q/2
A
4
B C
wC 1
5(q 2)l 5ql 384 EI 768 EI (q 2)l ql 24 EI 48 EI
3 3
4
q/2 A C q/2 B
B1 A1
（2）反对称荷载作用下 在跨中C截面处,挠度 wC等于零,但 转角不等于零且该截面的 弯矩也等于零 可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为l /2 的简支梁
解:将外伸梁沿B截面截成两段, 将AB 段看成B端固定的悬臂 A 梁,BC段看成简支梁.
B截面两侧的相互作用为：
2q q B a a D C
2qa
M B qa
2q
M B qa
2
2a
2
2qa
M B qa
2
q
A
B 2qa
B
D
C
简支梁BC的受力情况与 外伸梁AC 的BC段的受力情 2 M qa B 况相同
例7 下图为一空心圆杆,内外径分别为:d=40mm,D=80mm,杆的
E=210GPa,工程规定C点的[w/L]=0.00001,B点的[]=0.001弧度,试
校核此杆的刚度.
l=400mm A D B a=0.1m C B A D C
200mm F1=1kN
F2=2kN
F2
=
=
B
a
A
D
B
C
C
F2 M
第七章 弯曲变形 上课例题
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max w
A
F
B x
l
解：
w
F
A B
x
（1） 弯矩方程为
x
M ( x ) F (l x )
(1)
（2） 挠曲线的近似微分方程为
最大转角和最大挠度分别为
FRA
FRB
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
max
ql 3 A B 24 EI
x l 2
在梁跨中点处有最大挠度值 wmax w
5ql 4 384 EI
例题3 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力F的作 用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转 角. F
x 0, w 0
(4)
将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 C1 0 梁的转角方程和挠曲线方程分别为
C2 0
Fx 2 EIw Flx 2
EIw Flx Fx 2 6
2
3
y A
F
B x
wmax
l
max
max 和 wmax都发生在自由端截面处
Fl 2 Fl 2 Fl 2 （ ） max | x l EI 2 EI 2 EI Pl 3 wmax w | x l （ ） 3 EI
l
EIw M ( x ) Fl Fx (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
Fx EIw Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6
2
(4)
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6 边界条件 x 0, w 0
I ( D4 d 4 ) 64 3.14 (804 404 ) 1012 64 188 108 m 4
2
3
2
+
C
+
F2 M
F2
图3 A
D
B
C
F1l F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 -4 +0.423 10 （rad）
可得到： wC 2 0
q/2 A
θ A 2 θB 2
q l 3 ( )( ) 3 ql 2 2 24 EI 384 EI
A
4
C
q/2 q/2 C
B
将相应的位移进行叠加, 即得
B
5ql wC wC 1 wC 2 ( ) 768 EI 3 3 3 ql ql 3ql A A1 A 2 48 EI 384 EI 128 EI
例题2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的
均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max 和 wmax
q A l B
q
解:由对称性可知,梁的两 个支反力为
A x
B
FRA FRB
ql 2
FRA
l
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIw x x 2 2
Fab( l b ) A 1 | x 0 6lEI Fab( l a ) B 2 | x l 6lEI
当 a > b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大
max
Fab( l a ) B 6lEI
简支梁的最大挠度应在
w' 0 处
先研究第一段梁,令 w1 0 得
Fb 2 2 (l b 3 x 2) 0 1 w 1' 6lEI
l 2 b2 a (a 2b ) x1 3 3
当 a > b时, x1 < a 最大挠度确实在第一段梁中
2 Fb Pbl 2 2 3 w | ( l b ) 0.0642 w max x x1 EI 9 3lEI
两段梁的挠曲线方程分别为 （a）（0 x a）
b 挠曲线方程 EIw 1 M 1 F x l
转角方程
b x2 F EIw1 C1 l 2 b x3 EIw1 F C1 x D1 l 6
挠度方程
（b）（ a x l ）
b 挠曲线方程 EIw 2 M 2 F x F ( x a ) l
梁中点 C 处的挠度为
Fb Fbl 2 2 wC (3l 4b ) 0.0625 48 EI EI
2
2 Fb Fbl 2 2 3 y | ( l b ) 0.0642 w max x x1 EI 9 3lEI
结论:在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲线上无 拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度 是能满足工程要求的.
2qa
q C
B
D
q
由简支梁BC求得的B,wD 就是外伸梁AC的 B,wD 简支梁BC的变形就是MB 和均布荷载q分别引起变形的 叠加.
B
C D
M B qa
2
B
C D
2qa
M B qa
2
q
（1）求 B ,wD
C
B
D
B
( B )q D ( w D )q
C
ql qa ( B )q 24 EI 3 EI 3 M Bl 2qa ( B ) M B 3 EI 3 EI 4 4 5ql 5qa ( w D )q 384 EI 24 EI 4 MB l2 qa ( wD )MB 16 EI 4 EI
A
B
( B ) M e
)
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题5 试利用叠加法,求图 所示抗弯刚度为EI的简支 梁跨中点的挠度 wC 和两端 截面的转角A , B .
q A C B
l/2 l
q/2
解:可视为正对称荷载
与反对称荷载两种情况的叠 加.
A C
B
q/2 A C q/2
B
（1）正对称荷载作用下
3
3
3
M B qa
2
由叠加原理得:
( B ) M B
(wD ) M B
B
D
C
qa B ( B )q ( B ) M B 3 EI 4 qa w D ( w D )q ( w D ) M B 24 EI
2q A
M B qa
2
2qa A
M B qa
F1l 2 16 EI
=
+ +
l=400mm
a=0.1m
（2）叠加求复杂载荷下的变形
C
A
D
B
200mm F1=1kN A D
F1l 2 F2la B F2=2kN 16 EI 3 EI
C
=
图1
F1=1kN
B 图2
F1l a F2a F2a l wC 16 EI 3 EI 3 EI
C
+
F1=1kN
A
B
F2
A
D B
+
C
F2=2kN
l=400mm A D B
a=0.1m C
解:（1）结构变换,查表求简 单载荷变形.
200mm F =1kN 1 图1
F2=2kN
1 B
D
C
F1=1kN
图2 B
C
F2
图3 A
F2
M
D
B
C
F1l 2a w1C 1 B a 16 EI 2B 0 F2a 3 w2C 3 EI Ml laF2 3B 3 EI 3 EI F2 la 2 w3 C 3 B a 3 EI