B E ∠。

，而，所以AMD=MED ∠∠ABD=CED ∠∠，所以B 正确；由圆幂定理得CEM=MED+CED=DMA+DBA ∠∠∠∠∠，所以选项C 正确2AM AD AE =⨯7：答案：4,CD AE ==解析：设，则根据圆幂定理得，而，CD x =2AB BD BC =⨯22(5)36AB CD =+-所以，所以，所以，而2(5)365(5)CD CD +-=⨯+25360CD CD +-=4CD =AE =AE =8：答案：418tan ,35OBC COP S ∠==V 解析：由圆幂定理得，所以，所以，所以半径2PC PA PB =⨯168PA =2PA =，所以正切值，所以三角形OBC 的面积3,R =3,OC =5OP =4tan 3COP ∠=118sin 25OBC S OB OC COP ∆=⨯⨯⨯∠=9：答案：CM=2， 解析：由圆幂定理得，所以，所以，2AC =CM CN=CM 2CM ⨯⨯28=2CM CM=2而10：答案：B解析:因为ABCD 四点共圆，所以，而，所以A+BCD=180∠∠。

BCD=110∠。

，又因为BE 与圆相切于点B ，所以，所以选项B 是正确的。

A=70∠。

DBE=A=70∠∠。

B 档（提升精练）1：答案：CD=2解析：延长CD 交圆于点E ，由相交弦定理得，所以AD DB=CD DE ⨯⨯，求出，因为CD 是小于4的，所以43=CD(8-CD)⨯CD=26或CD=22：答案： 1BE=2解析:由相交弦定理得，所以，所以，所以BF AF=DF FC ⨯⨯22BF =2BF=1，而，所以，所以AF=22CE =BE EA ⨯7=BE (3)4BE ⨯+1BE=23：答案：12CD=5解析：设半径为R ，连接OC ，则由圆幂定理得，已知，2PC =PB PA ⨯PC=4,PB=2而且，所以，所以，而，所以，OC PD ⊥24=2(2+2R)R=3PC PO CD OA =453CD =125CD =4：答案：60ADE ∠=。