第二讲 解不等式（一）一、知识梳理（一）考点目标定位高考中解不等式主要涉及到一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）、分式不等式（组）、绝对值不等式（组）、指数不等式（组）、对数不等式（组）、三角不等式（组）以及含参数的不等式等。
其中尤以一元二次不等式、分式不等式、对数不等式、三角不等式为热门。
解不等式在高考中的题型主要是在综合题中作为解题的一个步骤有所涉及，在填空题中和集合结合为简单题型。
（二）复习方略指南熟悉各种不等式的解题方法，特别是要注意分式不等式、对数不等式和三角不等式的定义域情况以及一元二次不等式的判别式情况。
二、知识回顾1、不等式|2x 2－1|≤1的解集为 {x |－1≤x ≤1}2、已知全集U R =，集合{}240M x x =-≤，则U M ð= {}()()+∞-∞--<>,22,22 或或x x x 3、不等式093114212≥-x x 的解集为______(,3][2,)-∞-+∞_________4、不等式32-+x x x ）（＜0的解集为 ()(),20,3-∞- 5、不等式()210ax ab x b +++>的解集为{}12x x <<，则a b +=___－23或－3____. 解析：∵ax 2+（ab +1）x +b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}， ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-<.2310a b a ab a ，，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=121b a ，或⎩⎨⎧-=-=.21b a ， ∴a +b =－23或－3. 6、不等式||52||1x x ->-+的解集是 (1)(1-???，， ． 三、典型例题例1、解不等式：()R a x a ax ∈+<+21 解：原不等式化为()112-<-a x a当1,1+<>a x a 有时； 当11+><a x a 时，有；当时，1=a 不等式无解。
例2、2232->-x x 解一：原不等式可化为⎩⎨⎧⎩⎨⎧<<-⇒∈<<-⇒∈-<-222223022x R x x R x x或()⎩⎨⎧<<-≥-≤⇒⎩⎨⎧->---<-≥-342222322302222x x x x x x x x 或或 3224<≤-≤≤-⇒x x 或 ∴解集为()3,4-解二：2322x x ->-或()2322x x -<--，得2230340x x x x -<+-<或解得0341x x <<-<<或，即解集为()3,4-例3、解不等式3252---x x x＜－1. 剖析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 的多项式的商，而右边是非零常数，故需移项通分，右边变为零，再利用商的符号法则，等价转化成整式不等式组. 解：原不等式变为3252---x x x ＋1＜0， 即322322--+-x x x x ＜0⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-⇔0320230320232222x x x x x x x x 或，－1＜x ＜1或2＜x ＜3. ∴原不等式的解集是｛x ｜－1＜x ＜1或2＜x ＜3｝.例4、关于实数x 的不等式()()212122-≤+-a a x 与()()()R a a x a x ∈≤+++-其中0132132的解集依次记为A 与B ，求使B A ⊆的a 的取值范围。
解：()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤+-≤--=212121222a a x a x A {}[]1,21222+=+≤≤=a a a x a x ()()[]{}0132≤+--=a x x x B 当21331<+<a a 时， []2,13+=∴a B 由B A ⊆得1122132-=⇔⎩⎨⎧+≥≤+a a a 当21331>+>a a 时， []13,2+=∴a B 由[]⎩⎨⎧∈⇔≤+≥+⊆3,1221132a aa a B A 得 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡==9103231，时，A a {}2=b ， A 不属于B ，a ∴的取值范围为[]{}13,1- 四、巩固评价 （一）选择题：1、若不等式26ax +<6的解集为()1,2-，则实数a 等于……………………………（ C ）A.8B.2C.－4D.－8解析：由|ax +2|＜6得－6＜ax +2＜6，即－8＜ax ＜4.∵不等式|ax +2|＜6的解集为（－1，2），易检验a =－4.2、不等式221x x +>+的解集是……………………………………………………………（ A ） A.（－1，0）∪（1，+∞）B.（－∞，－1）∪（0，1）C.（－1，0）∪（0，1）D.（－∞，－1）∪（1，+∞） 解法一：x +12+x ＞2⇔x －2+12+x ＞0⇔11+-x x x ）（＞0⇔x （x －1）（x +1）＞0⇔－1＜x ＜0或x ＞1.解法二：验证，x =－2、21不满足不等式，排除B 、C 、D. 3、已知函数()f x 是R 上的增函数，()()0,131A B -、，是其图象上的两点，那么()11f x +<的解集是……………………………………………………………………………………………（ B ）A.（1，4）B.（－1，2）C.（－∞，1］∪［4，+∞）D.