华北水利水电学院题目：常见的矩阵及其计算课程名称：线性代数（第二版）专业班级：成员组成：联系方式：2012年10月20 日常见的矩阵及其计算摘要：矩阵是线性代数理论中极其重要的组成部分，是高等数学的一个基本的概念。

它在线性代数与数学的许多分支都有重要应用，许多实际问题都可以用有关理论得到解决。

矩阵，是由个数组成行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母表示其元素，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。

关键词：常见矩阵计算方法Common matrix and calculation Abstract:The matrix in linear algebra theory is extremely important part, of higher mathematics is a basic concept. It in linear algebra and mathematical many branches have important application, many practical problems can be solved with related theory. Matrix, consisting of a line list of regular form, Usually use capital letters said matrixes of each number, are called matrix elements, usually use lowercase said its elements, the subscript are all positive integer, they said the elements in the position of the matrix.Key words:Common matrix Calculation method§1 引言常见的矩阵有单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵等，另外，还有一些特殊的矩阵，比如行矩阵和列矩阵，仅有一行的矩阵叫行矩阵（也称行向量），仅有一列的矩阵称列矩阵（也称列向量），零矩阵是矩阵中所有元素都为零的矩阵；行数和列数相等的矩阵称为方阵；主对角元以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵；除此之外，还有单位矩阵、数量矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵等。

矩阵的运算包括加法，矩阵数乘，矩阵乘法是矩阵运算的重点。

§2 常见矩阵2.1几种特殊的矩阵1.行矩阵一个 矩阵，也称为一个维行向量。

2.列矩阵一个 矩阵 ，也称为一个 维列向量；而3.方阵行数和列数相等的矩阵，如⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ann an an n a a a n a a a212222111211为方阵。

4.对角矩阵主对角元素以外的元素全为零，如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛anm a a22115.单位矩阵主对角元全为1的对角矩阵，如记为 ，即： 。

6.三角矩阵一个 阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如， 是一个 阶下三角矩阵，而则是一个 阶上三角矩阵。

7.对称矩阵在方阵A=（ija ）n 中，如果ija =jia（i,j=1,2,…,n ）,则称矩阵为对称矩阵。

8.反对称矩阵如果A 是实矩阵，则称A 为实对称矩阵。

ija =-jia（i,j=1,2,…,n ）,则称矩阵为反对称矩阵。

9.数量矩阵主对角元相等的对角矩阵称为数量矩阵，例如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c c c 00000000000 n（其中c 为常数）为n 阶数量矩阵。

2.2一般的矩阵由数域P 中mn 个数排成m 行n 列的矩形表A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛anm am am n a a a n a a a212222111211称为一个m ×n 矩阵，其他矩阵都是这个矩阵的特殊形式。

§3 矩阵的运算3.1矩阵的加法 如果 是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说 ），则定义它们的和 仍为与它们同型的矩阵（即）， 的元素为 和 对应元素的和，即：。

给定矩阵，我们定义其负矩阵为：。

这样我们可以定义同型矩阵 的减法为：。

由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列 运算律： （ 1）交换律：；（ 2）结合律：（ 3）存在零元：；（ 4）存在负元：。

3.2矩阵的数乘设为一个数，，则定义与的乘积仍为中的一个矩阵，中的元素就是用数乘中对应的元素的道德，即。

由定义可知：。

容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律：（1 ）；（2 ）；（3 ）；（4 ）。

3.3矩阵的乘法设为矩阵，为矩阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵德列数等与矩阵的行数），所得的积为一个矩阵，即，其中，并且。

矩阵的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：（ 1）结合律：；（ 2）左分配律：；（ 3）右分配律：；（ 4）数与矩阵乘法的结合律：；（ 5）单位元的存在性：。

