称
1 (n), 2 (n),, i (n), 1 (0), 2 (0),, i (0),
为n时刻Xn的概率分布向量。
称为马尔可夫链{Xn,n≥0}的初始分布向量。 结论：一个马尔可夫链的特性完全由它的一步转移概率矩 阵及初始分布向量决定。 事实上
P X 0 i0 P X 1 i1 X 0 i0 P X 2 i2 X 0 i0 , X 1 i1 P X n in X 0 i0 , , X n 1 in 1 P X 0 i0 P X 1 i1 X 0 i0 P X 2 i2 X 1 i1 P X n in X n 1 in 1 i0 0 pi0i1 pi1i2 pin1,in
(n)
( m)
P
m n
n P ( n ) pij
为马尔可夫链{Xn,n≥0}的n步转移概率矩阵。
证明：
P X n m j X 0 i P X n m j , X n k X 0 i
k 0

P X n m j X n k , X 0 iP X n k X 0 i
为n时刻的一步转移概率。若 i, j S , pij n pij 即pij与n无关，则称{Xn,n≥0}为齐次马尔可夫链。记 P=(pij)，称P为{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵.
p00 p10 P pi 0
p01 p11 pi1
p02 p12 pi 2
0 x
x
j i 1
( j i 1)!
dG x ,
j i 1, i 1 其它
Pij 0,
例3 G / M /1排队系统 来到时间间隔分布为G，服务时间分布为指数分布，参 数为 ，且与顾客到达过程独立。 Xn-----第n个顾客来到时见到系统中的顾客数（包括该顾 客），则{Xn，n≥1}是马尔可夫链。记
jS
显然马尔可夫链{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵P为 随机矩阵。 2，n步转移概率 定义：设{Xn,n≥0}是一马尔可夫链，称
n pij P X n m j X m i ,
n 0, i, j 0
为马尔可夫链{Xn,n≥0}的n步转移概率。记
i (n) P X n i ,
k 0

P X n k X 0 i P X n m j X n k
k 0 n m pik pkj k 0
P n P P n 1 P P P n 2 P n
例（马尔可夫预测）P82
类似地可以证明马尔可夫链任意个时刻的联合分布也 完全由一步转移概率矩阵及初始分布向量决定。
P X 0 i0 , X 1 i1 , , X n in
3、定理：切普曼-柯尔莫哥洛夫方程（C-K方程）
p
或
m n ij
p p
k 0 n ik

m kj
P
其中
( m n )
P P
所以{Xn,n≥0}是马尔可夫链，且
pij P( X n 1 j X n i ) P( f i, Yn 1 j ) P( f i, Y1 j )
二、切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
1，随机矩阵 定义：称矩阵A=(aij)S×S为随机矩阵，若aij ≥0，且
i S , 有 aij 1
（1）无限制的随机游动 设有一质点在数轴上随机游动， 每隔一单位时间移动一次，每次只能向左或向右移动一单位， 或原地不动。设质点在0时刻的位置为a,向右移动的概率为p， 向左移动的概率为q，原地不动的概率为r(p+q+r=1),且各次 移动相互独立，以Xn表示质点经n次移动后所处的位置，则 {Xn,n≥0}是一马尔可夫链,转移概率为
Yn -----第n个顾客来到时刻到第n+1个顾客来到时刻之间系统 服务完的顾客数，则
X n1 X n 1 Yn
pi ,i 1 j P X n 1 i 1 j X n i P i 1 j X n 1 Yn X n i P Yn j X n i P Yn j e t
Pi,i+1=p, Pi,i-1=q, Pi,i=r, 其余Pi,j=0
（2）带吸收壁的随机游动 设（1）中的随机游动限制在 S={0,1,2, …b}，当质点移动到状态0或b后就永远停留在该位 置，即p00=1, pbb=1，其余pij(1≤i,j ≤b-1)同（1），这时 {Xn,n≥0}称为带两个吸收壁0和b的随机游动 ，它是一有限状 态马尔可夫链。
及状态
，有
P( X n 1 j X n i )
2、分类
按马尔可夫过程参数空间和状态空间的不同可分为
t
X t
离散 马尔可夫链 可数状态马 尔可夫过程
连续 马尔可夫序列 连续状态马 尔可夫过程
离散 连续
3、转移概率
定义
i, j S , 称 P X n 1 j X n i pij n
解 一阶转移矩阵为
0.95 0.30 P 0.20 0.20
初始分布为
0.02 0.60 0.10 0.20
0.02 0.06 0.70 0.10
0.01 0.04 0.00 0.50
(1, 2 , 3 , 4 ) (0.25,0.30,0.35,0.10)
0
( t ) j dG t , j!
j 0,1,i
pi0公式略有不同，它是服务台由有i个顾客转为空闲的 概率，
pi 0 P X n 1 0 X n i
0 k i 1



