设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
2010年8月
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解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人
员数, 这样我们建立如下的数学模型。
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60 x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ≥ 0
x11+ x12+ x13+
x21 + x22 + x23 +
x31 ≤ 100 x32 ≤ 100 x33 ≤ 60
(供应量限制） (供应量限制） (供应量限制）
xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3
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例.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数”来定 量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有1、2、 3、4种标准汽油，其特性和库存量列于表4-6中，将这四种标准汽油混合， 可得到标号为1，2的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求列于 表4-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油 的性能指标，又使2号汽油满足需求，并使得1号汽油产量最高？
(x11+x21+x31)≤100
(x12+x22+x32)≤100
(x13+x23+x33)≤60
通过整理，得到以下模型：
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目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件： s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料2不超过50%）
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丙使用的原料单价*原料数量，故有 目标函数
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利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙
Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33） -65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
不小于 100 2010年8月
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解：设xij为飞机汽油i中所用标准汽油j的数量(L)。 x11 x12 x13 x14 目标函数为飞机汽油1的总产量： 库存量约束为： x11 x21 380000 x12 x22 265200
13
x13 x23 408100 x14 x24 130100
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要制作100套钢筋架子，每套有长2.9m、2.1 m和1.5m的钢筋各一根。已知原材料长7.4m， 应如何切割，使用原材料最节省。 解：所谓合理利用原材料，就是要使料头总 长最少。表1.14是节省材料的几种较好方案。
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设按Ⅰ种方案下料的原材料数x1根，方案Ⅱ 用x2根，方案Ⅲ用x3根，方案Ⅳ用x4根，方 案Ⅴ用x5根， 根据表1-14可列出约束条件：
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样 我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33； 目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个； 供应量限制 3 个。
11 12 13 14
j 1
2.85 x21 1.42 x22 4.27 x23 18.49 x24 0
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综上所述，得该问题的数学模型为：
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max
x11 x12 x13 x14
x21 x22 x23 x24 250000 x x 380000 21 11 x12 x22 265200 408100 x13 x23 x x 130100 14 24 2.85 x11 1.42 x12 4.27 x13 18.49 x14 0 2.85 x21 1.42 x22 4.27 x23 18.49 x24 0 16.5 x11 2 x12 4 x13 17 x14 0 7.5 x 7 x 13 x 8 x 0 21 22 23 24 xij 0, (i 1, 2; j 1, 2, 3, 4)
目标是使用料最少，即
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◆ 方案选择。 某厂计划期分为n各阶段，在第j(j=1,…,n)个 阶段，生产上要用rj个专用工具。到阶段末， 凡在这个阶段内使用过的工具都应该送去修 理后才能再使用。修理分两种，一是慢修， 即等某种规格工具积压到一定批量后集中修， 每件b元，需要p个阶段能取回。二是送去后 立即修，这样费用贵一些，每件c(c>b)元， q(q>p)个阶段可取回。新购一个这样的工具 需a(a>c)元。
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所以上述问题可描述为下面线性规划模型：
xj= rj
(j=1,…,q+1)
xj+ zj-q-1= rj
(j=q+2,…,p+1)
xj+ zj-q-1 +yj-p-1 = rj (j=p+2,…,n) yj+ zj + sj + sj-1 = rj (j=1,…,n) yj=0 zj=0 (j≥n -p) (j≥n-q)
标准汽 油
表
辛烷数
107.5 93.0
蒸汽压力(g/cm2)
7.11×10-2 11.38 ×10-2
库存量(L)
380000 265200
1 2
表
4---6
3
4 飞机汽 油 1 2
4---7
87.0
108.0 辛烷数 不小于91
5.69×10-2
28.45 ×10-2
408100
130100
蒸汽压力(g/cm2) 产量需求 不大于9.96 ×10-2 不大于9.96 ×10-2 越多越好 不少于 250000 管理工程学院
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用xj表示第j个计划阶段新购的工具数； yj表示第j阶段末送去慢修的工具数； zj表示第j阶段末送去快修的工具数； sj表示j阶段木工具的存储数。 则每个阶段需用的工具数rj有以下关系式 rj= yj+ zj + sj + sj-1 (j=1,…,n) rj= xj (j=1,…,q+1) rj= xj+ zj-q-1 (j=q+2,…,p+1) rj= xj+ zj-q-1 +yj-p-1 (j=p+2,…,n) 且yn-p= yn-p+1=…= yn=0 zn-q= zn-q+1=…= zn=0
x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28 x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15 x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24 x5 + x6 + x7 + x1 ≥ 25 x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19 x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31 x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28 x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 ≥ 0
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解：设 xi ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始 休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。 目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 +
x7
约束条件：s.t.
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
+ + + + + + +
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◆生产问题 某公司面临一个是外包协作还是自行生产的 问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过 铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸 件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本 厂铸造才能保证质量。数据如表。问：公司为了获得 最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、 乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各 应多少件？