x2 y2 过椭圆 1右焦点 6 2 F且斜率为1的直线交椭 圆于A、B两点，设M为 椭圆上任意一点，且 OM OA OB。求 证：2 2 1.
A
O B
Q
椭圆中的四边形（2）
过原点的两直线l1、l2 x2 y2 分别交椭圆 1 8 4 于AB、CD 四点，若 1 k AB k CD , 求证：四 2 边形ABCD的面积为定值。
P
直角梯形的应用
x2 y2 椭圆 1, F是右 4 3 焦点，过F作直线交椭 圆于A、B两点。 (1)若AF 2FB，求直线 的斜率。 ( 2)设AF FB，且B在 x轴上方。若直线的斜 率为 3，，求。
A F B
距离和最值（2）
x2 y2 椭圆 1上一 4 3 点P，Q1,1，F是右 焦点，求PQ 2PF的 最小值。
P
椭圆的第二定义（直角梯形）
PF e0 e 1 PH1
P H1
F
焦半径公式 有k，e 焦半径公式的应用
x2 y2 椭圆 1有点P， 25 16 求（ ）PF1 | | PF2 | 的取 1 | 值范围。（2） 1 PF2的 PF 取值范围。
F1 F2
N F
M P E
Fn，。问：m n是否 0
垂轴弦的性质（3）
直线l垂直于x轴且与 x2 y2 椭圆 1相交 4 3 于M、N两点，P是椭 圆上不与顶点重合的 任意一点，MP、NP 分别交x轴于E、F。若 ME EP， FP， NF 则
N F
M P E
0.
椭圆专题复习
上饶中学数学组 俞振 2013、12、19
目录
第一定义（焦点三角形） 弦长与弦中点 轨迹方程与标准方程 最值与取值范围 定点与定值 存在性问题
第二定义（直角梯形）
椭圆中的三角形
椭圆中的四边形 椭圆和圆
第三形式（顶点三角形）
第四形式（圆的伸缩）
第五形式（参数方程）
椭圆的第一定义（焦点三角形）
椭圆和圆综合（1）
x2 y2 P是椭圆 1上 25 16 的任意一点，Q是圆
x - 3
2
y 1上任意
2
P Q
一点，求PQ的最小值。
椭圆和圆综合（2）
x2 y2 椭圆 1，圆 25 16 x 2 A： - 3 y 2 1，圆
x B： - 3 y 1，P
A G B
弦的中垂线与坐标轴交点的范围
x2 y2 椭圆 1, 过右焦 4 3 点F且斜率为k（k 0） 的直线交椭圆于M、N 两点。
（1）弦MN的中垂线 与x轴交于P，求P的 横坐标的范围。 （2）弦MN的中垂线 与y轴交于Q，求Q的 纵坐标的范围。
Q
P
N
M
原点三角形（1）
x2 y2 椭圆 1，直 4 3 线l交椭圆于MN两点， （1）直线l过右焦点. 求△OMN的面积的取 值范围。 （2）直线l的斜率为1， 求△OMN的面积的取 值范围。
焦点三角形的应用（3）：求e
正三角形AF F2 , 1 求e
F 1
正三角形ABF2 ,
A
求e
A
F2
F1
F2
F1PF2中，PF1F2 30 ， PF2 F1 60 ，求e
P
F1
F2
正六边形ABCDEF ， B CF 是椭圆的焦点， 其余四点在椭圆上， A 求e
F C D B
E
椭圆上的点到定点的距离最值
动圆M和定圆A 相内切,也与定圆 B相内切，求动 圆圆心M的轨迹 方程。 设动圆半径r， 消r
M
A
B
焦点三角形的应用（2）：求方程
x 2 y2 椭圆 2 2 1中，过 a b 右焦点F2作直线交椭圆 于A、B两点，若三角形 F1AB的周长为8，离心率 1 为 ，求椭圆方程。 2
F1 B F2 A
N F Q
M
焦点弦性质（3）
x2 y2 椭圆 1中， 4 3 过右焦点F作直线和 椭圆交于MN两点， 问：以MN为直径的 圆和直线x 4是什么 关系。
M F
N
焦点弦性质（4）
x2 y2 M为椭圆 1 4 3 的焦点弦AB的中点， N为M在直线l : x 4 上的射影，AB与l交 于点P，比较PA PB 与PN 2的大小。
M
P Q N
过点P- 4,0 交椭圆 x2 y2 1于MN两 4 3 点，若MP PN， MQ - QN，问Q 是否在定直线上？
存在性问题（3）
N M Q P
B
D
C A
存在性问题（1）
椭圆中的过右焦点F且斜率为k 的弦AB，问：是否在右准线上 存在点P，使得△ABP为正三角 形？若存在，求出P点坐标；若 不存在，说明理由 .
