2016浙江精彩题选——解析几何解答题1.（2016名校联盟第一次）19．（本题满分15分）已知椭圆C ：22ax ＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2，离心率为e .直线l :y =ex +a 与x 轴、y 轴分别交于点A ,B 两点，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设.（Ⅰ）若l =34，求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）若D PF 1F 2为等腰三角形，求l 的值.2.（2016温州一模19）．（本题满分15分）如图，已知椭圆C：22221(0) x ya ba b+=>>经过点，且离心率等于2．点,A B分别为椭圆C的左、右顶点，NM,是椭圆C上非顶点的两点，且OMN∆的面积等于2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A作OMAP//交椭圆C于点P，求证：ONBP//．解：（Ⅰ）由题意得：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+====+222222221)26(1cbaaceba，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==2422ba故椭圆C的方程为：12422=+yx……………………………………5分（Ⅱ）解法一：如图所示，设直线OM,ON的方程为OMy k x=，ONy k x=联立方程组22142OMy k xx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得M,同理可得(N,……………………………………7分作'MM x⊥轴, 'NN x⊥轴,','M N是垂足,OMNS∆=''''OMM ONNMM N NS S S∆∆--梯形1[()()]2M N M N M M N Ny y x x x y x y=+--+1()2M N N Mx y x y=-12==9分已知OMNS∆2=，化简可得21-=ONOMkk.……………………………………11分设(,)P PP x y,则2242P Px y-=，又已知AP OM k k =,所以要证BP ON k k =,只要证明12AP BP k k =-……………………13分 而2212242P P P AP BP P P P y y y k k x x x ===-+--所以可得ON BP //…………………………………………………………………………15分 （,M N 在y 轴同侧同理可得）解法二：设直线AP 的方程为)2(+=x k y OM ，代入4222=+y x得0488)12(2222=-+++OM OM OM k x k x k ，它的两个根为2-和P x可得124222+-=OM OMp k k x 1242+=OM OM P k k y ……………………………………7分 从而OM OM OMOM OMBPk k k k k k 2121242124222-=-+-+= 所以只需证ON OM k k =-21 即21-=ON OM k k …………………………………9分 设),(11y x M ，),(22y x N ，若直线MN 的斜率不存在，易得221±==x x 从而可得21-=ON OM k k …………………………………10分若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为m kx y +=， 代入12422=+y x 得0424)12(222=-+++m kmx x k则124221+-=+k km x x ，12422221+-=k m x x ，0)24(822>-+=∆m k ………11分212)24(8||21||||2122221=+-+⋅=-⋅=∆k m k m x x m S OMN化得0)12()24(22224=+++-k m k m ，得1222+=k m (13)分214)12(2412424)(222222************-=-+-+=--=+++==⋅k k k m k m x x m x x km x x k x x y y k k ONOM (15)分3.(2016嵊州期末)（本小题满分15分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，直线l ：10x y +-=与C 相交于A ，B两点．（Ⅰ）证明：线段AB 的中点为定点，并求出该定点坐标；（Ⅱ）设()1,0M ，MA BM λ=，当a ∈⎝时，求实数λ的取值范围． 解：（Ⅰ），得223a b =． ………………2分设()()1122,,,A x y B x y ，联立22233010x y b x y ⎧+-=⎨+-=⎩，，消去y 得()2246310x x b -+-=故1232x x +=，()212314b x x -=， ………………4分所以12324x x +=，121211224y y x x ++=-=． 故线段AB 的中点为定点3144⎛⎫⎪⎝⎭，． ………………6分（Ⅱ）()1,0M ，MA BM λ=，得()1211x x λ-=-． ………………8分结合1232x x +=解得2121x λλ-=-，122(1)x λλ-=-． 由()212314b x x -=得211231b λλ+=+-．………………10分因为a ∈⎝，故27,112b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ………………12分 从而2115102,3123b λλ⎛⎫+=+∈ ⎪-⎝⎭．