y ( n2) ( f ( x)dx C1 )dx C2 y (( ( f ( x)dx C1 )dx C2 )dx )dx Cn
2.3.2 y" = f (x,y') 型
解法：
因变量换元： p y，降阶为 p f ( x, p)。 若得解 p ( x; C1 ),

dz 1 n p x y1n 1 n q x （积分因子公式法） dx
2.2
一阶微分方程的应用举例
例 1 细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在 24h 内由 100 增长为 400、那么前 12h 后总数是多少? 分析：
dy y dt ky y (0) 100 y (24) 400
若 一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。 解
dy p x y 0 的通解如下：可分离变量的一阶微分方程 dx
p x dx dy 1 p x y 0 dy p x dx ln y p x dx c1 y c2e dx y
例 2：解方程 y 2 x 2
2 2
dy dy xy dx dx
2
dy dy du y dy y dy du u2 y x xy xu u xu dx dx dx x dx x dx dx

du 1 1 1 1 x u 1 u 1 du dx 1 du dx u ln u ln x c1 dx x x u u
p
dy dp dp ( y; C1 ), , 原方程降阶为 p f ( y, p) 若得其解为 p ( y; C1 ), 则 dx dy dy
原方程通解为
( y;
dy C1 )
x C2 .
2.4 二阶线性微分方程解的结构
d2y dy p x q x y f x 2 dx dx d2y dy p x q x y 0 （方程一）称为：二阶线性齐次微分方程。 2 dx dx d2y dy p x q x y f x （方程二）称为：二阶非齐次微分方程 2 dx dx
关键词 ：微分方程 降阶法
变量代换法 齐次型 一阶线性
英文题目：
The solution of ordinary differential equations and its application （Common solution and examples ）
Abstract: Ordinary differential equation is an important part of calculus,
ln 4 ln 2 24 12
Ce
kt
C 100 , k
y (t ) 100e
ln 4 t 24
100 2
t 12
y(12) 200
例 2。 。某人的食量是 2500 cal／天，其中 1200 cal 用于基本的新陈代 谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的大约是 16 cal/kg/天，乘 以他的体重(kg)。假设以脂肪形式贮藏的热量 100%的有效，而 1kg 脂肪含热量 10,000 cal。求出这人的体重是怎样随时间变化的。
2 、研究问题及成果 2.1 一阶微分方程
2.1.1 变量可分离的微分方程
dy f ( x) ( y ) 的方程，称为变量分离方程， f ( x) ， ( y) 分别是 x ， y 的连续函数. dx
形如
这是一类最简单的一阶函数．如果 ( y) 0 ，我们可将(1 )改写成
dy f ( x)dx ，这 ( y)
样变量就分离开来了.两边积分，得到
dy f ( x)dx c ， ( y)
c 为任意常数．由该式所确定的函数关系式 y y( x, c) 就是常微分方程的解．
例 1：求解
dy 2 xy 的通解。 dx
解：
2 2 1 1 2 dy 2 xdx → dy 2 xdx → ln y x c1 →通解： y e x c1 ce x y y
2.1.4 伯努利方程
形如：
dy p x y q x yn dx dy 当 n 0 时， p x y q x 一阶线性微分方程（公式法） dx dy dy 当 n 1 时， p x y q x y q x p x y 可分离变量微分方程 dx dx
e
p x dx
y q x e
p x dx
p x dx p x dx q x e dx c dx c y e

p x dx p x dx p x dx dy p x y q x （ q x 0 ）的通解为： y ce e q x e dx dx
华 北 水 利 水 电 大 学
常微分方程的解法及应用 （常见解法及举实例）
课 专 成
程 名 称： 业 班 级： 员 组 成：
高等数学（2）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
联
系 方 式：
2012年 05 月 25 日
摘要
常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究 中。求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶 的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。 本文就是对 不同类型的常微分方程的解法的系统总结：先对常微分方程 定义及一般解法做简单阐述，然后应用变量替换法解齐次性微分方 程，降阶法求高阶微分方程，讨论特殊的二阶微分方程，并且用具体 的实例分析常微分方程的应用。
p x dx dy p x y q x 的一个特解如下 （齐次方程通解）采用积分因子法求 y ce dx
p x dx dy dy p x dx e p x dx y q x e p x dx p x y q x e p x y q x e dx dx
定理 2
形如：
若 f x 0 时，
若 f x 0 时，
2.4.1
二阶线性齐次微分方程解的结构
定 理 1 : 如 果 函 数 y1 ( x) 与 y2 ( x) 是 方 程 (5.2) 的 两 个 解 , 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
也是（方程一)的解，其中 C1 , C2 是任意常数.
Key words: Differential equations、 Reduced-order method、 Variable substitution method 、 Homogeneous、First order linear
1、 引言
微积分学研究的对象是变量之间的函数关系，但在许多实际问题中， 往往不能直接找到反映某个变化过程的函数关系， 而是根据具体的问 题和所给的条件，建立一个含有未知函数或微分的关系式。这样的关 系式，我们称其为微分方程。再通过积分等方法，从微分方程中确定 出所求的未知函数，即求解微分方程 。这就是本文要讨论的问题。
y
ln ux u c1 ux c2eu y ux, y c2e x ln y
y c x
2.1.3 一阶线性微分方程
dy p x y 0 ，称为一阶齐次线性微分方程。 dx dy 若 ，称为一阶非齐次线性微分方程。 p x y q x （ q x 0 ） dx
则 y( x; C1 , C2 ) ( x; C1 )dx C2
则 y ( x; C1 ),
2.3.3
y" = f (y,y') 型
解法：
做因变量及自变量换元： 新因变量 p
dy d dy dp dy , 新自变量 y, 则 y ( ) dx dx dx dy dx
widely used in specific problems in the study. Solving differential problem, often through the variable separation, both sides integral, if is high level, through the appropriate variable substitution, achieve the purpose of the reduced order to solve the problem. This article is to different types of ordinary differential equation of the solution system conclusion: first definition of ordinary differential equation and the general solution do simple paper, then apply variable substitution method of homogeneous solution of differential equation, and the reduced order method for high order ordinary differential equation, discussion special second order differential equations, and use a specific example analysis of the application of ordinary differential equations.