热传导方程及MATLAB 在其的应用摘要：数学物理方程主要是偏微分方程，热传导方程是最为典型的数学物理方程之一。

为了对热传导方程有个清晰地理解，论文重新阐述了热传导方程的推导。

同时，求解热传导方程的方法也有很多种，但所得的结果往往是一个复杂的积分或级数，不能直观地表达出其物理意义，为了使这些公式中的物理图像展现出来，论文对MATLAB 在其的应用作了些浅略的探讨。

关键字：数学物理方程 热传导方程数学物理方程是指在物理学、力学、程222222222()u u u u txyza∂∂∂∂=++∂∂∂∂、热传导方程u t∂=∂斯方程2222220u u u xyz∂∂∂++=∂∂∂是最为典型的三个方程。

在参考相关文献的基础上，本论文主要对热传导方程及MATLAB 在其的应用做一个简要的介绍。

物体温度分布不均匀，物体内部必然会产生热应力，热应力过于集中，物体就会产生裂变，从而破坏物体原有的形状和结构，工程技术中称此现象为热裂。

在建造大坝时，混凝土释放的水化热使大坝的温度分布极不均匀；在浇铸铸件过程中，散热条件不同，会导致铸件各点间温度变化的梯度过大……。

此外，还有好多可以产生热裂的现象。

为有效防止热裂，就必须清楚物体各点的温度分布情况。

[1]一、热传导方程的导出物理方程是实际上是寻求不同定解问题的解，而定解问题有定解条件和泛定方程组成。

不同的物理问题可能得到同一类方程，但因定解条件不同，因而就可能得到不同的定界问题。

（一）热传导方程泛定方程的推导在三维空间中，考虑一均匀、各向同性的物体，物体内部由于温度分布不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象称为热传导。

构建物体热传导物理模型时，我们必须基于两个方面。

一是能量守恒定律：物体内部的热量增加等于通过物体的边界流入的热量与物体内部的热源所产生的热量的总和，即：21QQ QQ-=+入内其中(1,2)i i Q =表示在i t 时刻物体内部的热量，Q 入表示在12t t ⎡⎤⎣⎦，时刻内通过边界流入物体的热量，Q 内表示在12t t ⎡⎤⎣⎦，时刻内物体内部热源产生的热量。

二是热传导傅里叶定理：考察某物体G 的热传导问题时，以函数(u x (,,,)x y z 处及t 时刻的温度。

在物体内任意沿法向n方向，物体在无穷小时段d t 内，流过d t 、热量通过的面积ds 及温度沿(,,)udQ k x y z dsdtn ∂=-∂其中，(,,)k x y z 称为物体在(,,)x y z 处的热传导系数，它应该取正值；u n∂∂ 称为温度的法向导数，它表示温度沿法向n的方向的变化率；等式中的负号表示热量是由高温向低温流动，而温度梯度gradu n⋅是由低温区指向高温区，故热流方向总与温度梯度方向相反。

在物体G 内任取一闭曲面Γ，它所包围的区域记为Ω，则在时间段12t t ⎡⎤⎣⎦，内通过闭曲面Γ流入的全部热量为： 21{(,,)}ut k x y z ds dt tnQΓ∂=∂⎰⎰⎰ 入（1）若G 内有热源，其热源密度为(,,,)F x y z t ，则在时间段12t t ⎡⎤⎣⎦，内在区域内产生的热量为：21(,,,)t dt F x y z t dVtQΩ=⎰⎰⎰⎰内（2）对G 内各点由时刻1t 温度1(,,,)u x y z t 变化到时刻2t 温度2(,,,)u x y z t ，共吸收热量：2112[(,,,)(,,,)]c u x y z tu x y z t dVQQ ρΩ-=-⎰⎰⎰ （3）其中，c 为物体各点的比热，ρ是密度。

对各向同性的均匀物体来说c 与ρ都是常数。

由能量守恒定律，因此就成立：22112112[(,,,)(,,,)]{(,,)}(,,,)c u x y z tu x y z t dVu t t k x y z ds dt dt F x y z t dVtt n QQ Q QρΩΓΩ-=-=+∂=+∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 入内（4）今假设函数关于变量x ，y ，z 有二阶连续导数，关于有t 一阶连续导数，则有：2121(,,,)(,,,)ut u x y z t u x y z t dt tt∂-=∂⎰ （5）所以：212112[(,,,)(,,,)][]c u x y z tu x y z t dVut c dt dV t t QQ ρρΩΩ-=-∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （6）利用奥斯托洛格拉特斯基（奥氏）公式，可以把（1）式化为：2121{(,,)}[()()()]ut k x y z ds dt tn u u u t kk k dVtxxy y z z QΓΩ∂=∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 入（7）将（6）、（7）式代入（4）式，可得：21221112[][()()()](,,,)u t c dt dV t t u u u t t kk k dV dt F x y z t dVttxx y y z z QQ Q Q ρΩΩΩ∂-=∂=+∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰入内交换积分次序，可以得到2211[()()()(,,,)]u u u u t t c dV dt kkkF x y z t dVdttttxxyyzzρΩΩ∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()(,,,)u u kkF x y z t yyzz∂∂∂∂++∂∂∂∂k 、c 、ρ为常数，若记2k c a ρ=、f =2222222()u u u u ftxyza∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ （8）称之为非齐次热传导方程，a 表示物体温度变化能力的指标，称导温系数。