（－∞，－1］∪［2，+∞） 解析：由题意知f （0）=－1，f （3）=1.又| f （x +1）|＜1⇔－1＜f （x +1）＜1，即f （0）＜f （x +1）＜f （3）.又f （x ）为R 上的增函数，∴0＜x +1＜3.∴－1＜x ＜2.4、设()f x 和()g x 都是定义域为R 的奇函数，不等式()0f x >的解集为(),m n ，不等式()0g x >的解集为,22m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中02n m <<，则不等式()()0f x g x ⋅>的解集是………（ B ） A.,2n m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.,,22n n m m ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. (),,22m n n m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.,,2222m n n m ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解析：f （x ）、g （x ）都是定义域为R 的奇函数，f （x ）＞0的解集为（m ，n ），g （x ）＞0的解集为（2m ，2n ）. ∴f （－x ）＞0的解集为（－n ，－m ），g （－x ）＞0的解集为（－2n ，－2m ）， 即f （x ）＜0的解集为（－n ，－m ），g （x ）＜0的解集为（－2n ，－2m ）. 由f （x ）·g （x ）＞0得⎩⎨⎧>>00）（，）（x g x f 或⎩⎨⎧<<.00）（，）（x g x f .又0＜m ＜2n ， ∴m ＜x ＜2n 或－2n ＜x ＜－m . （二）填空题： 5、设集合{}|0,|12x A x B x x x ⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B ⋃= (1,2)- 。
6、不等式a ax x ->-32对一切43≤≤x 恒成立，则实数a 的取值范围是 3<a ．7、设a 、R b ∈，把三阶行列式x a x 1214532+中元素3的余子式记为)(x f ，若关于x 的不等式0)(<x f 的解集为),1(b -，则=+b a ____1___． 三阶行列式x a x 1214532+中元素3的余子式为x a x x f 21)(+=，由0)(<x f 得022<-+ax x ，由题意得a b -=+-1，所以1=+b a ．8、已知集合{}15A x x x Z =-<<∈,，集合10,4x B x x Z x -⎧⎫=>∈⎨⎬-⎩⎭.在集合A 中任取一个元素x ，则事件“B A x ∈”发生的概率是25 . （三）解答题：9、已知关于x 的不等式01a x x -≥+的解集为P ，不等式11x -<的解集为Q 。
（1）若3a =，求P ；（2）若P Q P ⋃=，求正数a 的取值范围。
解： （1）3a =，由301x x -≥+，得301x x -≤+ 所以{}|13P x x =-<≤ （2）{}{}|11|02Q x x x x =-<=<<0a >，∴{}|1P x x a =-<≤ ,P Q P Q P ⋃=∴⊆ 所以2a ≥，即a 的取值范围是[)2,+∞10、已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。
（1）求上述不等式的解；（2）是否存在实数k ，使得上述不等式的解集A 中只有有限个整数？若存在，求出使得A 中整数个数最少的k 的值；若不存在，请说明理由。
解： （1）当0k =时，(,4)A =-∞；当0k >且2k ≠时，24k k+> 4(,4)(,)A k k∴=-∞++∞； 当2k =时，(,4)(4,)A =-∞+∞； 当0k <时，4(,4)A k k=+. （2） 由（1）知：当0k ≥时， A 中整数的个数为无限个；当0k <时，A 中整数的个数为有限个，因为44k k+≤-，当且仅当2k =-时取等号， 所以当2k =-时，A 中整数的个数最少。
11、若不等式022>++bx ax 的解为132<<-x ，求不等式022≥++ax bx 的解集。
解一：由题可知：1,32-是方程022=++bx ax 的根 {⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇔=++=+-∴1302023294b a b a b a 则0232≥+-x x 的解集为(][)+∞∞-,21, 解二：()023*********>++-<--<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x 即得 {13=-=∴b a则0232≥+-x x 的解集为(][)+∞∞-,21, 12、集合A=()}042{22<-++a ax x x ，B=()(){}02<--x a x x ，若A B A =⋃，求实数a 的取值范围。
解： A B A =⋃ A B ⊆∴而{}22+-<<--=a x a x A10 当2<a 时，B={}2<<x a x 得⎩⎨⎧+-≤--≥222a a a 得⎩⎨⎧≤-≥01a a 得01≤≤-a 20 当2>a 时，B={}a x x <<2 得⎩⎨⎧+-≤--≥222a a a 得⎩⎨⎧≤-≥14a a 得14≤≤-a ,得无解 30 当2=a 时，B=∅，A B ⊆∴合题意综上，01≤≤-a 或2=a。