一、以下结论是否成立，如成立，试证明，否则举反例。
（每题4分，共24分）1．若a为f’(x)的k重根，则a为f(x)的k+1重根，这里f’(x)表示多项式f(x)的微商（或导数）。
2．设A为m*n阵，B为n*m阵，且m>n，则|AB|=0。
3．若A，B均为n阶实对称阵，具有相同的特征多项式，则A与B相似。
4．设a1，a2，a3，a4线性无关，则a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4+a1的秩为3。
5．设V1，V2均为线性空间V的子空间，满足V1与V2的交集为{0}，则V=V1○+V2。
6．设A为n阶正定阵，则一定存在正定阵B，使A=B2。
二、（10分）已知线性方程组Ax=kb1+b2，其中1 1 -12 1A=（-1 -2 1 ），b1=（1），b2=（3 ）1 -1 -1 3 -1求k，使方程组有解，并求有解时的通解。
三、（10分）已知A是n阶实对称阵，a1，……，a n是A的特征值，相对应的标准正交特征向量为b1，……，b n，求证A=a1b1b1T+……+a n b n b n T这里“T”表示转置。
1 0 1四、（12分）设线性变换/A在线性空间V的基a1，a2，a3下矩阵为（-2 1 0 ）1 1 31.求值域/A V，核/A-1(0)的基。
2.问V=/A V+rA-1(0)吗？为什么。
五、（10分）设A=(a ij)n*n，如果a i1+a i2+……+a in=0，i=1,……,n，求证A11=A12=……=A1n这里A ij为a ij的代数余子式。
六、（12分）设A为n阶矩阵，试证A2=A的充要条件为r(A)+r(I-A)=n这里I为n阶单位阵，r(A)表示A的秩。
七、（10分）设A为4阶矩阵，且存在正整数k，使A k=0，又A的秩为3，分别求A与A2的若当（Jordan）标准型。
八、（12分）证明，若f(x)与g(x)互素，并且f(x)，g(x)次数都大于零，那么可以选取u(x)，v(x)使a(u(x))<a(g(x))，a(v(x))<a(f(x))，且有f(x)u(x)+ g(x)v(x)=1并且这样的u(x)，v(x)是唯一的。
这里a(f(x))表示f(x)的次数。
一、填充题（每小题6分，共30分）1．设a1，a2，a3，b1，b2均为四维列向量，且四阶行列式| a1，a2，a3，b1|=m，| a1，a2，b2，a3|=n则四阶行列式| a1，a2，a3，(b1+b2)|= 。
2．已知a=(1，2，3)，b=(1，1/2，1/3)，设A=a T b，其中a T表示a的转置，则A*= 。
3．设矩阵A的行列式因子为1，a-1，(a-1)3，则A的初等因子为，A的若当标准型为。
4．设V是数域P上全体次数<4的多项式与零项式组成的线性空间，且x2，x3+x，x2+1，x+1是V的一组基，则x2+2x+3在这组基下的坐标（写成行向量形式）为。
5．f(x)=x4+x3-3x2-4x-1，g(x)=x3+x2-x-1的最大公因式(f(x), g(x))= 。
二、选择题（每小题6分，共30分）1．设向量组a1，a2，a3线性无关，向量b1可由a1，a2，a3线性表示，而向量b2不能由a1，a2，a3线性表示，则对于任意常数k，必有（）(A) a1，a2，a3，kb1+b2线性无关；(B) a1，a2，a3，kb1+b2线性相关；(C) a1，a2，a3，b1+kb2线性无关；(D) a1，a2，a3，b1+kb2线性相关。
2．设A是m*n矩阵，B是n*m矩阵，则（）(A) 当m>n时，|AB|不等于0；(B) 当m>n时，|AB|=0；(C) 当n>m时，|AB|不等于0；(D) 当n>m时，|AB|=0。
3．设n阶矩阵A可逆（n>=2），A*为A的伴随矩阵，则（）(A) (A*)*=|A|(n+1)A；(B) (A*)*=|A|(n-1)A；(C) (A*)*=|A|(n+2)A；(D) (A*)*=|A|(n-2)A。
1 2 34．设Q=（2 4 t ），P为三阶非零矩阵，且满足PQ=0，则（）3 6 9(A) 当t=6时，P的秩必为1；(B) 当t=6时，P的秩必为2；(C) 当t不等于6时，P的秩必为1；(D) 当t不等于6时，P的秩必为2。
5．已知n1，n2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，a1，a2是Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解（一般解）必是（）(A) (n1-n2)/2+k1a1+k2(a1+a2)；(B) (n1+n2)/2+k1a1+k2(a1-a2)；(C) (n1-n2)/2+k1a1+k2(n1+n2)；(D) (n1+n2)/2+k1a1+k2(n1-n2)。
