西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= .6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 .7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ .8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是.二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率;(2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为,03()2,3420,kx x x f x x ≤<⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪⎩其它 (1)确定常数k ; (2)求X 的分布函数()F x ; (3)求712P X ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么? 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他 求()(),E X D X一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC 或A B C U U 2、 3、2156311C C C 或411或 4、1 5、13 6、2014131555k X p 7、1 8、(2,1)N -二、解 设12,A A 分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B 表示取出的零件为次品,则由已知有 1212606505121101(),(),(|),(|)1101111011605505P A P A P B A P B A ======== ..... 2分 (1)由全概率公式得112261511()()(|)()(|)1151155P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=................ 7分 (2)由贝叶斯公式得22251()()5115()1()115P A P B A P A B P B ⨯===............................... 12分三、(本题12分)解 (1)由概率密度的性质知故16k =. .......................................................... 3分 (2)当0x ≤时,()()0xF x f t dt -∞==⎰;当03x <<时, 2011()()612x xF x f t dt tdt x -∞===⎰⎰;当34x ≤<时, 320311()()223624x x t F x f t dt tdt dt x x -∞⎛⎫==+-=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;当4x ≥时, 34031()()2162x t F x f t dt tdt dt -∞⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;故X 的分布函数为220,01,0312()123,3441,4x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩................................... 9分(3) 77151411(1)22161248P X F F ⎧⎫⎛⎫<≤=-=-=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭ (12)分四、解 (1)由分布律的性质知故0.3a = ........................................................... 4分(2)(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘分布律为0120.40.30.3Xp............................................... 6分120.40.6Y p ................................................... 8分(3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===⨯=,故所以X 与Y 不相互独立. (12)分五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为 求()(),E X D X .解 2131223201011()()d d (2)d 1.33x E X xf x x x x x x x x x +∞-∞⎡⎤⎡⎤==+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ ............ 6分122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰.......................... 9分 221()()[()].6D XE X E X =-= ......................................... 12分 一、 ............................................................... 填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = , P(B) = , P(B|A ) = , 则P(A|B ) = 。

P( A ∪B) = 。

2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= ,分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ； 5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , 1、 .............................................................................................................. (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1） ...........................................................................................................1/4,(,)0,x y ϕ⎧=⎨⎩其求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2） ........................................................................................................... 问X 与Y 是否独立？是否相关？计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ 二、 ............................................................... 应用题（20分） 1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。

如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。

现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？ 三、 ............................................................... 填空题（每空3分，共45分）1、 ， ；2、 2/3 ；3、14212661112C C ⨯，61266!12C ；4、 1/2, F (x )= 1,021,02241,2xe x xx x ⎧≤⎪⎪⎪+<≤⎨⎪>⎪⎪⎩，{0.51}P X -<<= 0.53142e--；5、p = 1/3 ， Z=max(X,Y)的分布律： Z 0 12 P 8/27 16/27 3/27；6、D(2X-3Y)= , 四、 ............................................................... 计算题（35分）1、解 1）9{|21|2}{0.5 1.5}16P X P X -<=-<<=2）(0()0,01,0440,X X Y y y y y ϕϕϕ+>=≤⎩⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它3）45(21)212133E X EX -=-=⨯-=2、解：1）1,02,02()(,)420,0,x X x x dy x x x x y dy ϕϕ+∞--∞⎧⎧<<<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其它其它2）显然，(,)()()X Y x y x y ϕϕϕ≠，所以X 与Y 不独立。

又因为EY=0，EXY=0，所以，COV(X,Y)=0，因此X 与Y 不相关。

3）22()(,)11,04,044280,0,Z z z x z x dxz dx z z ϕϕ+∞-∞=-⎧⎧<<-<<⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其它其它1、解：设事件A1，A2，A3，A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”，其概率分别等于3/10，1/5，1/10和2/5，事件B 表示“迟到”，已知概率{|},1,2,3,4i P B A i =分别等于1/4，1/3，1/2，0则41{)()(|)i i i P B P A P B A ===∑23120 111()(|)9(|)()23P A P B A P A B P B ==，222()(|)8(|)()23P A P B A P A B P B ==333()(|)6(|)()23P A P B A P A B P B ==，444()(|)(|)0()P A P B A P A B P B ==由概率判断他乘火车的可能性最大。