L=λ
取对数
n
n
∏e
i =1
n
− λ xi
=λ e
n
n
−λ
∑x
i =1
n
i
,
ln L = n ln λ − (∑ xi )λ .
i =1
令
d ln L n ˆ = 1 , λ 的极大似 = − ∑ xi = 0, 得 λ 的极大似然估计值为 λ dλ λ i =1 x
1 X
.
ˆ= 然估计量为 λ
5. 设总体 X 的概率密度为
5
3. 设总体 X 的概率密度为
⎧(θ + 1) xθ , 0 < x < 1, f ( x; θ ) = ⎨ 其它. ⎩0,
其中θ>-1 是未知参数, X1,X2,…,Xn 是来自 X 的容量为n的简单随机样本, 求: (1) θ 的矩估计量； (2) θ 的极大似然估计量. 解 总体 X 的数学期望为
zα / 2 = z0.025 = 1.96 .
所求置信区间为
(x −
σ
n
zα / 2 , x +
90 9
σ
n
zα / 2 )
90 9 × 1.96)
= (1141.11 −
× 1.96, 1141.11 +
= (1082.31,1199.91). 2. 为调查某地旅游者的平均消费水平, 随机访问了 40 名旅游者, 算得平 均消费额为 x = 105 元, 样本标准差 s = 28 元. 设消费额服从正态分布. 取置 信水平为 0.95, 求该地旅游者的平均消费额的置信区间. 解 计算可得 x = 105, s2 =282.对于α = 0.05, 查表可得
L(θ ) = ⎨ ⎩0,
⎧θ N (1 − θ )n− N , x(1) ≤x(2) ≤L ≤x( N ) < 1≤x( N +1) ≤x( N +2) ≤L ≤xn ,
其它.
考虑似然函数非零部分, 得到 ln L(θ ) = N lnθ + (n − N) ln(1−θ ), d ln L (θ ) N n − N ˆ= N . 令 = − = 0 , 解得 θ 的极大似然估计值为 θ dθ θ 1−θ n 习题 7-2 1. 选 择 题 : 设 总 体 X 的 均 值 μ 与 方 差 σ 2 都 存 在 但 未 知 , 而
2 2 2
2 0.995
χ
2 1−
α
2
( n − 1) = χ
( ( n − 1) S 2
2
(7) = 0.989 , 所以方差σ 的置信区间为
)=(
2
χ α 2 ( n − 1) χ 2 α ( n − 1)
1− 2
,
( n − 1) S 2
(8 − 1) × 2.4 2 (8 − 1) × 2.4 2 ) =(1.988, 40.768). , 20.278 0.989
1≤i ≤n
(D) min{ X i } .
1≤i ≤n
3θ
1 − 4θ
θ
其中 0＜θ＜0.25 为未知参数, X1, X2, …, Xn为来自总体X的样本, 试求θ的矩估 计量. 解 因为 E(X)=(-2)×3θ+1×(1-4θ)+5×θ=1-5θ, 令 1 − 5θ = X 得到 θ 的矩估
ˆ = 1− X . 计量为 θ
2σ 2 = [ E ( X 12 ) − 2 E ( X 1 X 2 ) + E ( X 2 2 )] = =σ2, 2 2
所以
1 2
( X 1 − X 2 ) 2 为 σ 2 的无偏估计.
习题 7-3 1. 选择题 (1) 总体未知参数 θ 的置信水平为 0.95 的置信区间的意义是指( ). (A) 区间平均含总体 95%的值. (B) 区间平均含样本 95%的值. (C) 未知参数 θ 有 95%的可靠程度落入此区间. (D) 区间有 95%的可靠程度含参数 θ 的真值. 解 选(D). (2) 对于置信水平 1-α(0<α<1), 关于置信区间的可靠程度与精确程度, 下 列说法不正确的是( ). (A) 若可靠程度越高, 则置信区间包含未知参数真值的可能性越大. (B) 如果 α 越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (C) 如果 1-α 越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (D) 若精确程度越高, 则可靠程度越低, 而 1-α 越小. 解 选（C） 习题 7-4 1. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取 9 只进行寿命测试, 取得数据 如下(单位:小时): 1050, 1100, 1080, 1120, 1250, 1040, 1130, 1300, 1200． 设灯泡寿命服从正态分布N(μ, 902), 取置信度为 0.95, 试求当天生产的全部灯 泡的平均寿命的置信区间. 解 计算得到 x = 1141.11, σ2 =902. 对于α = 0.05, 查表可得
其中 λ > 0 为未知参数, X1, X2, …, Xn为来自总体X的样本, 试求未知参数 λ 的 矩估计量与极大似然估计量. 1 ˆ = 1 . 设x1, x2,…, x n是相 解 因为E(X)= = X , 所以 λ 的矩估计量为 λ λ X 应于样本X1, X 2,… ,X n的一组观测值, 则似然函数
4. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取样 本:X1,X2,…,X12及Y1,Y2,…,Y17, 算出 x = 10.6g, y = 9.5g, s1 = 2.4, s2 = 4.7 . 假设
2 2
这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布, 且相互独立, 其均值分别 为 μ1 , μ2 . 又设两总体方差 σ 1 = σ 2 . 求 μ1 − μ2 置信水平为 0.95 的置信区间,
− X )2 .