若为阶方阵，则对任意正整数，我们定义：，并规定：由于矩阵乘法满足结合律，我们有：，。

注意：（1）矩阵的乘法不满足交换律；（2）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵；（3）矩阵的乘法不满足消去定律，即如果AB=CB，B≠0，不一定能推出A=C.3.4初等变换与初等方阵：1.初等变换：(1)变换矩阵的某两行；(2)把非零数k乘以矩阵的某行的所有元素；(3)把矩阵的第i行的h倍加到第j行上.以上为矩阵的三种类型的初等行变换初等行变换初等行变换初等行变换，同样可以定义矩阵的初等列变换.矩阵的初等行变换、初等列变换统称为矩阵的初等变换初等变换初等变换初等变换. 矩阵的初等行（列）变换皆可逆.2.初等方阵：由单位矩阵经过一次初等变换而得的矩阵叫做初等矩阵，初等矩阵也叫初等方阵初等方阵初等方阵初等方阵. 初等方阵共分三种.§4 一些计算方法举例4.1. 求以向量()()()'3'2'11,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1-=-=-=ααα为基的向量空间3V的一组标准正交基.解 矩阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==100010001111321αααA 对分块矩阵()E A 依次左乘342312,,T T T , 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2123023210000100001,1000313200323100001,100100002222002222342312T T T 得()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------=2121212100233213213213320002361616123000212121212122334E A T T T则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------=2123021321320213216121213216121,21212121233213213210326161002121'P P取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23321321321,0326161,002121321P P P 则321,,P P P 就是由321,,ααα得到 的3V 的一组标准正交基.4.2 求下列齐次线性方程组的一个基础解系, 并写出全部解123412341234220,240,220.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+++=⎨⎪---+=⎩ 解 设方程组的系数矩阵为为A , 将A 用初等行变换化为阶梯形矩阵A =12121212241100111221000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭因此 秩A =2, 基础解系所含向量个数=4-2=2 所以 原方程的同解方程组为1234342200x x x x x x +-+=⎧⎨-=⎩即 124342x x x x x =--⎧⎨=⎩,取2x =1, 4x =0 代入得 1x =2-, 3x =0 得解向量 1η=()2,1,0,0-;取2x =0, 4x =1 代入得1x =1-, 3x =1 得解向量2η=()1,0,1,1-.所以1η, 2η为原方程组的一个基础解系那么方程组的全部解为1122k k ηη+,其中1k ,2k 为任意常数.4.3..当c , d 取何值时, 线性方程组123451234523455123451,323,2263,5433.x x x x x x x x x x c x x x x x x x x x x d ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨++++=⎪⎪+++-=⎩ 无解? 有解? 有解时, 求出一般解. 解 对增广矩阵作一系列初等变换：1111111111113211301226301226301226354331012265c c d d ⎛⎫⎛⎫⎪⎪------ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭111111111111000000122630122630000000002000002c c d d ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→→⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.从而有：)1当0,c ≠ 或者2d ≠时, ()(),R A R A B ≠ 故方程组无解;)2当0c =, 且2d =时, ()()2R A R A B ==<n =5, 故方程组有无穷多组解,且解中含有n r -=5-2=3个自由变量;)3为求出一般解, 继续对增广矩阵施行初等变换, 并将c =0, d =2代入111111101152012263012263000003000000000d 2000000⎛⎫⎛----⎫⎪⎪⎪⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. 从而有134523452,226 3.x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩ 其中345,,x x x 为自由变量, 它们可以取任意的实数.若令314253,,,x k x k x k ===则11232123314253522263x k k k x k k k x k x k x k =++-⎧⎪=---+⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩. 为所求一般解（其中123,,k k k 为任意实数）.4.4. 用矩阵给出平面上n 个点(),i i i p x y 共线的充要条件.解 设直线为y k x b =+ （4.1.1）n 个点共线是指线性方程组（把k , b 看成未知量）1122nn kx b y kx b y kx b y+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ （4.1.2）有解, 所以n 个点(),i i i p x y 共线⇔方程组（4.1.2）有解⇔秩111n x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=秩1111nn x y x y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 4.5. 求二次型()12,,,n f x x x =2114ni i j i i j nX x x =≤<≤+∑∑的秩与符号差.解 设()12,,,n f x x x 对应的矩阵为A , 则A =1222212222122221⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 于是由E A λ-=[][]1(1)2(1)(1)(2)n n λλ--+-+--=[]1(1)(21)n n λλ-+--可得A 的特征值为111,21n n n λλλ-===-=- ,所以()12,,,n f x x x 的秩=n , ()12,,,n f x x x 的符号差=1(1)2n n --=-.8.设A 为n 阶满秩矩阵, 试证明: X (A 'A )'X 是一个正定二次型, 这里X =()12,,,n x x x .证明 设A 是满秩矩阵, 令'Y ='A 'X , 其中Y =()1,,n y y , 则'X =()1''AY-是非退化线性替换, 且X (A 'A )'X ='Y =22212n y y y +++(5.2.1)由(5.2.1)看出, 此二次型的正惯性指数与秩都等于n . 所以 X (A 'A )'X 是正定二次型.4.6. 设A 为m 阶实对称矩阵, 且正定. B 为m n ⨯实矩阵. TB为B 的转置矩阵.试证明：T B AB 为正定矩阵的充分必要条件是秩()B =n .证明 先证明充分性 首先()TT T B AB B AB =1,0n x Rx ⨯∀∈≠由秩B =n , 知B x ≠0, 而A 为正定矩阵, 故Tx()()()TTBAB x Bx A Bx =>0此即T B AB 为正定矩阵.再证明必要性 用反证法 若秩B <n , 则0Bx =有非零实数解0x 存在, 即B0x =0,但0x ≠0, 由T B AB 为正定矩阵, 知0<()T T 00x B AB x =()()T00Bx A Bx(5.3.1)另一方面, 因为B 0x =0, 所以()()T00B B x A x由于(5.3.1), (5.3.2)矛盾, 故秩B =n所以 T B AB 为正定矩阵的充分必要条件是秩()B =n .参考文献注1：郑广平，裘祖干 等．线性代数与解析几何［M ］．上海：复旦大学出版社，2003．注2：李志慧，李永明．高等代数中的典型问题与方法［M ］．北京: 科学出版社， 2008．注3：上海交通大学数学系．线性代数［M ］．北京：科学出版社，2007.分工情况***负责前两部分的编写，***负责后两部分的编写，最后共同修改之后，完成本次论文。