A
P B
存在性问题（2）
过右焦点作斜率为k的直线与 椭圆交于MN两点，问：在x轴 上是否存在点P（m， 0），使得 PQ PM PN时，四边形PMQN 为菱形，且点Q在椭圆上？若存 在，求出m的值，若不存在，说 明理由。
O
N
M
椭圆的顶点直角三角形
x2 y2 在椭圆 1中， 4 3 过左顶点A作两条互相 垂直的直线交椭圆于M N两点，则MN的连线 过定点。
A M
N
椭圆内接三角形
x2 y2 过椭圆 1上 8 2 点P2,1, 作斜率互为 相反数的两直线交椭 圆于M、N，则MN 的斜率为定值。
M N
2 2
P
是椭圆上的一点，M、 N分别是圆A、圆B上 一点，求PM PN的最 小值和最大值。
A M N
B
椭圆和圆综合（3）
x 2 y2 P是椭圆 1上一点， 4 3 2 2 EF 是圆N：x y - 2 1的 一条直径，求PE PF的取值 范围。
P
E N
F
椭圆中的四边形（1）
F M A B N
P
垂轴弦与通径
垂径弦MN 通 径AB
N B
F
A M
垂轴弦的性质（1）
直线l垂直于x轴且与 x2 y2 椭圆 1相交 4 3 于MN两点，AB是椭 圆的左右顶点，求证： AM和BN 的交点在双 x2 y2 曲线 1上。 4 3
A N B
M Q
垂轴弦的性质（2）
直线l垂直于x轴且与 x2 y2 椭圆 1相交 4 3 于M、N两点，P是椭 圆上不与顶点重合的 任意一点，MP、NP 分别交x轴于E m，， 0 为定值？
PF1 PF2 2a(2a 2c)
P
求轨迹。 求方程。 求e。
F1
F2
焦点三角形的应用（1）：求轨迹
在△ABC中，B- 3,0， C3,0，三角形的周长
P
为16，求顶点A的轨迹 方程。
F1 F2
x 动圆M和定圆A： 3 y 2 100
2
多圆轨迹（1）
相内切，且 过定点B（3,0），求 动 圆圆心M的轨迹方程。
x2 y2 椭圆 1，A、 4 3 B是椭圆的左右顶点， P是椭圆上异于AB的 一点，求证：k PA k PB 为常数。
A B P
椭圆上的点到两相对顶点的斜率 之积为负常数。反之也成立。
椭圆的第四形式（圆的伸缩）
圆x 2 y 2 4，P是圆 上一点，过P作x轴的 垂线，垂足为H， （1）M为PH的中点， 求M的轨迹方程。 （2）P为NH的中点， 求N的轨迹方程。
点差法、韦达定理
N G O M
2
对称问题(1)
x y 1, l : y x m, 4 3 若椭圆上存在两点关于 l对称，求m的取值范围。
A G B
2 2
对称问题（2）
x2 y2 1 1, l : y k x , 4 3 4 若椭圆上存在两点关于 l对称，求k的取值范围。
F Q
P
改编题（2）
x2 y2 椭圆 1上一 4 3 点P，Q1,4 ，过P作 PH垂直右准线于H， 求 2PQ PH的最小值。
Q H
P
改编题（3）
x2 y2 椭圆 1上一 4 3 点P，Q1,1，过P作 PH垂直右准线于H， 求 2PQ PH的最小值。
Q P
H
椭圆的第三形式（顶点三角形）
求轨迹方程：相关点法
P
M
N
椭圆的第五形式（参数方程）
x a cos M : y b sin
A M
B
椭圆参数方程的应用（1）
x2 y2 P是椭圆 1上 16 9 一点，求点P到直线 x y 9 0的距离的 最值。
椭圆上的点到椭圆外直线 的距离的最大值和最小值。
M O
N
原点三角形（4）
不经过原点的直线l交 x2 y2 椭圆 1于MN 8 4 两点，若kOM kON 1, 求△OMN的面积的取 值范围。
O M
N
原点三角形（5）
不经过原点的直线l交 x2 y2 椭圆 1于MN 8 4 两点，若kOM kON 1, 1 1 求证： 2 为定 2 OM ON 值。
M O N
原点三角形（2）
不经过原点的直线l交 x2 y2 椭圆 1于MN 8 4 1 两点且kOM kON , 2 则△OMN的面积为定 值。
M
N O
原点三角形（3）
不过原点的直线l交椭 x2 y2 圆 1于MN两 8 4 点，若kOM , k MN , kON 成 等比数列，求△OMN 的面积的取值范围。
x 2 y2 椭圆 1， 25 9 点F（4,0），点N （2,0），点M 0,2 . P是椭圆上一点， 求：（ ）PF的最值； 1 （2）PN的最值； （3）PM的最值。