若物体内部无热源，即0F=，则有：2222222()u u u u txyza∂∂∂∂=++∂∂∂∂ （9）若物体是一个薄片，上下底面不与周围介质进行热交换，则方程（9）变为：22222()u u u t xya∂∂∂=+∂∂∂ （10）若物体是细长的杆，侧面不与周围的介质进行热交换，垂直轴线的截面上各点温度分布相同，则方程（9）可化为：222u u t xa∂∂=∂∂ （11）（9）、（10）、（11）分别称为三维、二维、一维的热传导方程。

（二）定解条件的提出从方程的导出过程可以看出，热传导方程是热学规律的数学形式。

具有相同常数k 、c 、ρ，的物体，不管它的形状如何，所处的外界条件及起始的温度状况如何，它满足相同的方程。

但要预测温度变化的状况，求出描绘温度变化的函数(,,,)u x y z t ，不能只依赖于方程，还必须考察物体所处的外界状况及起始时的状况。

描绘这些状况的数学条件分别称为边界条件和初始条件。

显然，在起始温度相同而外界条件不同，或外界条件相同而起始温度不同时，描绘温度变化的函数(,,,)u x y z t 都不会是相同的。

1、初始条件定量地表达初始状态的式子称作为初始条件。

物体热传导的初始条件是指0t =在时，物体中温度的分布，即：(,,,0)(,,)u x y z x y z ϕ=其中，(,,)x y z ϕ为已知函数。

2、边界条件一块烧红的铁放在冷水了要比放在热水里冷却得快，边界上的状况影响着边界内侧，内侧又影响着临近各点直至整个区域。

因此，考察一个物理问题不能不考虑外界对它的影响。

定量地描述边界状况的数学式子就是边界条件。

（1）第一种边界条件已知物体与外界接触表面的温度，这种条件的数学表达式为：(,,)(,,,)(,,,)x y z u x y z t f x y z t ∈Γ=其中，Γ表示物体的边界曲面，(,,,)f x y z t 是定义在(),,x y z ∈Γ，0t ≤≤T 的已知函数。

（2）第二种边界条件在物体和外界接触表面上知道的不是它的表面温度而是热量在表面各点的流速，也就是说在表面各点的单位面积上单位时间内所流过的热量Q 是已知的。

这种外界条件实际上表示温度u 在曲面上的法向导数是已知的。

其的数学表达式为：(,,)(,,,)x y z uf x y z t n∈Γ∂=∂其中， (,,,)f x y z t 是定义在(),,x y z ∈Γ，0t ≤≤T 的已知函数。

（3）第三种边界条件能测量到的仅是和物体接触处的介质的温度1u ，1u 与物体表面上的温度u 往往并不相同。

在已知时研究边界条件还必须利用物理中另一个热传导实验定律（牛顿定律）：物体从一个介质流到另一个介质的热量和两个介质的温差成正比：11()dQ u u dsdtk=-这里的比例常数1k 称为两介质间的热传导系数，取正值。

考察在物体中无限贴近于此表面的曲面1Γ，由于在物体表面热量不能积累，因此在曲面1Γ上的热量流速等于表面Γ的热量流速。

流过曲面1Γ的热量由傅里叶定律决定，而流过曲面Γ的热量由牛顿定律决定，因此有关系式11()ukdsdt k u u dsdt n∂-=-∂即：111uk u kk u n∂+=∂ 由于1k 、k 都是正数，因此这种边界条件还可以写成：(,,)()(,,,)x y z uu f x y z t nσ∈Γ∂+=∂其中， (,,,)f x y z t 是定义在(),,x y z ∈Γ，0t ≤≤T 的已知函数，σ为已知正数。

这种边界条件称为热传导的第三种边界条件。

（4）稳定温度与拉普拉斯方程[2]当外界环境不随时间而变化时，不管物体的初始温度怎样，当时间t →∞时，物体的温度总是会趋于某种平衡状态。

这时温度u已与时间t 无关，因此它满足拉普拉斯方程：2222220u u u xyz∂∂∂++=∂∂∂在温度稳定时，热量仍在继续流动，不过在任一曲面所包围的区域中热量的流进和流出的代数和都等于零，因此温度不变化。

对于这种方程定解条件中不再会有初始条件。

和热传导方程对应，它也有三种边界条件。

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热传导方程主要是偏微分方程，它的解基本是用公式推导，所得的结果往往是一个复杂的积分或级数，其中还免不了使用特殊函数。

热传导方程的解，尽管都有明确的物理意义，可是怎样能从眼花缭乱的数学表达式中看出其中所表达的物理图像，是一个非常棘手的问题。

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