1 和 2 。求球内、外的电位分布和电场强度分布。
解： 由于球体具有球对称分布，取球坐标系，电位 为半径r的函数，与坐标θ和φ无关，即φ=φ（r）， 则
在球内：
在球外： 在球体表面根据边界条件可知在r=R处有
第三章静态场解法
对式（3.11）进行积分得
第三章静态场解法
第三章静态场解法
第三章静态场解法
第三章 静态场的解法
本章内容 3.1 静态场边值问题及唯一性定理 3.2直接积分法 3.3在直角坐标系中的分离变量法 3.4在圆柱坐标系和球坐标系的分离变量法 3.5镜像法 3.6静态场的数值解法
第三章静态场解法
3.1 静态场边值问题及唯一性定理
▪ 静态场的问题大体上可分为两类： （1）分布型问题 （2）边值型问题
第三章静态场解法
那么金属槽内的电位分布的解为φ=φ1+φ2，分别求 出φ1和φ2，φ也就得出来了，根据唯一性定理，即是 要求的唯一解答。φ1已知，见（3.3.23）式，下面求
出φ2。
由例3.3.1的讨论，φ2可表示为 (3.3.24)
式中Cn由x=0处的边界条件求出，即
第三章静态场解法
可以确定傅里叶系数Cn为
所以k必须为整数，令k=n，于是式（3.4.7）变为 (3.4.8)
用n代替k，并把式（3.4.5）改写为如下形式
(3.4.9)
它是一个欧拉方程，其解为
第三章静态场解法
(3.4.10)
式中的系数由边界条件确定
（3.4.11）
第三章静态场解法
▪ 解：在-l≤x≤l范围内，电位 满 足泊松方程
2
（ε为材料的介电常数）从图3.2.1可以看出，电
位函数是x的函数，即=（x）
d2 Kq
dx2
x
对上式进行积分
dKqx2 dx 2
C1
第三章静态场K 6解法qx3C1xC2
第三章静态场解法
▪ 例3.2.2 有一个半径为R的球体，均匀分布着体电 荷密度为ρ的电荷。设球内、外介质的介电常数为
▪ 静态场的边值问题有多种求解方法，大体 可分为以下几种：
（1）直接求解法： 直接积分法、分离变量 法、格林函数法等。
（2）间接求解法： 复变函数法、镜像法等。 （3）数值计算法： 有限差分法、有限元法、
矩量法等。
第三章静态场解法
▪ 唯一性定理： 不管用什么方法，可以如上任何
一种方法，也可以依靠判断猜出解答， 只要在给定区域内满足所要求解的微 分方程，并满足给定的全部边界条件， 那么这个解答就是静态场的唯一解答。
（3.54）
这样就把偏微分方程（3.48）变成了三个常微 分方程，这种方法就是分离变量法。三个常微 分方程（3.51）～（3.53）可以改写为
第三章静态场解法
▪ 下面讨论拉普拉斯方程对二维位场的求解问 题。
所谓二维位场即是 (x ,y )f(x )g (y )k ,z 2 0
于是有
第三章静态场解法
图3.3.2 例3.3.2图
第三章静态场解法
解： 本题所给的场可以分解为两个场的叠加，分解 后的两个场如图3.3.2(b)(c)所示。槽内的电位分别 为x、y的函数，是一个二维场问题。 分解后第一个场是两个距离为d的无穷大的平行板， 上板电压为U0，下板接地，其解为
(3.3.23) 第二个场电位为φ2，是两个电位为零的无穷大的 平行板，并且在x=0处φ2满足
▪设
（3.4.3）
式中R(r)仅为r的函数，
把式（3.4.3）代入到式（3.4.2）中得
式（3.4.4）第一项是关于r 数，要使上式对于所有的r 一个常数，于是有
第三章静态场解法
(3.4.4)
（3.4.5） (3.4.6)
对式（3.4.6）求解，其解为 (3.4.7)
对于所研究的实际问题，位场是单值的，则有
z的函数，得 上式除以 f(x)g(y)h(z)得
上式第一项仅是x为变量的函数，与y和z无关； 而第二
项仅随y而变化，第三项仅随z而变化。所以式（3.50）
成立的唯一条件是这三项中每一项都是常数。令第一、
二、三项分别为常数
kx2
,
k
2 y
,
kz2
，即
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三个常数满足的关系式为
kx2ky2kz2 0
则 金属槽内的电位分布为
(3.3.25) (3.3.26)
第三章静态场解法
3.4 在圆柱坐标系和球坐标系的 分离变量法
▪ 1.在圆柱坐标系的分离变量法
在圆柱坐标系中，拉普拉斯方程为
(3.4.1)
下面讨论电位φ不随纵向（z方向）变化的二维 场问题，即φ仅为r 拉斯方程变为
第三章静态场解法
(3.4.2)
第三章静态场解法
3.2直接积分法
▪ 下面举几个例子来介绍这种方法的应用。 ▪ 例3.2.1 空间电荷区如图3.2.1所示，在
-l～0区域内为负电荷，在0～l区域内为正 电荷，且电荷分布函数为ρ=Kqx（x范围为l≤x≤l，K为比例常数）。取x=0为电位参考 点，在x=±l处电场为零。求在-l＜x＜l范围 内的电位分布和电场分布。
▪ 常遇到的边值问题有三种： （1）全部边界上的位函数是已知的，称为第一类 边值问题，又称为狄利克雷（Dirichlet）问题。 （2）全部边界上的法线方向的位函数的导数是已 知的，称为第二类边值问题，又称为纽曼 （Neumann）问题。
第三章静态场解法
（3）混合边值问题，又称为第三类边值问题， 它是第一类和第二类边值问题的混合型。
第三章静态场解法
▪ 例3.3.1 两块彼此平行的半无限长接地金 属板，板间距离为b，两平行板的一端另一 块电位为 的极长的金属条，它们之间缝 隙极小，但彼此绝缘，如图3.2所示。求两 板间的电位分布。
解: 给定的边界条件为
第三章静态场解法
第三章静态场解法
第三章静态场解法
▪ 例3.3.2 两块完全相同的T形导体构成导 体槽，两块T形导体间有一狭缝，如图 3.3.2(a)所示。上板所加的电压为U0，下板 接地。求金属槽内的电位分布。
3.3在直角坐标系中的分离变量法
▪ 如果边界面的形状适合用直角坐标系表示， 那么可以在直角坐标系中求解。在直角坐标系中， 位函数的拉普拉斯方程为
位函数φ是x、y、z的函数，可以表示成三个 单变量未知函数的乘积
(x ,y ,z ) f(x )g (y )h (z )
（ 3.49） 式中f(x)仅为x的函数第；三章静g态(场y解)法为y的函数，h(z)为