b 无意义，所以正切函数的定义域为{x|xR,xk,kZ }.
a
2
2.记住特殊角的正切函数值
【例1】已知角α的终边上有一点P的坐标为( 3 , y )(y≠0)，
且sin 2 y，求cos α，tan α.
4
【审题指导】根据正切函数的定义及相似三角形的知识可
知：若已知角α的终边上有一点P的坐标为(x,y)，
6
∴函数 fxtan的(x定义)域为
3
{x|x. k5,kZ}
6
函数f(x)在开区间 ( ,上5 的) 简图(如下图)
66
(2)由 k＜ x,(＜ kk ∈Z)得
23 2
k＜x＜ (kk∈Z5),
6
6
∴函数f(x)的递增区间为
(k,k(k∈5Z)),无递减区间.
66
由x ,(kk∈Z)得
cos x 3 6 , r 35 4
tan y 5 15 . x 3 3
当角α在第三象限时，y ，5
cos x 3 6 , r 35 4
tan y 5 15 . x 3 3
求函数的定义域
1.关于x的函数y=tan (ωx+ )的定义域，可由 x k (k∈Z)求出.
5
5
(2)∵tan 8=tan (-2π+8), ………………………………4分
而 ＜2,8＜2＜
2
且y=tan x在( , 上) 是增加的, ……………………………6分
2
∴tan (-2π+8)＜tan 2即tan 2＞tan 8. ………………8分
(3)∵ ＜3＜ , ＜
2 7 52
且y=tan x在( , 上 ) 是增加的,…………………………10分
正切函数的定义
1.对正切函数定义的理解 (1)比值 b 的大小与角α终边上所取的点的位置无关，只与
a
角α的大小有关，因而对于一个确定的角，只要正切函数 有意义，其值是唯一的.
(2)确定正切函数的定义域应抓住分母等于零时的比值无意
义这一关键点.当角α的终边落在y轴上时横坐标为0，因而
2
【规范解答】欲使函数有意义，必须有
tan x＞ 3
k3＜x＜k2,kZ
∴函2xc数osk的x定2义3(k域0Z为)(k2xkk,5(6kk2∈,xkZ)).2Zk56,kZ
32
利用图像研究正切函数的性质
1.研究正切函数性质需要注意的问题 (1)正切函数的定义域是 {x|x R ,xk,kZ }，而不是
【解析】选C. 正切函数y=tan x是奇函数，值域为R，无最
大值和最小值，所以A、B正确.根据正切函数在每个长度为 π的区间 (k(,k∈kZ))上都是增加的，可知正切函数
22
在整个定义域上不具有单调性，C错误，结合正切函数的最
小正周期为π知D正确.
2.与 ytan (2x)的图像不相交的一条直线是( )
2
2.解形如tan x>a的不等式的步骤：
不等式、方程和函数三者之间有着密切的关系，解 题时要认真体会函数在其中所起到的纽带作用.
【例2】求函数 y lgta n x 32 c o sx 3 的定义域.
【审题指导】解答本题应注意以下三个限制条件:(1)对数
式的真数大于零;(2)开平方根被开方数大于等于零;(3)终 边落在y轴上的角 k (k ∈Z)正切值不存在.
Байду номын сангаас
(3)ta n ( ) 与 tan ( 3 )
5
7
【审题指导】解答本题的关键是根据正切函数y=tan x在区
间( ,上 )是增加的，由自变量的大小推断函数值的大小.
22
【规范解答】
(1)∵ 0＜2＜＜ ，3＜
525
∴ tan2＞ 0， t.a…n…3…＜ …0…………………………2分
5
5
∴ tan 2＞.t…an…3……………………………………3分
2
R，这一点要特别注意.
(2)正切函数的图像是间断的，不是连续的，因此研究正切 函数的性质，可以先弄清楚区间 ( , )上的性质，然后根
22
据正切函数的周期是π，加上kπ研究区间 (k,k),
22
k∈Z上的性质.
2.三角函数图像的对称性问题
正切曲线是中心对称图形，其对称中心有两 类：(1)(kπ,0)(k∈Z)；(2) (k (k∈, 0Z) ) .
kxk(kZ)
2
，
kxkkZ
2
其图像如图.
由图像可知，函数y=|tan x|是偶函数，
单调递增区间为［k， (kk∈)Z)，
2
单调递减区间为 (k(， k∈kZ］)；周期为π.
2
【典例】(12分)不求值，比较下列各组中两个正切函数值的
大小.
(1)t a n 2 与 t a n 3
5
5
(2)tan 2与tan 8
令 r x2，则y2
sin y， co s. x， tan y
r
r
x
所以由 sin 可2求y 出y，进而求出cos α，tan α.
4
【规范解答】∵ r3y2， siny y 2y
r 3y2 4
又y≠0，∴ y . 5
∵P点横坐标为 3＜0
∴角α在第二或第三象限.
当角α在第二象限时，y ，5
32
x(k∈kZ),
23
函数f(x)图像的对称中心为 ( k (k∈, 0)Z).
23
【例】画出函数y=|tan x|的图像，并根据图像判断其单调 区间、奇偶性、周期性. 【审题指导】由函数y=f(x)的图像画函数y=|f(x)| 的图像的方法是
【规范解答】由y=|tan x|得，
ytan x, tan x,
2
【例3】已知 fxtan(x),(1)求函数f(x)的定义域，作
3
出函数f(x)在一个周期开区间上的简图；
(2)求函数f(x)的单调区间及其图像的对称中心.
【审题指导】求定义域、单调区间及其图像的对称中心时 x 应 看作一个整体.
3
【规范解答】(1)由 x k(k∈ Z)得
3
2
x k(k5∈ Z),
22
∴ tan()＞ t.a…n…(…3…) …………………………12分
5
7
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.关于正切函数y=tan x，下列判断不正确的是( ) (A)是奇函数 (B)在定义域内无最大值和最小值 (C)在整个定义域上是增加的 (D)平行于x轴的直线被正切曲线各支所截线段相等
4
(A)x
(B)x
2
8
(C)y
2
(D)y
8
【解析】选B.由 2x(kk∈Z)得函数