………………13分解得()11,2,332λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．………………15分法二：本题在运算时用12y y λ=-再利用y 的韦达定理算出λ的式子，用21212()y y y y +来算要好算一点.4.（2016嘉兴一模）．（本题满分15分）过离心率为22的椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的右焦点)0,1(F 作直线l 与椭圆C 交于不同的两点B A 、，设||||FB FA λ=，)0,2(T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若21≤≤λ，求ABT ∆中AB 边上中线长的取值范围． 解：（Ⅰ）∵22=e ，1=c ，∴1,2==c a 即椭圆C 的方程为：1222=+y x . …7分（Ⅱ）（1）当直线的斜率为0时，显然不成立.（2）设直线1:+=my x l ，设),(11y x A ，),(22y x B 联立01222=-+y x 得012)2(22=-++my y m 得22221+-=+m m y y ，21221+-=m y y ，由||||FB FA λ=，得21y y λ-=∵12211y y y y +=-+-λλ，∴24)(212221221+-=+=+-+-m m y y y y λλ ∴722≤m 又∵AB 边上的中线长为221221)()4(21||21y y x x TB TA ++-+=+→→2224)2(494+++=m m m427)2(2222++-+=m m ]16213,1[∈ …8分 5.（2016浙江六校联考19）如图，椭圆1C ：22221(0)x y a b a b+=>>和圆2C ：222x y b +=，已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分，且圆2C 的面积为π.椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A ，B ，直线EA ，EB 与椭圆1C 的另一个交点分别是点P ，M ． （I ）求椭圆C 1的方程；（II ）求△EPM 面积最大时直线l 的方程．19. 解：（1）由题意得：1b =，则3a b = （2）由题意得：直线,PE ME 的斜率存在且不为0，PE EM ⊥，x不妨设直线PE 的斜率为(0)k k >，则:1PE y kx =-由：22119y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：22218919191k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或01x y =⎧⎨=-⎩所以：2221891:(,)9191k k P k k -++ 同理得:222189:(,)99k k M k k --++ 2110PMk k k-= ………………8分 由2211y kx x y =-⎧⎨+=⎩，得：22221:(,)11k k A k k -++， 所以：212AB k k k -=所以：342221162()1162()929829982EPM k k k k S PE EM k k k k ∆++=⋅==++++ ………………12分 设1t k k =+， 则2162162276496489EPM t S t t t∆==≤++ ……13分 当且仅当183t k k =+=时取等号，所以1k k -=则直线2111:()22k AB y x k x k k-==- 所以所求直线l方程为：y x = ………………15分特别提醒：6.（2016丽水一模19）（15分）已知椭圆E ：13422=+y x 的左、右顶点分别为B A ,，N M ,是椭圆E 上异于B A ,的两点，直线BN AM ,交于点)4(t P ,． （Ⅰ）若直线MN 与x 轴垂直，求实数t（Ⅱ）记PAB PMN ∆∆,的面积分别是)()(21t S t S ,，求)()(21t S t S 的最小值．解．(Ⅰ)设),(),,(0000y x N y x M -，直线AM 的方程为)2(200++=x x y y直线BN 的方程为)2(20--=x x y y联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=++=)2(2)2(20000x x y y x x y y 得：)24(000x y x P ,44=∴x 解得：23,100±==y x代入直线AM 可得3±=t ……………………………………（6分）(Ⅱ)直线AM 的方程为()26+=x ty ，代入椭圆的方程并整理得：()()010*********=-+++t x t x t解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-2718,27254222t t t t M直线NB 的方程为()22-=x ty ，代入椭圆的方程并整理得： ()()0124432222=-+-+t x t x t解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-36,362222t t t t N所以22N P1M P 2A P B P 18t 6tt t PM PN y y S (t)y y t 27t 3S (t)PA PB y y y y t t---⋅--++==⋅=⋅⋅---- 392792222++⋅++=t t t t 19112911081222+++⎪⎭⎫⎝⎛+-=t t当181912=+t ，即3±=t 时，12min S (t)3S (t)4⎛⎫= ⎪⎝⎭ …………………（15分） 7.