平衡中的临界和极值问题
所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。
极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。
临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏但尚未被破坏的状态。
求解平衡的临界问题一般用极限法。
极限分析法是一种预测和处理临界问题的有效方法，它是指：通过恰当选择某个变化的物理量将其推向极端（“极大”、“极小”、“极右”或“极左”等）,从而把比较隐蔽的临界现象（或“各种可能性”）暴露出来，使问题明朗化，以便非常简捷地得出结论。
在平衡中最常见的临界问题有以下两类： 一、以弹力为情景
1. 两接触物体脱离与不脱离的临界条件是：相互作用力为零。
2. 绳子断与持续的临界条件是：作用力达到最大值；
绳子由弯到直（或由直变弯）的临界条件是：绳子的拉力等于零。
例1：如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。
解：作出A 受力图如图所示，由平衡条件有：
F ．cos θ-F 2-F 1cos θ=0, F sin θ+F 1sin θ-mg =0
要使两绳都能绷直，则有：F 10,02≥≥F 由以上各式可解得F 的取值范围为：
N F N 3
3
403320≤≤
变式训练1：两根长度不一的细线a 和b ，一根连在天花板上，另一端打结连在一起，如图，已知a 、b 的抗断张力（拉断时最小拉力）分别为70N ，80N.它们与天花板的夹角分别为37°、53°， 现在结点O 处加一个竖直向下的拉力F ，(sin37°=cos53°=0.6, cos37°=sin53°=0.8) 求： (1)当增大拉力F 时，哪根细绳先断?
(2)要使细线不被拉断，拉力F 不得超过多少？
变式训练2两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m 的物体，上端分别固定在水平天花板上的M 、N 点，M 、N 两点间的距离为s ，如图所示，已知两绳所能承
受的最大拉力均为T ，则每根绳的长度不得短于__ ____．
例2：如图所示，半径为R ，重为G 的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h 的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F 推木块才能使球离开地面。
解析 以球为研究对象，如图所示。
有
R h Rh 2cos R
h R sin F cos F G sin F 2
2N 1N 1N -=
θ-=
θ=θ=θ
再以整体为研究对象得F F 2N =
即
G
·h
R )h R 2(h F --=
变式训练3：如图所示，平台重600N ，滑轮重不计，要使系统保持静止，人重不能小于（ B ）
A ．150N
B ．200N
C ．300N
D ．600N
二、以最大静摩擦力为情景
靠摩擦力连接的物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。
例3：如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端分别系着物体A 和B ，物体A 放在倾角为θ的斜面上。
已知物体A 的质量为m ，物体A 与斜面间的动摩擦因数为μ（μ<tan θ）,滑轮的摩擦不计，要使物体A 静止在斜面上，求物体B 的质量的取值范围。
（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力） 解析 以B 为研究对象，B 受重力g m B ，绳子的拉力T ，
由平衡条件得g m T B =
再以A 为研究对象，它受重力mg 、斜面对A 的支持力N F 、绳的拉力T 和斜面对A 的摩擦力f 。
假设A 处于临界状态，即A 受最大静摩擦作用，方向如图6甲、乙所示的两种情况，根据平衡条件有：
甲图：0sin mg f T m =θ-+
N m F f μ=
A
B
θ
F
a b 370530
O F
乙图：θ=cos mg F N
N
m m F f 0sin mg f T μ==θ--
综上所得，B 的质量取值范围是：
)cos (sin m m )cos (sin m B θμ+θ≤≤θμ-θ
变式训练4：物体A 重为100N ，B 重为20N ，A 与水平面最大静摩擦力为30N ，整个系统处于静止状态，如图所示，这时A 受摩擦力大小为 20 N 。
如果逐渐增大B 重量而保持系统静止，则B 的重力最大值为 30 N ．
变式训练5：如图所示，定滑轮光滑，货物质量为m ，滑轮离地面高度为4m ，人拉绳处距地面lm ，若人对地面最大静摩擦力为 mg/2，则要匀速提升货物，人离货物的水平距离应不大于 m ．
例4：一质量为m 的物体，置于水平长木板上，物体与木板间的动摩擦因数为μ。
现将长木板的一端缓慢抬起，要使物体始终保持静止，木板与水平地面间的夹角θ不能超过多少？设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
分析：
这是一个斜面问题。
当θ增大时，重力沿斜面的分力增大。
当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界状态，此时是θ最大。
依题意，有：mgsinθ=μmgcosθ ∴μ=tanθ
∴θ≤arctan μ 说明：
tanθ=μ是一重要临界条件。
其意义是：tanθ<μ时，重力沿斜面向下的分力小于滑动摩擦力；tanθ=μ时，重力沿斜面向下的分力等于滑动摩擦力；tanθ>μ时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力；
①将物体静止置于斜面上，如tanθ≤μ，则物体保持静止；如tanθ>μ，则物体不能保持静止，而加速下滑。
②将物体以一初速度置于斜面上，如tan<μ，则物体减速，最后静止；如tanθ=μ，则物体保持匀速运动；如tanθ>μ，则物体做加速运动。
所以，这个临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。
变式训练6：如图所示，在倾角为θ的粗糙斜面上，一个质量为m 的物体被水平力F 推着静止于斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanθ，求力F 的取值范围(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力).
例5：如图所示，重20N 的物体静止在倾角为θ=30°的粗糙斜面上静止，物体与固定在斜面上的轻弹簧连接，设物体所受最大静摩擦力为12N ，则弹簧的弹力为（弹簧与外面平行）（ D ） ① 可能为零 ②可能为22N ，方向沿斜面向上 ③可能为2N ，方向沿斜面向上 ④可能为2N ，方向沿斜面向下 A ．①②③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①②③④
F
ө。