合肥一中2010～2011学年第二学期期中考试
高一数学试卷
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

每小题4分，共40分。

） 1. 在ABC ∆中，已知2a =2b =，45B =︒，则角A =( ) A. 30︒
B. 60︒
C.
60︒或120︒ D. 30︒或150︒
2.数列{}n a 中，11a =，12,()2
n
n n a a n N a ++=∈+，则5a =（ ） A.
25 B. 13 C. 23 D. 12
3．方程2
640x x -+=的两根的等比中项是（ ）
A ．3
B ．2±
C ．6±
D ．2 4．不等式
11
2
x <的解集是 ( ) A ．(,0)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．()(,0)2,-∞⋃+∞
5.已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k 等于( ） A. 6
B ．7
C ．8
D ．9
6. 已知在⊿ABC 中，B
C
b c cos cos =，则此三角形为（ ）
A ． 直角三角形 B. 等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
7.若不等式2()0f x ax x c =-->的解集是{}|21x x -<<，则函数()y f x =-的图象是（ ）
8．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138 B ．135 C ．95
D ．23
9. 设a 、b ∈R +，且4a b +=，则有
（ ）
A ．
2
11≥ab B ．
11
1≥+b
a C ．2≥ab
D ．41
122≥+b a
10. 数列{}n x 满足
1
25313322
11-+=
⋯=+=+=+n x x x x x x x x n n ，且126n x x x ++⋯+=， 则首项1x 等于
（ ）
A ．12-n
B ．2
n
C ．
621n - D ．26
n
二、填空题(请把答案填在题中横线上，每小题4分，共16分）
11．函数)3(3
1
>+-=
x x x y 的最小值为_____________. 12. 已知数列}{n a 成等差数列，且π41371=++a a a ，则)tan(122a a +＝ 13. 设数列{}n a 为公比1q >的等比数列，若45,a a 是方程24830x x -+=的两根，
则67a a +=_________.
14. 在ABC ∆中，∠A:∠B=1:2，∠C 的平分线CD 分⊿ACD 与⊿BCD 的面积比是3:2，
则cos A =
选择题答题卡(请务必把答案填写在答题卡内)
三、解答题(解答应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤，共
44分)
15、（本小题满分8分）在锐角ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、的对边，
5
cos A =
，310sin B =． (1)求cos()A B +的值；
(2)若4a =，求ABC ∆的面积．
座位号：
16（本小题满分8分）已知数列))}1({log *
2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331=
=a a (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)证明
.
11
1112312<-++-+-+n n a a a a a a
17（本小题满分8分）在数列{}n a 中，n n n a a a 22,111+==+
（1）设1
2-=n n n a
b ，证明：数列{}n b 是等差数列;
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
18（本小题满分10分）某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8m ，最大装水量为723m ，池底和池壁的造价分别为2a 元2/m 、a 元2/m ，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？ 19．（本小题满分10分）如图，在y 轴的正半轴上依次有点 ,,,,21n A A A 其中点)10,0(),1,0(21A A ，且||3||11+-=n n n n A A A A ),4,3,2( =n ，在射线)0(≥=x x y 上依次有点 ,,,,21n B B B 点1B 的坐标为（3，3），且
22||||1+=-n n OB OB ),4,3,2( =n ⑴用含n 的式子表示||1+n n A A ；
⑵用含n 的式子表示n n B A ,的坐标； ⑶求四边形n n n n B B A A 11++面积的最大值。

数学试卷答案
选择题
ABDDC BBCBD 填空题
5 3 18 3/4 解答题
15. 解：（Ⅰ） A B C ，，为锐角， 22525
sin 1cos 1(
)55
A A =-=-=
2231010
cos 1sin 1(
)10B B =-=-=
； ∴510253102
cos()cos cos sin sin 2A B A B A B +=-==-
… （Ⅱ）由（Ⅰ）可知0A B π<+<，34A B π+=
，∴ 4
C π= 由正弦定理sin sin a c A C =，可得24sin 210sin 25
a C c A =
== ∴11310sin 410622ABC S ac B ∆=
=⨯= 16 . 解：（I ）解：设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d . 由,8log 2log )2(log 29,32
2231+=+==d a a 得即d =1. 所以,)1(1)1(log 2n n a n =⨯-+=-即.12+=
n
n a （II ）证明因为
n
n n n
n a a a 21
21111=-=-++， 所以
n
n n a a a a a a 2121212
111132112312++++=-++-+-+
.
121
1211212121<-=-⨯
-=n n
17 (1)由n n n a a 221+=+得
1221
1+=-+n n
n n a a }{11n n n b b b ∴=-∴+是等差数列 n n b a b n =⋅-+=∴==1)1(111112-⋅=∴n n n a
12223221-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=n n n S n n n S 223222232⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=-
（1）-（2） n
n n n S 22
2211
2
⋅-+⋅⋅⋅+++=-- =
n n n n
n n 2222
121⋅-=⋅--- 1)1(2+-=∴n S n n -
18.解：设池底一边长为x ，水池的高为y ，池底、池壁造价分别为12,z z ，则总造价为 12z z z =+ 由最大装水量知872xy =，9
y x
∴=
12816z a x ax ∴=⋅= 214422818a
z a xy a y a x
=⋅⋅+⋅⋅=+
1441816z a a x x ⎛
⎫∴=++ ⎪⎝
⎭ 144182161896114a a x a a a x ≥+⋅=+= 当且仅当14416x x =
即9
3,3x y x
===时，总造价最低， 答：将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为3m 时，总造价最低，最低造价为51a 元。

19解：（1）9110||,3
1
||||2111=-==-+A A A A A A n n n n 且 ，
311211)3
1
()31(9)31(||||---+===∴n n n n n A A A A
（2）由（1）得4
413221)3
1(21227)31(139||||||----=
++++=+++n n n n A A A A A A n A 点∴的坐标42911
(0,())223
n --，23||22||||11==--OB OB OB n n 且
|}{|n OB 是以23为首项，22为公差的等差数列
)
12,12(2
)12(22)1(23||++∴+=-+=∴n n B n n OB n n 的坐标为
（3）连接1+n n B A ，设四边形11++n n n B A A n B 的面积为n S ，则
2
2
])31(227229[2221)32(])31[(2113111--∆∆-⋅⋅++⋅=+=+++n n A B B B A A n n S S S n n n n n n
,392291-+=
n n ,03
6311<-=-∴-+n n n n
S S ,1n n S S <+即}{n S ∴单调递减. n S ∴的最大值为24792291=+=S .。