（2016台州一模19）（本小题满分15分）如图,已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的上顶点为(0,1)A ,（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点A 作圆()2221:r y x M =++()10<<r 的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时,试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.解：（Ⅰ） 由已知可得,2221,,2,12,b ca b aa b c =⎧⎪⎪=⇒==⎨⎪⎪=+⎩,所求椭圆的方程为2214x y += ---------------------------5分 （Ⅱ）设切线方程为1y kx =+，则2|1|1k r k-=+，即222(1)210r k k r --+-=， 设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以121k k ⋅=； ------------------------------------8分由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(14)80k x kx ++=，所以211112211814,1414k k x y k k --==++， 同理可得：222121222222212188144,144144k k k k x y k k k k ----====++++，-----------------12分 所以221122211111122114144141883414BDk k k k k k k k k k k ---+++==----++， 于是直线BD 方程为22111221111418()14314k k k y x k k k -+--=--++， 令0x =，得2221111222111114185205143143(14)3k k k k y k k k k -+---=+⨯==-+++，故直线BD 过定点5(0,)3-. ----------------------------15分 分析：本题应直接设BD 的方程，其本质是求BD 的定点只需:BD l y kx m =+中的k 、m 两个字母变一个字母，就可求出定点，而两条切线就是一个AB k 与AD k 的一个等量关系.题目所提供的方法麻烦了.8.（2016十二校联考19）（本小题满分15分）已知椭圆221:143x y C +=，抛物线2:C 24y x =，过抛物线2C 上一点P (异于原点O )作切线l 交椭圆1C 于（I ）求切线l 在x 轴上的截距的取值范围；（II ）求AOB ∆面积的最大值． 分析：(1)设),4(2t t P ，则切线方程为22tx t y +=与椭圆联立得 0128)163(222=-+++t x x t0)12646414412(6422>⨯-+--=∆t t ，1602<<t ∴x 轴上的截距)0,4(42-∈-t(2)O 到直线AB 的距离为||t d = ||AB ===AOB S ∆∴===第19题图令22163t m t =+，则AOB S ∆==≤当222163t m t==+时，此时取到最大值. 9.（2016桐乡一模 19）. （本题满分15分）已知椭圆1922=+y x ，过)1,0(A 作互相垂直的两直线AC AB ,与椭圆交于C B ,两点. （Ⅰ）若直线BC 经过点)54,58(,求线段BC 的长；（Ⅱ）求ABC ∆ 面积的最大值.解：（Ⅰ）不妨设直线AB : )0(1>+=k kx y ，则AC 的方程为11+-=x ky . 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=19122y x kx y 得：018)91(22=++kx x k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-∴2229191,9118k k k k B ， 同理k 用k 1-代入得，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+99,918222k k k k C k k k k k kk k k k k BC10191891189991912222222-=+-+-+--+-=∴…­……………………………………………4分 ∴直线)9118(1019191:2222kk x k k k k y BC ++-=+--， 即541012--=x k k y ∴直线过定点⎪⎭⎫⎝⎛-540，…………………………………………5分 又因为直线过)54,58(，∴直线BC ：54-=x y ，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∴995422y x x y 得025********=--x x 由弦长公式可得251176=∴BC ………………………………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得29118k k x B +-=∴，2918k kx C+= 从而有222291811,91181k kk AC k k k AB ++=++=…………………………11分试题习题，尽在百度于是 82)1(91162)9)(91()1(1622122222+++=+++==∆kk k k k k k k AC AB ABC S ………13分令21≥+=k k t ，有8276491626491622≤+=+=∆tt t t S ABC 当且仅当238>=t ，827)(max =∆ABC S ……………………………………………15分 10.。