三、（20分）设多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a0是整系数多项式，a n不等于0，p是素数，若p|a i(i=0，1，2，…，n-1)，但p&a n，p2&a0，求证f(x)是有理数域上不可约多项式。
四、（12分）设有n元实二次型f(x1，…，x n)=( x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(x n-1+a n-1x n)2+(x n+a n x1)2，其中a i(i=1，…，n)为实数，试问：当a1，a2，…，a n满足何种条件时，二次型f(x1，x2…，x n)为正定二次型。
五、（18分）设V是数域P上的一个n维线性空间，a1，…，a n是V的一个基，用V1表示由a1+…+a n生成的线性子空间，令V2=|k1a1+k2a2+…+k n a n|k1+k2+…+k n=0，k i属于P|(1)证明V2是V的子空间，(2)证明V=V1○+V2，(3)设V上线性变换A在基a1，…，a n下的矩阵A是变换矩阵（即：A的每一行与每一列都只有一个元素为1，其余元素全为0），证明V1与V2都是A的不变子空间。
六、（15分）设A是n维线性空间V上可逆线性变换。
(1) 试证A的逆变换A-1可表成A的多项式。
(2) 如令f(a)为A的特征多项式，试证当多项式g(a)与f(a)互素时，g(A)是可逆线性变换。
七、（15分）设a1，…，a n与b1，…，b n是n维欧氏空间V中两个向量组，满足<a i，a j>=<b i，b j>，i,j=1，…，m，这里< ，>表示内积，试证：存在正交变换A，是Aa i=b i，i=1，…，m。
八、（10分）设A1，A2，…，A n都是n阶非零矩阵，满足当i=j时，A i A j=A j；当i不等于j时，A i A j=01证明：每个A i（i=1，…，n）都相似于对角矩阵[ 0 ]…2004年一、（18分）已知齐次线性方程组(a1+b)x1+a2x2+…+a n x n=0{a1x1+(a2+b)x2+…+a n x n=0……………………………a1x1+a2x2+…+(a n+b)x n=0其中a1+a2+…+a n不等于0，试讨论a1，…，a n和b满足何种条件时，(1)方程组仅有零解，(2)方程组有非零解。
此时，用基础解系表示出所有解。
二、（17分）设实二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+ax32+2x1x2+2x1x3-2x2x3(1)求正交变换X=QY把f化成标准形。
(2)问a为何值时，f的秩为2？此时，求f(x1，x2，x3)=0的解。
三、（15分）设a1，…，a n为互不相同的整数，g(x)=(x-a1)…(x-a n)-1(1)求证g(x)在有理数域Q上不可约。
(2)对于不等于-1的整数t，问h(x)=(x-a1)…(x-a n)+t在有理数域Q上是否可约，为什么？（15分）设f为数域P上线性空间V上的线性变换，多项式p(x)，q(x)互素，且满足p(f)q(f)=0。
四、求证V=W○+S且W，S为f的不变子空间，这里W=K(p(f))，S= K(q(f))，其中K(g)表示g的核。
五、（10分）设m1，m2，m3为欧式空间V的标准正交基，a=m1-2m2，b=2m1+m3，求正交变换H，使H(a)=b。
六、（10分）设A为n阶方阵，求证存在正整数m，使秩(A m)=秩(A m+1)，并证存在n阶矩阵B，使A n=A n+1B。
七、（15分）设a，b均为非零n维列向量，记A=ab T(1) 求A的最小多项式。
(2) 求A的若当标准形。
八、（20分）设V是数域P上全体2阶矩阵所构成的线性空间，给定一矩阵A属于V，定义V上的变换Q如下：QX=AX，VX属于V(1)证明：Q为V上的一个线性变换。
(2)取V的一组基e1=（1 0），e2=（0 1），e3=（0 0），e4=（0 0），0 0 0 0 1 0 0 1求Q在此组基下的矩阵。
(3)求证如果A可相似对角化，则可找到V的一组基使Q在此组基下的矩阵为对角阵。
九、（15分）设A，B分别为m阶和n阶矩阵，求证A，B无公共特征值的充要条件为矩阵方程AX=XB只有零解。
十、（15分）设线性空间V的两组基a1，…，a n；b1，…，b n。
(1) 求证对Vi属于{1，…，n}，Ea j属于{a1，…，a n}，使b1，…，b i-1，a j，b i+1，…，b n为V的基。
(2) 如果n=3，对Vi属于{1，2，3}，是否存在j,k属于{1，2，3}，j不等于k，使b i，a j，a i为V的基，为什么？。