数学物理方程小结 第七章 数学物理定解问题数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。

§7.1数学物理方程的导出一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。

（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。

（一） 三类典型的数学物理方程（1）波动方程： 0:),(:),(:22222222==∂∂-∂∂=∆-∂∂→f 当无外力时t x f xua t u 一维t r f u a tu 三维 此方程 适用于各类波动问题。

（特别是微小振动情况.）（2）输运方程： 0:).(:),(:2222==∂∂-∂∂=∆-∂∂→f 无外源时t x f xu a t u 一维t r f u a tu 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。

（3）Laplace 方程：.0(:0:).程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==∆=∆→稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。

§7.2定解条件定解条件包含初始条件与边界条件。

（1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。

例如波动方程应有二个初始条件, 一般选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。

而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）,而Laplace 方程没有初始条件。

（2） 三类边界条件第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1） 第二类边界条件： u n |Σ = f （2） 第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3） 其中H 为常数. 7.3二阶线性偏微分方程分类判别式 ,,0,,0,,0221121222112122211212抛物型a a a 椭圆型a a a 双曲型a a a =-=∆<-=∆>-=∆ 波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.7.4 达朗贝尔公式对一维无界的波动方程,当不考虑外力时,定解问题为()()()()()()()[]()⎰+-+++-====∂∂-∂∂atx at x t d aat x at x t x u 解为x x u x x u x u a t u ξξψϕϕψϕ2121,:0,0,022222对半无界问题作延拓处理:对第一类齐次边界条件作奇延拓,而对第二类齐次边界条件作偶延拓.第八章 分离变量法8.1分离变量法主要步骤:1.边界条件齐次化,对非齐次边界条件首先把它化为齐次的. •2.分离变量 u(x,t) =X(x) T(t) （1） [以后对三维问题也是如此]•3. 将（1）式代入原方程得出含任意常数λ的常微分方程, (称为本征方程) 而λ为本征值.•4.由齐次边界条件确定本征值,并求出本征方程.(得出的解为本征函数)•5.根据迭加原理把所有满足方程的线性无关解迭加后,就能得通解. •6.再由初始条件确定系数.一维波动方程在第一类齐次边界条件下的()()()()()()()()()4,sin 2:3,sin 22,sin 0,:1,sinsin cos ,:0011ξπξξψπξπξξϕϕππππd ln a n b 同样d ln l a x l xn a x u 代入边入边界l x n l at n b l at n a t x u 通解ln ln n n n n n ⎰⎰∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞=∞=一维波动方程在第二类齐次边界条件下的通解:()()()()()()()()7.cos 2,cos 26.1,15,cossin cos .000000100ξπξξψπξπξξϕξξψξξϕπππd ln a n B d l n l A d l B d l A l x n l at n B l at n A t B A t x u ln ln ll n n n ⎰⎰⎰⎰∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∞=一维输运方程在第一类齐次边界条件下的通解:()()()()9,sin 28,sin ,012⎰∑==⎪⎭⎫⎝⎛-∞=ln t l a n n n d ln l c lx n ec t x u ξπξξϕππ一维输运方程在第二类齐次边界条件下的通解:()()()()()11,cos 2,110,cos ,00002⎰⎰∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞=ln ltl a n n n d ln l c d l c lxn ec t x u ξπξξϕξξϕππ对其他的齐次边界条件,如本征函数已知也可直接求解,而对本征函数不熟则只能用分离变量法来求解. 8.2 非齐次边界条件的处理 常用方法有 1) 直线法 :对边界条件为: u(0,t)=g(t), u(L,t)=h(t) .令 ()()()()()x Lt g t h t g t x u t x v ---=,, ,可把边界条件化为齐次,但一般情况下方程变为非齐次. •只有当g,h 为常数时,方程才不变. 2) 特解法•把 u 化为两部分,令 u=v+w 使v 满足齐次边界条件与齐次方程,而使w 满足齐次方程与非齐次边界条件.下面通过实例来介绍此方法. • 例题 求解下列定解问题• U tt －a 2 U xx = 0 • U|x=0 =0, U|x=L = ASin ωt • U|t=0 = 0 , U t ∣t=0 = 0 •( 其中A 、ω为常数, 0＜x ＜L , 0＜ t ）•解：令 u=v+w ,使w 满足波动方程与非齐次边界条件, •得出()altaxA t x w ωωωsinsin sin,第九章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题一.