∑(X
i =1
n
i
解 选(D). (2) 设 X U [0, θ ] , 其中 θ>0 为未知参数, 又 X 1 , X 2 ,L , X n 为来自总体 X 的样本, 则 θ 的矩估计量是( (A) X . (B) 2 X . 解 选(B). 2. 设总体 X 的分布律为 X P -2 1 5 ). (C) max{ X i } .
3. 设总体 X 的均值为 0, 方差 σ 2 存在但未知, 又 X 1 , X 2 为来自总体 X 的 样本, 试证： 证
1 2
( X 1 − X 2 ) 2 为 σ 2 的无偏估计. 1
2
因为 E[ ( X 1 − X 2 ) ] =
1 2 1
2
E[( X 12 − 2 X 1 X 2 + X 2 2 )]
= 1.94 2
t α ( n1 + n2 − 2) = t0.025 (27) = 2.05181, 所求置信区间为
2
(( x − y ) ± tα ( n1 + n2 − 2) sw
2
1 n1
+
1 n2
) = ((10.6 − 9.5) ± 2.05181 × 1.94 ×
1 12
+
1 17
)
2 2
并说明该置信区间的实际意义. 解 由题设 x = 10.6, y = 9.5, s1 = 2.4, s2 = 4.7, n1 = 12, n2 = 17,
2 2
2 sw = 2 ( n1 − 1) s12 + ( n2 − 1) s2
n1 + n2 − 2
=
(12 − 1) × 2.4 + (17 − 1) × 4.7 12 + 17 − 2
其中 θ （0< θ <1）是未知参数. X1, X2, …, Xn为来自总体的简单随机样本, 记N 为样本值 x1 , x2 ,L , xn 中小于 1 的个数. 求: (1) θ的矩估计量; (2) θ的极大似然 估计量. 解 (1) X = E ( X ) = xθ dx + x (1 − θ )dx =
X 1 , X 2 ,L , X n 为 X 的样本, 则无论总体 X 服从什么分布, (
无偏估计量. (A) (C) 解 2.
)是 μ 和 σ 2 的
1 n
∑ Xi 和
i =1
n
1 n
∑ ( X i − X )2 .
i =1
n
(B)
1 n −1 1
∑ Xi 和
i =1 n i
n
1 n −1 1
n i =1
θ n ⎧ ⎞ n⎛ ⎪(θ + 1) ⎜ ∏ x i ⎟ , 0 < xi < 1, L=⎨ ⎝ i =1 ⎠ ⎪ 其它. ⎩0,
当 0<xi<1(i=1,2,3,…,n)时, L>0 且 ln L = n ln(θ + 1) + θ 令
∑ ln x
i =1
n
i
,
d ln L dθ
=
n
θ +1
+ ∑ ln xi =0, 得
E( X ) = ∫
+∞
−∞
xf ( x )dx = ∫ (θ + 1) xθ +1dx =
0
1
θ +1 . θ +2
令 E( X ) = X , 即
2X −1 θ +1 ˆ . = X , 得参数θ的矩估计量为 θ = 1− X θ +2 设x1, x2,…, x n是相应于样本X1, X 2,… , X n的一组观测值, 则似然函数为
习题 7-1 1. 选择题 (1) 设总体X的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而 X 1 , X 2 ,L , X n 为来自X的 样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( (A) X 和S2. (C) μ和σ2. (B) X 和 (D) X 和 ).