排队论习题
1、某大学图书馆的一个借书柜台的顾客流服从泊松流，平均每小时50人，为顾客服
务的时间服从负指数分布，平均每小时可服务80人，求：
（1）顾客来借书不必等待的概率3/8
（2）柜台前平均顾客数5/3
（3）顾客在柜台前平均逗留时间1/30
（4）顾客在柜台前平均等待时间1/80
2、一个新开张的理发店准备雇佣一名理发师，有两名理发师应聘。
由于水平不同，理发师甲平均每小时可服务3人，雇佣理发师甲的工资为每小时14元，理发师乙平均每小时可服务4人，雇佣理发师乙的工资为每小时20元，假设两名理发师的服务时间都服从负指数分布，另外假设顾客到达服从泊松分布，平均每小时2人。
问：假设来此理发店理发的顾客等候一小时的成本为30元，请进行经济分析，选出一位使排队系统更为经济的理发师。
3、一个小型的平价自选商场只有一个收款出口，假设到达收款出口的顾客流为泊松流，平均每小时为30人，收款员的服务时间服从负指数分布，平均每小时可服务40人。
（1）计算这个排队系统的数量指标P0、L q、L s、W q、W s。
（2）顾客对这个系统抱怨花费的时间太多，商店为了改进服务准备队以下两个方案进行选择。
1）在收款出口，除了收款员外还专雇一名装包员，这样可使每小时的服务率从40人提高到60人。
2）增加一个出口，使排队系统变成M/M/2系统，每个收款出口的服务率仍为40人。
对这两个排队系统进行评价，并作出选择。
4、汽车按泊松分布到达某高速公路收费口，平均90辆/小时。
每辆车通过收费口平均需时间35秒，服从负指数分布。
司机抱怨等待时间太长，管理部门拟采用自动收款装
置使收费时间缩短到30秒，但条件是原收费口平均等待车辆超过6辆，且新装置的利用率不低于75%时才使用，问上述条件下新装置能否被采用。
5、有一台电话的共用电话亭打电话的顾客服从λ=6个/小时的泊松分布，平均每人打电话时间为3分钟，服从负指数分布。
试求：
（1）到达者在开始打电话前需等待10分钟以上的概率
（2）顾客从到达时算起到打完电话离去超过10分钟的概率
（3）管理部门决定当打电话顾客平均等待时间超过3分钟时，将安装第二台电话，问当λ值为多大时需安装第二台。
6、某无线电修理商店保证每件送到的电器在1小时内修完取货，如超过1小时分文不收。
已知该商店每修一件平均收费10元，其成本平均每件5.5元，即每修一件平均赢利4.5元。
已知送来修理的电器按泊松分布到达，平均6件/小时，每维修一件的时间平均为7.5分钟，服从负指数分布。
试问：
（1）该商店在此条件下能否赢利
（2）当每小时送达的电器为多少件时该商店的经营处于盈亏平衡点。
7、顾客按泊松分布到达只有一名理发员的理发店，平均10人/小时。
理发店对每名顾客的服务时间服从负指数分布，平均为5分钟。
理发店内包括理发椅共有三个座位，当顾客到达无座位时，就依次站着等待。
试求：
（1）顾客到达时有座位的概率
（2）到达的顾客需站着等待的概率
（3）顾客从进入理发店到离去超过2分钟的概率
（4）理发店内应有多少座位，才能保证80%顾客在到达时就有座位。
8、某医院门前有一出租车停车场，因场地限制，只能同时停放5辆出租车。
当停满5辆后，后来的车就自动离去。
从医院出来的病人在有车时就租车乘坐，停车场无车时就向附近出租汽车站要车。
设出租汽车到达医院门口按λ=8辆/小时的泊松分布，从医院依次出来的病人的间隔时间为负指数分布，平均间隔时间6分钟。
又设每辆车每次只载一名病人，并且汽车到达先后次序排列。
试求：
（1）出租汽车开到医院门口时停车场有空闲停车场地的概率
（2）汽车进入停车场到离开医院的平均停留时间
（3）从医院出来的病人在医院门口要到出租车的概率。
9、一个汽车冲洗服务站，只有一套冲洗设备，假设要冲洗的汽车到达服从泊松分布，平均每12分钟一辆，但不清楚这个系统的服务时间服从什么分布。
从统计分析知道冲洗一辆汽车平均需要花费5分钟，服务时间的均方差为2分钟。
求该排队系统的数量指标P0、L q、L s、W q、W s、P w。
如果冲洗一辆汽车的时间是一定的，都为5分钟，求出上述数量指标。
10、某街道口有一电话亭，在步行距离为4分钟的拐弯处有另一电话亭。
已知每次电话的通话时间为1/μ=3分钟的负指数分布。
又已知到达这两个电话亭的顾客流均为λ=10个/小时的泊松流。
假设有名顾客去其中一个电话亭打电话，到达时正好有人通话，并且还有一个人在等候。
问该顾客应在原地等候，还是转去另一个电话亭打电话。
11、设有一名工人负责照管6台自动机床。
当机床需要加料、发生故障或刀具磨损时就自动停车，等待工人照管。
设平均每台机床两次停车的间隔时间为1小时，又设每台机床停车时需要工人平均照管的时间为0.1小时。
以上两项时间均服从负指数分布。
求:
(1)修理工空闲的概率
(2)六台机器都出故障的概率
(3)出故障的平均台数
(4)等待修理的平均分配台数
(5)平均停工时间
(6)平均等待修理时间
(7)评价这些结果。