拉普拉斯方程与亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分 离变量结果.1. 拉普拉斯方程在球坐标下的通解:()()()1,,1,,,1ϕϑϕϑim m l l L ll Y r B r A r u ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+其中Ylm为球函数,拉普拉斯方程在球坐标下的解不依赖于边界条件. 在轴对称时(1)式退化为()()()∑∞=+⎪⎭⎫⎝⎛+=012,cos ,l l l l l l P r B r A r u θθ2. 拉普拉斯方程在柱坐标下:()()()()()()()()()()()()()()()()()()..55.0:4,,0,ln :4;:3,04.01.3.022,1,0,sin cos 1.,,222222222''2程为m 阶Bessel方R m x dxdR x dx R d x 式为今x m F E R 式解为Bz A z Z 的解为R m d dR d R d Z Z m m m b m a z Z r R z u =-++==+=+===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-==+=ΦΦ=ρμρμρμρρρμλϕϕϕϕϕρΛ(5)式其解为m 阶Bessel 函数,解依赖于边界条件,当上下底为边界条件是齐次时, μ<0.对应的解是虚贝塞尔函数.3） 亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.在球坐标下:()()()ϕϑϕϑ,,,Y r R r u =其中Y 为球函数,R 为球贝塞尔函数.在柱坐标下:.()()()()()()()()()()()()()5.0:4,;4.01.3.022,1,0,sin cos 1.,,22222222222222''2=-++=-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=+==+=ΦΦ=R m x dxdR x dx R d x 式为今x k 令R m k d dR d R d Z Z m m m b m a z Z r R z u ρμνμρνρρρνλϕϕϕϕϕρΛ (5)式其解为m 阶Bessel 函数, 二、常微分方程的级数解法1. 掌握常点邻域的级数解法.2. 掌握正则奇点邻域的级数解法.3.知道无穷级数退化为多项式的方法. 三. 知道Sturm-Livouville 本征值问题的共同性质•当k(x),q(x)和ρ(x)都只取非负的值(≥0), Sturm-Livouville 方程共同性质为:•1)当k(x),k ’(x)和q(x)连续且x=a 和x=b 最多为一阶极点时,存在无限多个本征值及对应的本征函数:()()()()ΛΛΛΛx y x y x y x y k k 321321,,≤≤≤≤≤λλλλ2)所有本征值λn ≥03)对应于不同本征值的本征函数带权正交()()()()m n dx x x y x y banm≠=⎰,0ρ4)本征函数族构成完备系()()∑∞==1n n n x y f x f第十章 球函数1. 轴对称的球函数当物理问题绕某一轴转动不变时,选此轴为z 轴这时物理量u 就与φ无关,m=0.此时球函数Y(θ,φ)就为L 阶勒让德多项式.即Y=P l (cos θ) 1) 勒让德多项式1. 勒让德多项式级数形式:()()()()()()1.!2!2!!22121202∑-=-----=l 或l n nl lnl x n l n l n n l x P 2. 勒让德多项式微分形式:()()()2.1!212l ll l l x dxd l x P -= 3.前几项为:P 0(x)= 1, P 1(x) =x=cos θ, •P 2(x)=(3x 2-1)/2, ….•一般勒让德多项式的幂次取决L•当L 为偶数时都为偶次幂项,L 为奇数时都为奇次幂项. 对特殊点x=1,0.()()()()()()()()(),!!2!!1210,00,1,11212n n P P x P x P P nn n l ll l --==-=-=-•4.勒让德多项式正交关系()lk l k l N dx x P x P δ211)(=⎰- (3) •5.勒让德多项式的模 122,1222+=+=l N l N l l (4) 6.广义傅里叶级数 :当f(x)在[-1,1]连续可导,且在x=-1与1有限时.()()()(),212111⎰∑-∞=+==dx x P x f l f x P f x f l l l l l (5) •7.在球坐标下Laplace 方程: △u= 0的通解为:轴对称()()()()()∑∑∑∞=+∞=-=+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=01017,cos 6,,l l l l l l l ll m lm l l l l P r B r A u Y r B r A r u θϕθθ (6)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有两自然边界条件,r=0与r →∞,球内解包含r=0,•u 有限, ()∑∞===0cos ,0l l ll l P r A u B θ (7)•而A l 由球面的边界条件确定,同样对球外区域两系数由球面的边界条件与r →∞, 两个条件确定. 8. 母函数()∑∞==+-02cos cos 211l l l P r r r θθ (8)9. 递推公式()()()()()()()0.12.2,112'1'1''1'111>-=+-+=++=+-+-++-l P P P l xP P P P x P l x lP x xP l l l l l l l l l l l二.连带勒让德函数•在一般情况下,物理量u 与φ有关,故球函数Y 是连带勒让德函数与周期函数的乘积. 1. 连带勒让德函数()[]()x P xm l m 221-=Θ (1)2.