e t
(t )k dG t , k!
i0
例4 直线上的随机游动
a j i , pij 0,
例2 M/G/1排队系统
j i j i
显然{Yn,n≥1}也是一马尔可夫链。
若以X(t)记在t时刻系统中的顾客数，{X(t),t≥0}则不具马 尔可夫性。
Xn-----第n个顾客走后剩下的顾客数， Yn -----第n+1个顾客接受服务期间来到的顾客数，则
所以有
P( X n1 in1 X 0 i0 , X n in ) P( f X n , Yn1 in1 X 0 i0 , X n in ) P( f in , Yn1 in1 X 0 i0 , X n in ) P( f in , Yn1 in1 ) P( X n1 in1 X n in )
1, pij 0 i, j 0 2, pij 1 i 0,1, 2,
j 1
我们来看马尔可夫链的分布
P ( X 0 i0 , X 1 i1 , , X n in ) P ( X 0 i0 ) P ( X 1 i1 X 0 i0 ) P ( X 2 i2 X 0 i0 , X 1 i1 ) P ( X n in X 0 i0 , X 1 i1 , , X n 1 in 1 ) P ( X 0 i0 ) P ( X 1 i1 X 0 i0 ) P ( X 2 i2 X 1 i1 ) P ( X n in X n 1 in 1 )
（2） {Yn,n≥1}为独立同分布随机变量，且X0与{Yn,n≥1}也 相互独立，则{Xn,n≥0}是马尔可夫链，其一步转移概率为
pij=P[f(i,Y1)=j]
证明：设n≥1 ，则Yn+1与X0, X1, …, Xn相互独立，事实上， 因为X1=f(X0,Y1)， Y2与X0,Y1独立，所以， Y2与X1， X0 独立。同理， X2=f(X1,Y2)= f(f(X0,Y1),Y2)，所以， Y3与X2， X1， X0独立。归纳可得Yn+1与X0, X1, …, Xn相互独立。
可见，马尔可夫链的分布由其初始分布 P( X 0 i0 ) 和
其
一步转移概率完全决定。
4、马尔可夫链的例子
例1 独立随机变量和的序列 设 {Yn,n≥1}为独立同分布随机变量序列，且Yn取值为非 负整数，其概率分布为P{Yn=i}=ai，i=0,1,2, …令 X0=0,Xn=Y1+…+ Yn ，则易证{Xn,n≥0}是一马尔可夫链,且
例5 Polya（波利亚）模型
罐中有b只黑球及r只红球，每次随机地取出一只后 把原球放回，并加入与抽出球同色的球c只，再第二次 随机地取球重复上面步骤进行下去，{Xn=i}表示第n回 摸球放回操作完成后，罐中有i只黑球这一事件，所以
i b r nc , i P X n 1 j X n i 1 , b 8894 0.60175 3 P 0.4834 0.5009
0.0458 0.0466 0.01820 0.2559 0.0988 0.04355 0.1388 0.36584 0.01196 0.2134 0.14264 0.14306
半年后A种鲜奶的市场占有率为
CHAPTER 2 马尔可夫链
第一节 基本概念 一、马尔可夫链的定义及例子 1、定义
称为马尔可夫链，若它只 随机过程 X n , n 0,1,2,
取有限或可列个值（称为过程的状态，记为0，1，2，…），
并且，对任意
n0 i, j, i0 , i1,, in1 P( X n 1 j X 0 i0 , X 1 i1 , , X n 1 in 1 , X n i )
0 x x j
j!
dG x ,