连带勒让德函数的微分表示()().1!21222lml m l lmml x dxd l x P --=++ (2) 从(2)可得当L 一定时,m 的取值为 m=0,1,2…L.共有L+1个值.而三角形式球函数Y （θ,φ）中,cosm φ,sinm φ为不同态,共有2L+1个态.3.正交关系()()()()()!!1223.2211m l m l l 模平方NN dx x P x P mllk ml m km l -++==⎰-δ 4. 球函数Y 的两种表示形式. 第十一章 柱函数 一、 掌握三类柱函数的基本性质一般我们称Bessel 函数Jm(x)为第一类柱函数. 而把Neumann 函数Nm(x)称为第二类柱函数 . 1）对于第一类柱函数与第二类柱函数的线性组合.()()()()()()x iN x J x H x iN x J x H m m mm m m-=+=21称为第一种与第二种汉克尔函数.而汉克尔函数称为第三类柱函数2) x →0和x →∞时的行为()()()()()()()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛---∞→⎪⎭⎫⎝⎛--∞→∞→∞→-→→→→==⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→∞→〉==4224210002lim ,2lim 42sin 2lim ,42cos 2lim lim ,lim 0.0lim ,1lim ππππππππππππm x i m x m x i m x m x m x m x m x m x x e xx H e xx H m x x x N m x x x J x J x N m x J x J3) 递推公式()()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()4.3.212.1.211!21211!11'1'110122022x J xx J m x J x J x x J m x J 展开与把x J x x J x dxdxx J x k m k k x k m k dx d x J dx d m m m m m m m m m m mm k k k m k k kk m km m -+-+∞=-+∞=+=+-=-=-=⎪⎭⎫⎝⎛++Γ-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++Γ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑4） 贝塞尔函数的零点对m 阶贝塞尔方程()()()()()()()()()()0)(::1.0.,0.00'222222====〉==-++ρμρμρμρμρμμρmm nm n m nmmJx 本征值x 记JJ R 件对柱侧面的齐次边界条时当x R m xdx dRxdx Rdx对第一类齐次边界条件 得出第n 个零点对第二类齐次边界条件 二．贝塞尔函数的正交关系 .• 对于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区间 • [0,ρ0]上带权重ρ正交.• ()()()()()()1.][20nk m nm kmm nmNd J J δρρρμρμρ=⎰•• 2）广义傅里叶- 贝塞尔级数•()()()()()[]()()()()3.12.021ρρρμρρμρρd J f Nf J f f m nmm nn m n mn n ⎰∑==∞=• 3）Laplace 在柱坐标下的通解 • 轴对称m=0,柱内解为• 在侧面为第一类齐次边界条件时•()()()()()()()()()()2.,1.,101110000100⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∞=∞=ρρρρR x J z R x sh B z Rx ch A z B A z u 条件时侧面为第二类齐次边界R x J z R x ch B z Rx sh A z u n n n n nn n n n n nn• 其中系数An,Bn 由上下底边界条件确定.• 在上下底为齐次边界条件时, μ≤ 0,R 的解为虚宗量贝塞尔函数.记为I m (x)• 同样可得Laplace 方程在柱内解 • 当轴对称时m=0• 上下底满足第一类齐次边界条件时解为•()()()()3.cos,:2.sin ,0001H z n H n I A z u 对第二类齐次边界条件H z n H n I A z u n n n n ππρρππρρ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑∞=∞=• 输运方程与波动方程在柱坐标下的解 • 1) 解的形式: u(r ,t)=T(t)v(r ) • V 满足亥姆霍兹方程.在侧面与上下底齐次边界条件下能完全确定本征值,例如上下底满足第一类齐次边界条件. 在轴对称情况下m=0 对输运方程柱内的解:上下底满足第一类齐次边界条件()()1.sin ,,2221,1000t H l x al n n nl n eH zl x J a t z u ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞==∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=πρπρρρ波动方程在柱内的解:• 在上下底满足第一类齐次边界条件下•()[]()2002000000)(2.sin sin cos ,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∞ρπρρπρnnl n nlnl nl nl nl x H l k x J H z l at k b at k a t z u• 二维极坐标下的解:• 侧面满足第一类齐次边界条件•()[]()∑∞=+=10000sin cos ,n n n n n n k J at k d at k c t u ρρ （3） • 侧面满足第二类齐次边界条件•()[]()()4.sin cos ,1011100ρρn n n n n n k J at k d at k c t b a t u ∑∞=+++=• 第十二章 积分变换法 • 一、傅里叶变换法•1。